# Integral von e^(x²): Warum es keine einfache Formel gibt > e^(x²) und e^(−x²) haben keine elementare Stammfunktion. Lerne erf und erfi, die Lösung als Potenzreihe und warum ∫e^(−x²) über ℝ gleich √π ist. Quelle: https://practicecalculus.com/de/integrale/integral-e-hoch-x-quadrat Aktualisiert: 2026-11-06 $$ \int e^{-x^2}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erf}(x) + C $$ ## Auf einen Blick - **Stammfunktion:** Nicht elementar. $\int e^{x^2}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erfi}(x) + C$ - **Glockenkurve:** $\int e^{-x^2}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(x) + C$ - **Gaußsches Integral:** $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}$ - **Als Reihe:** $\int e^{x^2}\,dx = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{n!\,(2n+1)} + C$ - **Von 0 bis 1:** $\int_0^1 e^{x^2}\,dx \approx 1.4627$ und $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx \approx 0.7468$ ## Das Wichtigste - Weder $e^{x^2}$ noch $e^{-x^2}$ hat eine Stammfunktion aus gewöhnlichen Funktionen. Das ist bewiesen und keine Lücke in der Technik. - Mathematiker geben den Stammfunktionen Namen: $\int e^{-x^2}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(x) + C$ und $\int e^{x^2}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erfi}(x) + C$. - Als Potenzreihe kannst du die Stammfunktion immer angeben, indem du die Maclaurin-Reihe gliedweise integrierst. - Das Gaußsche Integral $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}$ berechnet man mit Polarkoordinaten, nicht mit einer Stammfunktion. **$e^{x^2}$ hat keine elementare Stammfunktion**, und die Glockenkurve $e^{-x^2}$ auch nicht. Keine Formel aus Potenzen, Wurzeln, Exponentialfunktionen, Logarithmen und trigonometrischen Funktionen hat eine der beiden als Ableitung. Die Stammfunktionen existieren trotzdem, und sie haben Namen: $$\int e^{-x^2}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erf}(x) + C \qquad \int e^{x^2}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erfi}(x) + C$$ Und ein berühmtes bestimmtes Integral hat einen exakten Wert: $$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}$$ ## Graph von e^(x²) und e^(−x²) ```graph title: 'y = e^(x²) und die Glockenkurve y = e^(−x²)' caption: 'Die gesamte schraffierte Fläche unter der Glockenkurve, über die ganze reelle Achse, ist $\sqrt{\pi} \approx 1.772$. Die Fläche unter $e^{x^2}$ über die ganze Achse ist unendlich.' x: [-3, 3] y: [-0.5, 4] functions: - expr: exp(-x^2) label: y = e^(−x²) - expr: exp(x^2) label: y = e^(x²) dashed: true domain: [-1.17, 1.17] shade: expr: exp(-x^2) from: -3 to: 3 points: - [0, 1, '(0, 1)'] ``` ## Warum die üblichen Methoden versagen - **Substitution.** $u = x^2$ braucht $du = 2x\,dx$, aber es gibt kein $x$, das es liefern könnte. Vergleiche $\int xe^{x^2}\,dx = \frac{1}{2}e^{x^2} + C$, wo es funktioniert. - **Durch die innere Ableitung teilen.** Diese Abkürzung klappt nur bei konstanter innerer Steigung, wie beim [Integral von e²ˣ](/integrals/e-to-the-2x). Hier ändert sich die Steigung $2x$. - **Partielle Integration.** Jede Wahl von $u$ und $dv$ führt auf ein schwierigeres Integral. Das ist kein Pech. Joseph Liouville hat in den 1830er-Jahren bewiesen, dass sich $\int e^{x^2}\,dx$ nicht elementar darstellen lässt. Zur selben Familie gehören zum Beispiel $\frac{\sin x}{x}$ und $\frac{1}{\ln x}$. ## Die Fehlerfunktion Da die Stammfunktion existiert, aber keine Formel hat, bekommt sie einen eigenen Namen. Die **Gaußsche Fehlerfunktion** ist $$\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}\,dt$$ Der Faktor $\frac{2}{\sqrt{\pi}}$ ist so gewählt, dass $\operatorname{erf}(x) \to 1$ für $x \to \infty$ gilt. Nach dem [Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Teil 1](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-1) ist ihre Ableitung $\frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}$, woraus die Formel oben folgt. Die **imaginäre Fehlerfunktion** $\operatorname{erfi}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{t^2}\,dt$ spielt dieselbe Rolle für $e^{x^2}$. Die Fehlerfunktion ist in der Statistik allgegenwärtig, denn die Normalverteilung ist eine gestreckte Kopie von $e^{-x^2}$. Die Normalverteilungsfunktion deines Taschenrechners berechnet im Hintergrund erf. ## Die Lösung als Potenzreihe Als Reihe bekommst du eine Stammfunktion immer. Starte mit $e^u = \sum_{n=0}^\infty \frac{u^n}{n!}$ mit $u = x^2$ und integriere gliedweise: $$\int e^{x^2}\,dx = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{n!\,(2n+1)} + C = x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{10} + \frac{x^7}{42} + \cdots + C$$ Die Reihe konvergiert für jedes $x$. Bei $e^{-x^2}$ wechseln die Vorzeichen: $x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{10} - \frac{x^7}{42} + \cdots$ **Probe durch Ableiten.** Die Ableitung von $\frac{x^{2n+1}}{n!(2n+1)}$ ist $\frac{x^{2n}}{n!} = \frac{(x^2)^n}{n!}$, und deren Summe ist $e^{x^2}$. ## Rechenbeispiele **Beispiel 1: ein bestimmtes Integral per Reihe.** Setze $x = 1$ in die Reihe ein: $$\int_0^1 e^{x^2}\,dx = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{10} + \frac{1}{42} + \frac{1}{216} + \cdots \approx 1.4627$$ **Beispiel 2: die Glockenkurve von 0 bis 1.** Die alternierende Reihe liefert $$\int_0^1 e^{-x^2}\,dx = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{10} - \frac{1}{42} + \frac{1}{216} - \cdots \approx 0.7468$$ Da die Reihe alterniert, ist der Fehler beim Abbrechen kleiner als das erste weggelassene Glied. **Beispiel 3: das Gaußsche Integral.** Nenne $I = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx$. Multipliziere zwei Kopien, eine in $x$ und eine in $y$, und wechsle zu Polarkoordinaten, wo $dx\,dy = r\,dr\,d\theta$ gilt: $$I^2 = \iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\infty e^{-r^2}\,r\,dr\,d\theta = 2\pi\cdot\frac{1}{2} = \pi$$ Das zusätzliche $r$ ist genau der Faktor, mit dem $u = r^2$ funktioniert. Also ist $I = \sqrt{\pi}$. Die Lektion zu [Doppelintegralen in Polarkoordinaten](/learn/calculus-3/multiple-integrals/polar-double-integrals) erklärt den Koordinatenwechsel. **Beispiel 4: eine skalierte Glockenkurve.** Mit $x = \frac{t}{\sqrt{a}}$ gilt $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}\,dt = \sqrt{\frac{\pi}{a}}$ für $a > 0$. ## Häufige Fehler 1. **$\frac{e^{x^2}}{2x} + C$ schreiben.** Leite es ab, und du siehst, dass es nicht stimmt. 2. **Annehmen, dass jedes Integral eine Formel hat.** Manche haben keine. In einer Klausur bedeutet ein bestimmtes Integral über $e^{x^2}$ meist „verwende eine Reihe“ oder „verwende den Taschenrechner“. 3. **$e^{x^2}$ mit $(e^x)^2$ verwechseln.** $(e^x)^2 = e^{2x}$, und das ergibt integriert $\frac{1}{2}e^{2x}$. $e^{x^2}$ bedeutet $e$ hoch $x^2$. 4. **Den $x$-Test vergessen.** Ist der Integrand $xe^{x^2}$ oder $xe^{-x^2}$, funktioniert eine einfache Substitution. Zu Reihentechniken siehe den Leitfaden zur [Taylorreihe](/blog/taylor-series). Zu den einfacheren Exponentialfunktionen siehe [Integral von eˣ](/integrals/e-to-the-x) und [Integral von e⁻ˣ](/integrals/e-to-the-negative-x). ## Häufig gestellte Fragen ### Was ist das Integral von e^(x²)? Es hat keine elementare Stammfunktion. Man kann es als $\frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erfi}(x) + C$ schreiben, wobei erfi die imaginäre Fehlerfunktion ist, oder als Reihe $\sum_{n\ge 0}\frac{x^{2n+1}}{n!(2n+1)} + C$. ### Warum kann man e^(x²) nicht integrieren? Ein Satz von Liouville zeigt, dass keine Kombination aus Polynomen, Exponentialfunktionen, Logarithmen, trigonometrischen Funktionen und Wurzeln die Ableitung $e^{x^2}$ hat. Die Stammfunktion existiert, sie ist nur keine der Standardfunktionen. ### Was ist das Integral von e^(−x²) von minus unendlich bis unendlich? Es ist $\sqrt{\pi} \approx 1.772$. Quadriere das Integral, wechsle zu Polarkoordinaten, und der zusätzliche Faktor $r$ macht das Integral leicht. ### Ist das Integral von e^(x²) gleich e^(x²)/(2x)? Nein. Leitest du $\frac{e^{x^2}}{2x}$ mit der Quotientenregel ab, erhältst du $e^{x^2} - \frac{e^{x^2}}{2x^2}$, nicht $e^{x^2}$. Du darfst nur durch eine Konstante teilen. ### Was ist das Integral von x e^(x²)? Es ist $\frac{1}{2}e^{x^2} + C$. Mit einem $x$ davor funktioniert $u = x^2$, weil $du = 2x\,dx$ dasteht.