# Integral einer Konstanten und von 1: Formel und Beispiele

> Das Integral einer Konstanten k ist kx + C, das Integral von 1 ist x + C. Mit Begründung, Flächenbild, bestimmten Integralen und typischen Fehlern.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/integrale/integral-einer-konstanten
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \int k\,dx = kx + C $$

## Auf einen Blick

- **Stammfunktion:** $kx + C$
- **Integral von 1:** $\int 1\,dx = x + C$
- **Integral von 0:** $\int 0\,dx = C$
- **Bestimmtes Integral:** $\int_a^b k\,dx = k(b - a)$
- **Probe:** $\dfrac{d}{dx}(kx + C) = k$

## Das Wichtigste

- Das Integral einer Konstanten $k$ ist $kx + C$. Das Integral von $1$ ist $x + C$.
- Geometrisch ist $\int_a^b k\,dx = k(b - a)$ der Flächeninhalt eines Rechtecks mit der Höhe $k$ und der Breite $b - a$.
- Jeder Ausdruck ohne $x$ ist eine Konstante: $\int \pi\,dx = \pi x + C$ und $\int e^2\,dx = e^2 x + C$.
- Das Integral von $0$ ist $C$, nicht $0$, denn jede Konstante hat die Ableitung $0$.

Das **Integral einer Konstanten $k$ ist $kx + C$**. Insbesondere ist das **Integral von $1$ gleich $x + C$**. Es ist das einfachste Integral der Analysis, und fast jedes andere Integral greift irgendwo darauf zurück, meist beim letzten Glied eines Polynoms.

$$\int k\,dx = kx + C, \qquad \int 1\,dx = \int dx = x + C$$

## Graph: Eine Konstante ergibt ein Rechteck

```graph
title: 'Fläche unter y = 3 von x = 0 bis x = 2, mit der Stammfunktion y = 3x'
caption: 'Das schraffierte Rechteck hat die Höhe $3$ und die Breite $2$, also den Flächeninhalt $6$. Die gestrichelte Gerade $y = 3x$ ist die Stammfunktion: Sie steigt zwischen $x = 0$ und $x = 2$ um genau $6$.'
x: [-0.5, 3]
y: [-1, 8]
functions:
  - expr: '3'
    label: y = 3
  - expr: 3x
    label: y = 3x (Stammfunktion)
    dashed: true
shade: {expr: '3', from: 0, to: 2}
points:
  - [2, 6, '(2, 6)']
```

Die Fläche unter einer waagerechten Geraden ist immer ein Rechteck. Seine Höhe ist $k$ und seine Breite ist die Strecke, um die sich $x$ bewegt hat, also wächst die aufsummierte Fläche wie $kx$. Das ist die ganze Formel in einem Bild.

## Warum das Integral von k gleich kx + C ist

Ein Integral fragt: Welche Funktion hat diese Ableitung? Gesucht ist eine Funktion, deren Steigung überall $k$ ist. Genau das leistet eine Gerade mit der Steigung $k$:

$$\frac{d}{dx}(kx) = k$$

Eine beliebige Konstante $C$ verschiebt die Gerade nach oben oder unten, ohne ihre Steigung zu ändern, also funktioniert jede Funktion $kx + C$. Du kannst es auch als [Potenzregel für Integrale](/rules/reverse-power-rule) mit $n = 0$ sehen: Wegen $k = kx^0$ gilt

$$\int kx^0\,dx = k\cdot\frac{x^{1}}{1} + C = kx + C$$

## Probe durch Ableiten

Überprüfe eine Stammfunktion immer, indem du sie ableitest:

$$\frac{d}{dx}\left(kx + C\right) = k + 0 = k \checkmark$$

Die passende Seite zur Ableitung ist die [Ableitung einer Konstanten](/derivatives/constant), die denselben Gedanken rückwärts beschreibt: Die Ableitung jeder Konstanten ist $0$.

## Bestimmte Integrale einer Konstanten

Mit dem [Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-2):

$$\int_a^b k\,dx = \Big[kx\Big]_a^b = kb - ka = k(b - a)$$

Ist $k$ negativ, liegt das Rechteck unterhalb der Achse und das Ergebnis ist negativ. Zum Beispiel ist $\int_0^4 (-2)\,dx = -8$.

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1.** $\int 7\,dx = 7x + C$.

**Beispiel 2: Konstanten, die wie Variablen aussehen.** Jede Zahl ohne $x$ zählt als Konstante, auch wenn sie mit einem Symbol geschrieben wird:

$$\int \pi\,dx = \pi x + C, \qquad \int e^2\,dx = e^2 x + C, \qquad \int \ln 5\,dx = x\ln 5 + C$$

**Beispiel 3: innerhalb eines Polynoms.** Mit der [Linearität des Integrals](/rules/integral-linearity-rules):

$$\int (6x^2 - 4x + 9)\,dx = 2x^3 - 2x^2 + 9x + C$$

Aus der $9$ wird $9x$. Die beiden anderen Summanden findest du beim [Integral von x](/integrals/x) und beim [Integral von x²](/integrals/x-squared).

**Beispiel 4: eine andere Variable.** $\int 3\,dt = 3t + C$. Die Variable im Ergebnis passt zur Variablen in $dt$.

**Beispiel 5: ein bestimmtes Integral.** $\int_{-1}^{4} 3\,dx = 3\big(4 - (-1)\big) = 15$.

## Häufige Fehler

1. **Eine Konstante zu 0 integrieren.** Das ist die Ableitungsregel. Integrieren geht in die andere Richtung: $\int 5\,dx = 5x + C$, nicht $0$.
2. **$5 + C$ schreiben.** Das Ergebnis muss $x$ enthalten. Probe: Die Ableitung von $5 + C$ ist $0$, nicht $5$.
3. **$+ C$ vergessen.** Ohne die Integrationskonstante hast du nur eine Stammfunktion, nicht alle.
4. **$e^2$ oder $\pi^2$ als Potenz von $x$ behandeln.** Das sind ganz normale Zahlen. $\int e^2\,dx$ ist $e^2x + C$, nicht $\frac{e^3}{3}$.

Lust auf mehr Übung? Probier die [Übungsaufgaben zu Stammfunktionen](/practice-problems/antiderivatives) oder lies den Leitfaden zu [Stammfunktionen](/blog/antiderivatives).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist das Integral von 1?

Das Integral von $1$ ist $x + C$. Allein geschrieben bedeutet $\int dx$ dasselbe und ist ebenfalls $x + C$.

### Was ist das Integral einer Konstanten k?

Es ist $kx + C$. Mach die Probe durch Ableiten: Die Ableitung von $kx$ ist $k$, die Ableitung von $C$ ist $0$.

### Was ist das Integral von 0?

Es ist eine beliebige Konstante $C$. Jede konstante Funktion hat die Ableitung $0$, also ist jede Konstante eine Stammfunktion von $0$.

### Was ist das Integral von 5 von 2 bis 7?

Es ist $5(7 - 2) = 25$, der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seiten $5$ und $5$.