# Integral von eˣ: Formel, Rechenweg und Beispiele

> Das Integral von eˣ ist eˣ + C. Warum eˣ seine eigene Stammfunktion ist, ein Graph der Fläche, bestimmte und uneigentliche Integrale und Rechenbeispiele.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/integrale/integral-e-hoch-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \int e^x\,dx = e^x + C $$

## Auf einen Blick

- **Stammfunktion:** $e^x + C$
- **Von 0 bis 1:** $e - 1 \approx 1.718$
- **Von −∞ bis 0:** $1$
- **Mit linearer innerer Funktion:** $\int e^{kx+b}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx+b} + C$
- **Ableitung:** $\frac{d}{dx}e^x = e^x$

## Das Wichtigste

- Das Integral von $e^x$ ist $e^x + C$, weil $e^x$ seine eigene Ableitung ist.
- Die Fläche unter $e^x$ von $a$ bis $b$ ist einfach $e^b - e^a$.
- Bei einer linearen inneren Funktion teilst du durch den Koeffizienten von $x$: $\int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$.
- Verwende bei $e^x$ nicht die Potenzregel. Die Variable steht im Exponenten, also ist $\frac{e^{x+1}}{x+1}$ falsch.

Das **Integral von $e^x$ ist $e^x + C$**. Die natürliche Exponentialfunktion ist (abgesehen von ihren Vielfachen) die einzige Funktion, die ihre eigene Ableitung ist, also ist sie auch ihre eigene Stammfunktion.

$$\int e^x\,dx = e^x + C$$

## Graph von eˣ mit der Fläche von 0 bis 1

```graph
title: 'y = eˣ mit schraffierter Fläche von 0 bis 1'
caption: 'Die schraffierte Fläche ist $e^1 - e^0 = e - 1 \approx 1.718$. Weil die Stammfunktion $e^x$ selbst ist, ist die Fläche bis zu einer beliebigen Stelle $b$ (ab $-\infty$) gleich der Höhe $e^b$.'
x: [-3, 2]
y: [-0.5, 6]
functions:
  - expr: e^x
    label: y = eˣ
shade:
  expr: e^x
  from: 0
  to: 1
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
  - [1, 2.718, '(1, e)']
```

## Warum das Integral von eˣ gleich eˣ ist

Eine Stammfunktion von $f$ ist jede Funktion, deren Ableitung $f$ ist. Die [Ableitung von eˣ](/derivatives/e-to-the-x) ist $e^x$, also funktioniert $e^x$:

$$\frac{d}{dx}\left(e^x + C\right) = e^x$$

Das ist schon der ganze Beweis. Das $+ C$ steht da, weil jede Konstante die Ableitung null hat, also sind auch $e^x + 5$ und $e^x - 2$ Stammfunktionen. Der Leitfaden zu [Stammfunktionen](/blog/antiderivatives) erklärt, warum jede Stammfunktion diese Form hat.

## Schritt für Schritt: Integrale, die aus eˣ aufgebaut sind

1. **Konstanten herausziehen.** $\int 4e^x\,dx = 4e^x + C$, nach der [Faktorregel](/rules/constant-multiple-rule).
2. **Summen aufteilen.** $\int (e^x + x^2)\,dx = e^x + \frac{x^3}{3} + C$.
3. **Verschobene Exponenten umschreiben.** $e^{x+2} = e^2\cdot e^x$, also $\int e^{x+2}\,dx = e^{x+2} + C$.
4. **Durch die innere Steigung teilen.** Ist der Exponent $kx + b$, lautet das Ergebnis $\frac{1}{k}e^{kx+b} + C$. Die Seite [Integral von e²ˣ](/integrals/e-to-the-2x) behandelt diesen Fall ausführlich.

## Probe durch Ableiten

Für $\frac{1}{k}e^{kx+b}$ liefert die [Kettenregel](/rules/chain-rule) $\frac{1}{k}\cdot e^{kx+b}\cdot k = e^{kx+b}$. Der Faktor $\frac{1}{k}$ hebt genau das $k$ aus der Kettenregel auf.

## Bestimmte und uneigentliche Integrale

Nach dem [Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-2) gilt $\int_a^b e^x\,dx = e^b - e^a$.

| Integral | Wert |
| --- | --- |
| $\int_0^1 e^x\,dx$ | $e - 1 \approx 1.718$ |
| $\int_0^{\ln 2} e^x\,dx$ | $2 - 1 = 1$ |
| $\int_{-1}^{1} e^x\,dx$ | $e - \frac{1}{e} \approx 2.350$ |
| $\int_{-\infty}^{0} e^x\,dx$ | $1 - \lim_{a\to-\infty}e^a = 1$ |

Das letzte ist ein [uneigentliches Integral](/blog/improper-integrals). Der linke Ausläufer von $e^x$ geht unendlich weit, wird aber so schnell klein, dass seine Gesamtfläche genau $1$ ist.

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: eine Summe.** $\displaystyle\int (3e^x - 2x)\,dx = 3e^x - x^2 + C$.

**Beispiel 2: e als Basis und im Exponenten.** $\displaystyle\int e^{x}e^{2}\,dx = e^2 e^x + C = e^{x+2} + C$. Exponenten darfst du nur bei gleicher Basis zusammenfassen.

**Beispiel 3: eine Substitution.** $\displaystyle\int \frac{e^x}{1 + e^x}\,dx$. Setze $u = 1 + e^x$, $du = e^x\,dx$:

$$\int\frac{du}{u} = \ln(1 + e^x) + C$$

Ein Betrag ist nicht nötig, weil $1 + e^x > 0$ gilt.

**Beispiel 4: der Exponent ist eine Funktion.** $\displaystyle\int 2x\,e^{x^2}\,dx$. Mit $u = x^2$, $du = 2x\,dx$, ist das $\int e^u\,du = e^{x^2} + C$. Das klappt nur, weil das $2x$ dasteht. Ohne es hat $\int e^{x^2}\,dx$ keine elementare Lösung; siehe [Integral von e^(x²)](/integrals/e-to-the-x-squared).

**Beispiel 5: Mittelwert.** Der Mittelwert von $e^x$ auf $[0, 1]$ ist $\frac{1}{1-0}\int_0^1 e^x\,dx = e - 1 \approx 1.718$.

## Häufige Fehler

1. **Die Potenzregel verwenden.** $\int e^x\,dx \ne \frac{e^{x+1}}{x+1}$. Die Potenzregel gilt für $x^n$, wo die Variable die Basis ist.
2. **Das Teilen durch $k$ vergessen.** $\int e^{5x}\,dx = \frac{1}{5}e^{5x} + C$, nicht $e^{5x} + C$.
3. **Durch etwas Nichtkonstantes teilen.** $\int e^{x^2}\,dx \ne \frac{e^{x^2}}{2x}$. Leite das ab, und du erhältst nicht $e^{x^2}$ zurück.
4. **$+ C$ weglassen** bei einem unbestimmten Integral.

Für andere Basen wie $2^x$ siehe [Integral von 2ˣ](/integrals/2-to-the-x). Die Seite zur [natürlichen Exponentialfunktion](/functions/natural-exponential-function) erklärt, woher $e$ kommt.

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist das Integral von eˣ?

Es ist $e^x + C$.

### Was ist das Integral von eˣ von 0 bis 1?

Es ist $e^1 - e^0 = e - 1 \approx 1.718$.

### Was ist das Integral von e^(x+3)?

Es ist $e^{x+3} + C$. Die innere Funktion $x + 3$ hat die Ableitung $1$, also ändert sich nichts. Du kannst auch $e^{x+3} = e^3 e^x$ schreiben und $e^3$ als Konstante behandeln.

### Warum ist das Integral von eˣ gleich eˣ?

Weil die Ableitung von $e^x$ gleich $e^x$ ist. Integrieren macht Ableiten rückgängig, also ist eine Funktion, die ihre eigene Ableitung ist, bis auf die Konstante $C$ auch ihre eigene Stammfunktion.