# Integral von sec³ x: Formel, Herleitung und Beispiele

> Das Integral von sec³ x ist ½(sec x tan x + ln|sec x + tan x|) + C. Der Kreisschluss bei der partiellen Integration, die vollständige Probe und die Bogenlänge.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/integrale/integral-sec-hoch-3-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \int \sec^3 x\,dx = \frac{1}{2}\left(\sec x\tan x + \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert\right) + C $$

## Auf einen Blick

- **Stammfunktion:** $\dfrac{1}{2}\sec x\tan x + \dfrac{1}{2}\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$
- **Methode:** Partielle Integration mit $u = \sec x$, $dv = \sec^2 x\,dx$
- **Wichtige Identität:** $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$
- **Von 0 bis π/4:** $\dfrac{\sqrt{2} + \ln(1 + \sqrt{2})}{2} \approx 1.148$
- **Rekursionsformel:** $\int\sec^n x\,dx = \dfrac{\sec^{n-2}x\tan x}{n - 1} + \dfrac{n - 2}{n - 1}\int\sec^{n-2}x\,dx$

## Das Wichtigste

- Das Integral von $\sec^3 x$ ist $\frac{1}{2}\left(\sec x\tan x + \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert\right) + C$.
- Integriere einmal partiell, verwende $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$, und das ursprüngliche Integral taucht rechts wieder auf.
- Bring es auf die linke Seite und teile durch $2$. Dieser Kreisschluss funktioniert auch bei $\int e^x\sin x\,dx$.
- Es taucht immer auf, wenn du $\sqrt{1 + x^2}$ integrierst, zum Beispiel bei der Bogenlänge einer Parabel.

Das **Integral von $\sec^3 x$ ist $\dfrac{1}{2}\left(\sec x\tan x + \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert\right) + C$**. Da sec x gleich 1/cos x ist, ist das zugleich das Integral von 1/cos³ x. Es ist das klassische Beispiel für eine partielle Integration, bei der das Integral wieder auftaucht und man danach auflöst.

$$\int \sec^3 x\,dx = \frac{1}{2}\sec x\tan x + \frac{1}{2}\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$$

## Graph von sec³ x und die Fläche darunter

```graph
title: 'Fläche unter y = sec³ x von 0 bis π/4'
caption: 'Die schraffierte Fläche ist $\frac{\sqrt{2} + \ln(1 + \sqrt{2})}{2} \approx 1.148$. Die Funktion wächst zur Asymptote bei $x = \frac{\pi}{2}$ hin sehr schnell.'
x: [-1.6, 1.6]
y: [-0.5, 6]
functions:
  - expr: sec(x)^3
    label: y = sec³ x
    domain: [-1.05, 1.05]
  - expr: sec(x)
    label: y = sec x (zum Vergleich)
    dashed: true
    domain: [-1.3, 1.3]
shade: {expr: sec(x)^3, from: 0, to: 0.7854}
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
  - [0.7854, 2.828, '(π/4, 2√2)']
```

## Herleitung mit partieller Integration

Nenne das Integral $I = \int\sec^3 x\,dx$.

1. Zerlege $\sec^3 x = \sec x\cdot\sec^2 x$ und verwende die [Regel der partiellen Integration](/rules/integration-by-parts-rule) mit
$$u = \sec x,\quad dv = \sec^2 x\,dx,\qquad du = \sec x\tan x\,dx,\quad v = \tan x$$
2. Wende $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ an:
$$I = \sec x\tan x - \int\sec x\tan^2 x\,dx$$
3. Ersetze $\tan^2 x$ durch $\sec^2 x - 1$:
$$I = \sec x\tan x - \int\sec^3 x\,dx + \int\sec x\,dx = \sec x\tan x - I + \int\sec x\,dx$$
4. Das ursprüngliche Integral $I$ steht jetzt rechts. Addiere $I$ auf beiden Seiten:
$$2I = \sec x\tan x + \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert$$
5. Teile durch $2$ und ergänze $C$.

Schritt 4 verwendet das [Integral von sec x](/integrals/sec-x). Die Wahl $dv = \sec^2 x\,dx$ funktioniert, weil $\sec^2 x$ der Teil ist, den man leicht integrieren kann, nämlich zu $\tan x$. Der Leitfaden zur [partiellen Integration](/blog/integration-by-parts) zeigt weitere Beispiele für diesen Kreisschluss.

## Probe durch Ableiten

Zuerst mit der [Produktregel](/rules/product-rule):

$$\frac{d}{dx}(\sec x\tan x) = \sec x\tan x\cdot\tan x + \sec x\cdot\sec^2 x = \sec x\tan^2 x + \sec^3 x$$

Ersetze $\tan^2 x$ durch $\sec^2 x - 1$ und erhalte $2\sec^3 x - \sec x$. Der Logarithmus-Summand ergibt abgeleitet $\sec x$. Also

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2}\sec x\tan x + \frac{1}{2}\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert\right] = \frac{1}{2}\left(2\sec^3 x - \sec x + \sec x\right) = \sec^3 x \checkmark$$

## Bestimmtes Integral

Bei $x = \frac{\pi}{4}$: $\sec = \sqrt{2}$, $\tan = 1$. Bei $x = 0$: $\sec = 1$, $\tan = 0$ und $\ln 1 = 0$. Also

$$\int_0^{\pi/4}\sec^3 x\,dx = \frac{1}{2}\left(\sqrt{2} + \ln(\sqrt{2} + 1)\right) \approx 1.148$$

## Anwendung: Integral von √(1 + x²) und Bogenlänge

Setze $x = \tan\theta$, $dx = \sec^2\theta\,d\theta$. Dann ist $\sqrt{1 + x^2} = \sec\theta$ und

$$\int\sqrt{1 + x^2}\,dx = \int\sec^3\theta\,d\theta = \frac{1}{2}x\sqrt{1 + x^2} + \frac{1}{2}\ln\left(x + \sqrt{1 + x^2}\right) + C$$

Die Bogenlänge der Parabel $y = \frac{x^2}{2}$ von $x = 0$ bis $x = 1$ ist $\int_0^1\sqrt{1 + x^2}\,dx$, also genau die schraffierte Fläche oben: etwa $1.148$. Mehr dazu in der Lektion zu [Bogenlänge und Mantelfläche](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/arc-length-and-surface-area).

## Die Rekursionsformel

Dieselben Schritte mit $\sec^n x$ liefern

$$\int\sec^n x\,dx = \frac{\sec^{n-2}x\tan x}{n - 1} + \frac{n - 2}{n - 1}\int\sec^{n-2}x\,dx$$

Mit $n = 3$ ist das unser Ergebnis. Mit $n = 5$ führt sie $\sec^5 x$ auf $\sec^3 x$ zurück, das du jetzt kennst.

## Häufige Fehler

1. **Die Potenzregel verwenden: $\frac{\sec^4 x}{4}$.** Die Ableitung davon ist $\sec^4 x\tan x$, nicht $\sec^3 x$.
2. **$u = \sec^2 x$, $dv = \sec x\,dx$ wählen.** Dann ist $v = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert$, und das neue Integral ist viel schwieriger.
3. **Vergessen, durch $2$ zu teilen**, nachdem du die $I$-Terme gesammelt hast.
4. **Den Logarithmus-Summanden verlieren.** Das $\int\sec x\,dx$ aus Schritt 3 fällt leicht unter den Tisch.

Übe mit den [Aufgaben zur partiellen Integration](/practice-problems/integration-by-parts).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist das Integral von sec³ x?

Es ist $\frac{1}{2}\sec x\tan x + \frac{1}{2}\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$.

### Warum kann ich bei sec³ x nicht die Potenzregel verwenden?

Die Potenzregel für $\int u^3\,du$ verlangt, dass $du = \sec x\tan x\,dx$ im Integral steht. Das ist nicht der Fall, also brauchst du partielle Integration.

### Was ist das Integral von √(1 + x²)?

Mit $x = \tan\theta$ wird es zu $\int\sec^3\theta\,d\theta$. Das Ergebnis ist $\frac{1}{2}x\sqrt{1 + x^2} + \frac{1}{2}\ln\left(x + \sqrt{1 + x^2}\right) + C$.

### Was ist das Integral von sec³ x von 0 bis π/4?

Es ist $\frac{1}{2}\left(\sqrt{2} + \ln(1 + \sqrt{2})\right) \approx 1.148$.