# Integral von e^(2x): Formel, Rechenweg und Beispiele

> Das Integral von e^(2x) ist ½e^(2x) + C, allgemein gilt ∫e^(kx) dx = (1/k)e^(kx) + C. Mit Substitution, Graph und Rechenbeispielen.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/integrale/integral-e-hoch-2x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C $$

## Auf einen Blick

- **Stammfunktion:** $\frac{1}{2}e^{2x} + C$
- **Allgemeine Form:** $\int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$ für $k \ne 0$
- **Methode:** Substitution $u = 2x$, $du = 2\,dx$
- **Von 0 bis 1:** $\frac{e^2 - 1}{2} \approx 3.195$

## Das Wichtigste

- Das Integral von $e^{2x}$ ist $\frac{1}{2}e^{2x} + C$.
- Für jede Konstante $k \ne 0$ gilt $\int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$. Teile durch den Koeffizienten von $x$.
- Das funktioniert nur, wenn der Exponent linear ist. Für $e^{x^2}$ gibt es keine solche Abkürzung.
- Du kannst es auch über $e^{2x} = (e^x)^2$ sehen, aber die Substitution geht schneller.

Das **Integral von $e^{2x}$ ist $\dfrac{1}{2}e^{2x} + C$**. Allgemein gilt: Um $e^{kx}$ zu integrieren, behältst du die Exponentialfunktion und teilst durch $k$.

$$\int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C \qquad\qquad \int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C\quad (k \ne 0)$$

## Graph von e²ˣ und seiner Stammfunktion

```graph
title: 'y = e^(2x) und seine Stammfunktion ½e^(2x)'
caption: 'Die schraffierte Fläche von $0$ bis $1$ ist $\frac{e^2 - 1}{2} \approx 3.195$. Die gestrichelte Stammfunktion ist immer halb so hoch wie $e^{2x}$, denn $\frac{1}{2}e^{2x}$ ist einfach $e^{2x}$ gestaucht.'
x: [-2, 1.2]
y: [-0.5, 10]
functions:
  - expr: e^(2x)
    label: y = e^(2x)
  - expr: 0.5*e^(2x)
    label: y = ½e^(2x) (Stammfunktion)
    dashed: true
shade:
  expr: e^(2x)
  from: 0
  to: 1
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
```

## e²ˣ Schritt für Schritt integrieren

Verwende die [Substitutionsregel](/rules/u-substitution-rule).

1. Setze $u = 2x$. Dann ist $du = 2\,dx$, also $dx = \frac{1}{2}\,du$.
2. Schreibe um: $\displaystyle\int e^{2x}\,dx = \int e^u\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int e^u\,du$.
3. Integriere: $\frac{1}{2}e^u + C$, mit dem [Integral von eˣ](/integrals/e-to-the-x).
4. Rücksubstituieren: $\frac{1}{2}e^{2x} + C$.

Dieselben Schritte mit $u = kx$ liefern $\frac{1}{k}e^{kx} + C$. Mit einer zusätzlichen Konstanten, $u = kx + b$, erhältst du $\frac{1}{k}e^{kx + b} + C$.

**Eine andere Sichtweise.** Die Regel „durch die innere Steigung teilen“ gilt für jede lineare innere Funktion: $\int\cos(3x)\,dx = \frac{1}{3}\sin 3x$, $\int (2x+1)^5\,dx = \frac{1}{12}(2x+1)^6$. Sie ist die Umkehrung davon, dass die Kettenregel mit der inneren Steigung multipliziert.

## Probe durch Ableiten

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{k}e^{kx}\right) = \frac{1}{k}\cdot e^{kx}\cdot k = e^{kx}$$

Die [Kettenregel](/rules/chain-rule) liefert einen Faktor $k$, und das $\frac{1}{k}$ hebt ihn auf. Die andere Richtung findest du bei der [Ableitung von e²ˣ](/derivatives/e-to-the-2x).

## Bestimmte Integrale

| Integral | Rechnung | Wert |
| --- | --- | --- |
| $\int_0^1 e^{2x}\,dx$ | $\frac{1}{2}(e^2 - 1)$ | $\approx 3.195$ |
| $\int_0^{\ln 3} e^{2x}\,dx$ | $\frac{1}{2}(9 - 1)$ | $4$ |
| $\int_{-\infty}^{0} e^{2x}\,dx$ | $\frac{1}{2}(1 - 0)$ | $\frac{1}{2}$ |
| $\int_0^{\infty} e^{-3x}\,dx$ | $-\frac{1}{3}(0 - 1)$ | $\frac{1}{3}$ |

In der zweiten Zeile ist $e^{2\ln 3} = (e^{\ln 3})^2 = 9$. Die letzte Zeile ist ein Beispiel für eine nützliche Tatsache: $\int_0^\infty e^{-kx}\,dx = \frac{1}{k}$ für $k > 0$.

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: ein verschobener Exponent.** $\displaystyle\int e^{3x + 1}\,dx = \frac{1}{3}e^{3x+1} + C$.

**Beispiel 2: ein Bruch im Exponenten.** $\displaystyle\int e^{x/2}\,dx = 2e^{x/2} + C$, da $k = \frac{1}{2}$.

**Beispiel 3: zuerst ausmultiplizieren.** $\displaystyle\int (e^x + 1)^2\,dx$. Ausmultipliziert ergibt das $e^{2x} + 2e^x + 1$:

$$\int (e^{2x} + 2e^x + 1)\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + 2e^x + x + C$$

**Beispiel 4: einen Quotienten vereinfachen.** $\displaystyle\int \frac{e^{5x}}{e^{3x}}\,dx = \int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C$.

**Beispiel 5: Wachstum.** Eine Population wächst mit der Rate $r(t) = 100e^{0.2t}$ pro Jahr. Der Zuwachs in den ersten 5 Jahren ist

$$\int_0^5 100e^{0.2t}\,dt = 500\left(e^{1} - 1\right) \approx 859$$

## Häufige Fehler

1. **Multiplizieren statt teilen.** $\int e^{2x}\,dx$ ist nicht $2e^{2x}$. Das ist die Ableitung.
2. **Durch $2x$ teilen.** Der Teiler muss eine Konstante sein. Ist der Exponent nicht linear, funktioniert die Abkürzung nicht.
3. **Die Regel auf $e^{x^2}$ anwenden.** $\int e^{x^2}\,dx$ hat keine elementare Stammfunktion. Siehe [Integral von e^(x²)](/integrals/e-to-the-x-squared).
4. **Vorzeichenfehler bei negativem $k$.** $\int e^{-2x}\,dx = -\frac{1}{2}e^{-2x} + C$. Siehe [Integral von e⁻ˣ](/integrals/e-to-the-negative-x).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist das Integral von e^(2x)?

Es ist $\frac{1}{2}e^{2x} + C$.

### Was ist das Integral von e^(kx)?

Es ist $\frac{1}{k}e^{kx} + C$ für jede Konstante $k$ ungleich null. Zum Beispiel ist $\int e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}e^{3x} + C$ und $\int e^{-4x}\,dx = -\frac{1}{4}e^{-4x} + C$.

### Was ist das Integral von e^(x/2)?

Es ist $2e^{x/2} + C$. Hier ist $k = \frac{1}{2}$, also $\frac{1}{k} = 2$.

### Ist das Integral von e^(2x) gleich e^(2x)/(2x)?

Nein. Du teilst durch die Konstante $2$, nicht durch $2x$. Probe: Die Ableitung von $\frac{1}{2}e^{2x}$ ist $e^{2x}$, die Ableitung von $\frac{e^{2x}}{2x}$ aber nicht.