# Integral von e^(−x): Formel, Rechenweg und Beispiele

> Das Integral von e^(−x) ist −e^(−x) + C. Die Substitution, warum die Fläche von 0 bis unendlich genau 1 ist, ein Graph und Beispiele wie x e^(−x).

Quelle: https://practicecalculus.com/de/integrale/integral-e-hoch-minus-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C $$

## Auf einen Blick

- **Stammfunktion:** $-e^{-x} + C$
- **Von 0 bis ∞:** $1$
- **Von 0 bis 1:** $1 - \frac{1}{e} \approx 0.632$
- **Allgemeine Form:** $\int e^{-kx}\,dx = -\frac{1}{k}e^{-kx} + C$
- **Methode:** Substitution $u = -x$, $du = -dx$

## Das Wichtigste

- Das Integral von $e^{-x}$ ist $-e^{-x} + C$. Das Minuszeichen kommt von der inneren Ableitung $-1$.
- Die Gesamtfläche unter $e^{-x}$ von $0$ bis $\infty$ ist genau $1$.
- Allgemein gilt $\int_0^\infty e^{-kx}\,dx = \frac{1}{k}$ für $k > 0$. Deshalb ist $ke^{-kx}$ eine Wahrscheinlichkeitsdichte.
- $\int x e^{-x}\,dx = -(x+1)e^{-x} + C$, mit partieller Integration.

Das **Integral von $e^{-x}$ ist $-e^{-x} + C$**. Der einzige Unterschied zum [Integral von eˣ](/integrals/e-to-the-x) ist das Minuszeichen, das von der $-1$ im Exponenten kommt.

$$\int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C$$

## Graph von e⁻ˣ und seine Fläche

```graph
title: 'y = e^(−x) mit schraffierter Fläche von 0 bis 4'
caption: 'Die schraffierte Fläche ist $1 - e^{-4} \approx 0.982$. Gehst du weiter bis unendlich, strebt die Fläche gegen genau $1$.'
x: [-1, 6]
y: [-0.5, 2.5]
functions:
  - expr: e^(-x)
    label: y = e^(−x)
shade:
  expr: e^(-x)
  from: 0
  to: 4
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
```

$e^{-x}$ beschreibt exponentiellen Zerfall: Die Funktion startet bei $x = 0$ mit $1$ und verliert bei jedem Schritt um eine Einheit denselben Anteil ihrer Höhe. Durch dieses gleichmäßige Schrumpfen ergibt der unendlich lange Ausläufer eine endliche Fläche.

## e⁻ˣ Schritt für Schritt integrieren

1. Setze $u = -x$. Dann ist $du = -dx$, also $dx = -du$.
2. Schreibe um: $\displaystyle\int e^{-x}\,dx = -\int e^u\,du$.
3. Integriere: $-e^u + C$.
4. Rücksubstituieren: $-e^{-x} + C$.

Das ist der Fall $k = -1$ der Regel $\int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$ von der Seite [Integral von e²ˣ](/integrals/e-to-the-2x). Für Zerfallsraten $k > 0$ gilt:

$$\int e^{-kx}\,dx = -\frac{1}{k}e^{-kx} + C$$

## Probe durch Ableiten

$$\frac{d}{dx}\left(-e^{-x}\right) = -e^{-x}\cdot(-1) = e^{-x}$$

Die beiden Minuszeichen heben sich auf. Siehe [Ableitung von e⁻ˣ](/derivatives/e-to-the-negative-x).

## Bestimmte und uneigentliche Integrale

**Von 0 bis 1:** $\left[-e^{-x}\right]_0^1 = -e^{-1} + 1 = 1 - \frac{1}{e} \approx 0.632$.

**Von 0 bis ∞:** Das ist ein [uneigentliches Integral](/blog/improper-integrals), also bildest du einen Grenzwert:

$$\int_0^\infty e^{-x}\,dx = \lim_{b\to\infty}\left(1 - e^{-b}\right) = 1$$

**Eine Zerfallsrate k.** $\int_0^\infty e^{-kx}\,dx = \frac{1}{k}$ für $k > 0$. Multipliziert mit $k$ ergibt sich $\int_0^\infty ke^{-kx}\,dx = 1$, die Gesamtwahrscheinlichkeit der Exponentialverteilung, mit der man Wartezeiten beschreibt.

**Halbwertszeit.** $\int_0^{\ln 2} e^{-x}\,dx = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Die Hälfte der Gesamtfläche liegt vor $x = \ln 2 \approx 0.693$.

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: ein skalierter Exponent.** $\displaystyle\int e^{-x/3}\,dx = -3e^{-x/3} + C$.

**Beispiel 2: x mal e⁻ˣ.** Verwende [partielle Integration](/rules/integration-by-parts-rule) mit $u = x$ und $dv = e^{-x}\,dx$, also $du = dx$ und $v = -e^{-x}$:

$$\int xe^{-x}\,dx = -xe^{-x} + \int e^{-x}\,dx = -xe^{-x} - e^{-x} + C = -(x+1)e^{-x} + C$$

Von $0$ bis $\infty$ ergibt das $0 - (-1) = 1$, weil $xe^{-x} \to 0$ für $x \to \infty$.

**Beispiel 3: ein Medikament im Blut.** Ein Medikament wird mit der Rate $40e^{-0.5t}$ mg pro Stunde abgebaut. Die in den ersten 4 Stunden abgebaute Menge ist

$$\int_0^4 40e^{-0.5t}\,dt = -80\left(e^{-2} - 1\right) = 80\left(1 - e^{-2}\right) \approx 69.2 \text{ mg}$$

**Beispiel 4: Hyperbelfunktionen.** $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$, also

$$\int\cosh x\,dx = \frac{e^x - e^{-x}}{2} + C = \sinh x + C$$

## Häufige Fehler

1. **Das Minuszeichen weglassen.** $\int e^{-x}\,dx$ ist nicht $e^{-x} + C$. Leite dein Ergebnis ab: Es sollte $+e^{-x}$ herauskommen.
2. **$\frac{e^{-x+1}}{-x+1}$ schreiben.** Das ist die Potenzregel, angewandt auf eine Exponentialfunktion, und das ist nie richtig.
3. **Das uneigentliche Integral für divergent halten.** Das Intervall ist unendlich, die Fläche aber $1$. Bilde einen Grenzwert und hör nicht bei „unendlich“ auf.
4. **$e^{-x}$ mit $e^{-x^2}$ verwechseln.** Die Glockenkurve $e^{-x^2}$ hat keine elementare Stammfunktion; siehe [Integral von e^(x²)](/integrals/e-to-the-x-squared).

Mehr zu Produkten wie $xe^{-x}$ findest du beim [Integral von x eˣ](/integrals/x-e-to-the-x).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist das Integral von e^(−x)?

Es ist $-e^{-x} + C$.

### Was ist das Integral von e^(−x) von 0 bis unendlich?

Es ist $1$. Die Stammfunktion $-e^{-x}$ geht von $-1$ bei $x = 0$ gegen $0$ für $x \to \infty$, das Integral ist also $0 - (-1) = 1$.

### Was ist das Integral von x e^(−x)?

Es ist $-(x+1)e^{-x} + C$. Integriere partiell mit $u = x$ und $dv = e^{-x}\,dx$. Von $0$ bis $\infty$ ergibt es $1$.

### Warum steht im Integral von e^(−x) ein Minuszeichen?

Weil die Ableitung von $-e^{-x}$ gleich $-e^{-x}\cdot(-1) = e^{-x}$ ist. Ohne das Minuszeichen bliebe dir nach der Kettenregel $-e^{-x}$.