# Integral von eˣ sin x: Formel, Rechenweg und Beispiele

> Das Integral von eˣ sin x ist ½eˣ(sin x − cos x) + C. Zweimal partiell integrieren und auflösen, die Probe, ein Graph und die Formel für e^(ax) sin(bx).

Quelle: https://practicecalculus.com/de/integrale/integral-e-hoch-x-mal-sin-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \int e^x\sin x\,dx = \frac{e^x}{2}\left(\sin x - \cos x\right) + C $$

## Auf einen Blick

- **Stammfunktion:** $\frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + C$
- **Methode:** Zweimal partiell integrieren, dann nach dem Integral auflösen
- **Gegenstück:** $\int e^x\cos x\,dx = \frac{1}{2}e^x(\sin x + \cos x) + C$
- **Allgemeine Form:** $\int e^{ax}\sin bx\,dx = \frac{e^{ax}(a\sin bx - b\cos bx)}{a^2 + b^2} + C$
- **Von 0 bis π:** $\frac{e^\pi + 1}{2} \approx 12.07$

## Das Wichtigste

- Das Integral von $e^x\sin x$ ist $\frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + C$.
- Integriere zweimal partiell. Das ursprüngliche Integral taucht wieder auf, und du löst danach auf wie nach einer Unbekannten in einer Gleichung.
- Nimm beide Male dieselbe Art von Funktion als $u$ (zum Beispiel die Exponentialfunktion), sonst macht der zweite Schritt den ersten rückgängig.
- Allgemein gilt $\int e^{ax}\sin bx\,dx = \frac{e^{ax}(a\sin bx - b\cos bx)}{a^2+b^2} + C$.

Das **Integral von $e^x\sin x$ ist $\dfrac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + C$**. Es ist das berühmte „Kreis“-Integral: Die partielle Integration endet von allein nie, aber nach zwei Schritten kannst du das Ergebnis algebraisch auflösen.

$$\int e^x\sin x\,dx = \frac{e^x}{2}\left(\sin x - \cos x\right) + C$$

## Graph von eˣ sin x

```graph
title: 'y = eˣ sin x mit schraffierter Fläche von 0 bis π'
caption: 'Die schraffierte Fläche ist $\frac{e^\pi + 1}{2} \approx 12.07$. Die Kurve schwingt wie $\sin x$, aber die Ausschläge werden wegen des Faktors $e^x$ immer größer.'
x: [-3, 4]
y: [-3, 8]
functions:
  - expr: exp(x)*sin(x)
    label: y = eˣ sin x
shade:
  expr: exp(x)*sin(x)
  from: 0
  to: 3.14159
points:
  - [2.35619, 7.4605, 'Max bei x = 3π/4']
```

## eˣ sin x Schritt für Schritt integrieren

Nenne das Integral $I$. Verwende [partielle Integration](/rules/integration-by-parts-rule), beide Male mit der trigonometrischen Funktion als $u$.

1. **Erster Durchgang.** $u = \sin x$, $dv = e^x\,dx$, also $du = \cos x\,dx$ und $v = e^x$:
$$I = e^x\sin x - \int e^x\cos x\,dx$$
2. **Zweiter Durchgang**, für $\int e^x\cos x\,dx$. Wieder ist die trigonometrische Funktion $u$: $u = \cos x$, $dv = e^x\,dx$, also $du = -\sin x\,dx$, $v = e^x$:
$$\int e^x\cos x\,dx = e^x\cos x + \int e^x\sin x\,dx = e^x\cos x + I$$
3. **Zurück einsetzen.** Das ursprüngliche Integral ist wieder da:
$$I = e^x\sin x - e^x\cos x - I$$
4. **Nach $I$ auflösen.** Addiere $I$ auf beiden Seiten: $2I = e^x(\sin x - \cos x)$, also
$$I = \frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x) + C$$

Das $+ C$ kommt erst am Ende, nach dem Auflösen. Mit $u = e^x$ in beiden Durchgängen funktioniert es genauso. Schief geht es nur beim Wechseln: Nimmst du zuerst $u = \sin x$ und dann $u = e^x$, macht der zweite Schritt den ersten rückgängig, und du erhältst $I = I$.

## Probe durch Ableiten

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x)\right] = \frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x) + \frac{e^x}{2}(\cos x + \sin x) = \frac{e^x}{2}\cdot 2\sin x = e^x\sin x$$

## Die allgemeine Formel

Derselbe Kreisschluss in zwei Schritten liefert für $e^{ax}\sin bx$ und $e^{ax}\cos bx$

$$\int e^{ax}\sin bx\,dx = \frac{e^{ax}(a\sin bx - b\cos bx)}{a^2 + b^2} + C$$

$$\int e^{ax}\cos bx\,dx = \frac{e^{ax}(a\cos bx + b\sin bx)}{a^2 + b^2} + C$$

Mit $a = b = 1$ ist der Nenner $2$, passend zum Ergebnis oben.

**Ein schnellerer Weg mit komplexen Zahlen.** Wegen $e^{ix} = \cos x + i\sin x$ ist $e^x\sin x$ der Imaginärteil von $e^{(1+i)x}$. Integrieren ergibt $\frac{e^{(1+i)x}}{1+i} = \frac{(1-i)}{2}e^x(\cos x + i\sin x)$, und dessen Imaginärteil ist $\frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x)$.

## Bestimmte Integrale

**Von 0 bis π:**

$$\left[\frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x)\right]_0^\pi = \frac{e^\pi}{2}(0 + 1) - \frac{1}{2}(0 - 1) = \frac{e^\pi + 1}{2} \approx 12.07$$

**Von 0 bis π/2:** $\frac{e^{\pi/2}}{2}(1 - 0) - \frac{1}{2}(0 - 1) = \frac{e^{\pi/2} + 1}{2} \approx 2.905$.

**Gedämpfte Variante.** $\int_0^\infty e^{-x}\sin x\,dx$. Verwende die Formel mit $a = -1$, $b = 1$: Die Stammfunktion ist $\frac{e^{-x}(-\sin x - \cos x)}{2}$ und geht im Unendlichen gegen $0$. Der Wert ist also $0 - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$.

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: eˣ cos x.** Aus Schritt 2 oben gilt $\int e^x\cos x\,dx = e^x\cos x + I$. Setze $I$ ein:

$$\int e^x\cos x\,dx = e^x\cos x + \frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x) = \frac{e^x}{2}(\sin x + \cos x) + C$$

**Beispiel 2: verschiedene Raten.** $\int e^{2x}\sin 3x\,dx = \frac{e^{2x}(2\sin 3x - 3\cos 3x)}{13} + C$, mit $a^2 + b^2 = 4 + 9 = 13$.

**Beispiel 3: gedämpfte Schwingung.** Die Auslenkung einer Feder ist $e^{-t}\cos t$. Ihre gesamte orientierte Auslenkung über $[0, \infty)$ ist $\int_0^\infty e^{-t}\cos t\,dt = \frac{1}{2}$, nach der Kosinus-Formel mit $a = -1$, $b = 1$: Die Stammfunktion $\frac{e^{-t}(\sin t - \cos t)}{2}$ geht von $-\frac{1}{2}$ nach $0$.

## Häufige Fehler

1. **Die Wahl von $u$ zwischen den beiden Durchgängen wechseln.** Am Ende steht $I = I$, was stimmt, aber nichts nützt.
2. **Das Teilen durch 2 vergessen.** Nach Schritt 3 hast du $2I$, nicht $I$.
3. **Vorzeichenfehler im zweiten Durchgang.** $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$, also wird das zweite Integral addiert, nicht subtrahiert.
4. **Erwarten, dass die partielle Integration von selbst endet.** Bei $x\sin x$ fällt die Potenz von $x$ weg; bei $e^x\sin x$ fällt nichts weg, also brauchst du den Kreisschluss. Vergleiche das [Integral von x sin x](/integrals/x-sin-x).

Die Lektion [Mehrfache partielle Integration und LIATE](/learn/calculus-2/integration-techniques/repeated-parts-and-liate) übt diesen Kreisschluss, und der Leitfaden zur [partiellen Integration](/blog/integration-by-parts) zeigt weitere Beispiele.

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist das Integral von eˣ sin x?

Es ist $\frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + C$.

### Was ist das Integral von eˣ cos x?

Es ist $\frac{1}{2}e^x(\sin x + \cos x) + C$. Dieselbe Methode in zwei Schritten funktioniert, nur mit umgekehrtem Vorzeichen beim Kosinus-Term.

### Warum endet die partielle Integration bei eˣ sin x nicht?

Weder $e^x$ noch $\sin x$ wird beim Ableiten einfacher, also dreht sich die partielle Integration im Kreis. Nach zwei Schritten taucht das ursprüngliche Integral wieder auf, und du löst die Gleichung $I = \text{Rest} - I$ nach $I$ auf.

### Was ist das Integral von e^(2x) sin(3x)?

Es ist $\frac{e^{2x}(2\sin 3x - 3\cos 3x)}{13} + C$, nach der allgemeinen Formel mit $a = 2$ und $b = 3$.