# Integral von ln x: Formel, Rechenweg und Beispiele

> Das Integral von ln x ist x ln x − x + C. Partielle Integration Schritt für Schritt, die Probe, ein Graph und Beispiele wie ln(2x) und (ln x)².

Quelle: https://practicecalculus.com/de/integrale/integral-ln-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \int \ln x\,dx = x\ln x - x + C $$

## Auf einen Blick

- **Stammfunktion:** $x\ln x - x + C$
- **Methode:** Partielle Integration mit $u = \ln x$, $dv = dx$
- **Von 1 bis e:** $1$
- **Von 0 bis 1:** $-1$ (uneigentlich, konvergent)
- **Logarithmus zur Basis b:** $\int \log_b x\,dx = \frac{x\ln x - x}{\ln b} + C$

## Das Wichtigste

- Das Integral von $\ln x$ ist $x\ln x - x + C$, was du auch als $x(\ln x - 1) + C$ schreiben kannst.
- Verwende partielle Integration mit $u = \ln x$ und $dv = dx$. Das Restintegral ist einfach $\int 1\,dx$.
- Das Ergebnis ist nicht $\frac{1}{x}$. Das ist die Ableitung von $\ln x$.
- Wiederholst du den Trick, löst du auch $(\ln x)^2$, $(\ln x)^3$ und so weiter.

Das **Integral von $\ln x$ ist $x\ln x - x + C$**. Keine Umkehrregel macht den Logarithmus direkt rückgängig, deshalb ist die Standardmethode die partielle Integration mit einem versteckten Faktor $1$.

$$\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C$$

## Graph von ln x und seiner Stammfunktion

```graph
title: 'y = ln x und seine Stammfunktion x ln x − x'
caption: 'Die schraffierte Fläche von $1$ bis $e$ ist genau $1$. Die gestrichelte Stammfunktion hat ihr Minimum bei $x = 1$, wo $\ln x$ von negativ zu positiv wechselt.'
x: [-0.5, 5]
y: [-2.5, 3.5]
functions:
  - expr: ln(x)
    label: y = ln x
    domain: [0.05, 5]
  - expr: x*ln(x) - x
    label: y = x ln x − x (Stammfunktion)
    dashed: true
    domain: [0.01, 5]
shade:
  expr: ln(x)
  from: 1
  to: 2.71828
points:
  - [1, 0, '(1, 0)']
  - [1, -1, '(1, −1)']
```

## ln x Schritt für Schritt integrieren

Verwende [partielle Integration](/rules/integration-by-parts-rule), $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.

1. **$\ln x$ als Produkt schreiben.** $\int\ln x\,dx = \int \ln x\cdot 1\,dx$.
2. **Die Teile wählen.** $u = \ln x$ und $dv = dx$. Dann ist $du = \frac{1}{x}\,dx$ und $v = x$.
3. **Die Formel anwenden.**
$$\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx$$
4. **Abschließen.** $\int 1\,dx = x$, das Ergebnis ist also $x\ln x - x + C$.

Warum klappt das? Beim Ableiten wird $\ln x$ zu $\frac{1}{x}$, und das kürzt das $x$ aus $v$ weg. In der LIATE-Reihenfolge stehen Logarithmen ganz vorne, sie spielen also fast immer die Rolle von $u$. Mehr zur Wahl von $u$ findest du im Leitfaden zur [partiellen Integration](/blog/integration-by-parts).

## Probe durch Ableiten

Mit der [Produktregel](/rules/product-rule) und der [Ableitung von ln x](/derivatives/ln-x):

$$\frac{d}{dx}\left(x\ln x - x\right) = \ln x + x\cdot\frac{1}{x} - 1 = \ln x + 1 - 1 = \ln x$$

## Bestimmte Integrale

**Von 1 bis e:**

$$\int_1^e\ln x\,dx = (e\cdot 1 - e) - (1\cdot 0 - 1) = 0 + 1 = 1$$

**Von 1 bis 2:** $(2\ln 2 - 2) - (0 - 1) = 2\ln 2 - 1 \approx 0.386$.

**Von 0 bis 1:** Das ist ein [uneigentliches Integral](/blog/improper-integrals), da $\ln x \to -\infty$ in der Nähe von $0$. Mit dem Grenzwert $x\ln x \to 0$ für $x \to 0^+$:

$$\int_0^1 \ln x\,dx = (0 - 1) - \lim_{a\to 0^+}(a\ln a - a) = -1$$

Das Ergebnis ist negativ, weil $\ln x < 0$ auf $(0, 1)$ gilt, die Fläche also unter der Achse liegt.

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: eine Konstante im Argument.** $\int\ln(2x)\,dx$. Setze $u = 2x$, $dx = \frac{du}{2}$:

$$\frac{1}{2}(u\ln u - u) + C = x\ln(2x) - x + C$$

**Beispiel 2: ein verschobener Logarithmus.** $\int\ln(x+1)\,dx$. Setze $u = x + 1$, $du = dx$:

$$(x+1)\ln(x+1) - (x+1) + C$$

Die $-1$ lässt sich in $C$ aufnehmen, also ist auch $(x+1)\ln(x+1) - x + C$ richtig.

**Beispiel 3: ein quadrierter Logarithmus.** $\int(\ln x)^2\,dx$. Wähle $u = (\ln x)^2$, $dv = dx$, also $du = \frac{2\ln x}{x}\,dx$ und $v = x$:

$$\int(\ln x)^2\,dx = x(\ln x)^2 - 2\int\ln x\,dx = x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x + C$$

**Beispiel 4: eine Potenz von x im Argument.** $\int\ln(x^3)\,dx = 3\int\ln x\,dx = 3x\ln x - 3x + C$, nach der Logarithmusregel $\ln(x^3) = 3\ln x$.

**Beispiel 5: Basis 10.** Wegen $\log_{10}x = \frac{\ln x}{\ln 10}$ gilt $\int\log_{10}x\,dx = \frac{x\ln x - x}{\ln 10} + C$.

## Häufige Fehler

1. **$\frac{1}{x}$ angeben.** Das ist die Ableitung von $\ln x$. Das Integral von $\frac{1}{x}$ ist $\ln\lvert x\rvert$; siehe [Integral von 1/x](/integrals/1-over-x).
2. **$u = 1$, $dv = \ln x\,dx$ wählen.** Dann brauchst du $\int\ln x\,dx$, um $v$ zu bestimmen, also genau das, was du ausrechnen willst.
3. **Das $-x$ verlieren.** $x\ln x$ allein hat die Ableitung $\ln x + 1$, eins zu viel.
4. **$\ln x$ mit $\frac{\ln x}{x}$ verwechseln.** $\int\frac{\ln x}{x}\,dx = \frac{(\ln x)^2}{2} + C$ ist eine Aufgabe für die [Substitutionsregel](/rules/u-substitution-rule), nicht für partielle Integration.

Für einen Logarithmus mal einer Potenz von $x$ siehe [Integral von x ln x](/integrals/x-ln-x). Für Logarithmen im Nenner siehe [Integral von 1/(x ln x)](/integrals/1-over-x-ln-x).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist das Integral von ln x?

Es ist $x\ln x - x + C$, für $x > 0$.

### Was ist das Integral von ln(2x)?

Es ist $x\ln(2x) - x + C$. Wegen $\ln(2x) = \ln 2 + \ln x$ kannst du auch die Teile einzeln integrieren und erhältst $x\ln 2 + x\ln x - x + C$, was dasselbe ist.

### Was ist das Integral von (ln x)²?

Es ist $x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x + C$. Integriere partiell mit $u = (\ln x)^2$, $dv = dx$ und verwende dann für den Rest das Integral von $\ln x$.

### Was ist das Integral von ln x von 0 bis 1?

Es ist $-1$. Das Integral ist uneigentlich, weil $\ln x \to -\infty$ bei $0$, aber $x\ln x \to 0$, also ist das Integral $(0 - 1) - 0 = -1$.