# Integral von sec² x: Formel, Herleitung und Beispiele

> Das Integral von sec² x, also 1/cos² x, ist tan x + C. Herleitung über die Ableitung von tan x, die Form sec²(ax) und verwandte Integrale wie tan² x.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/integrale/integral-sec-quadrat-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \int \sec^2 x\,dx = \tan x + C $$

## Auf einen Blick

- **Stammfunktion:** $\tan x + C$
- **Auch geschrieben als:** $\int\dfrac{1}{\cos^2 x}\,dx = \tan x + C$
- **Lineare Form:** $\int\sec^2(ax + b)\,dx = \dfrac{1}{a}\tan(ax + b) + C$
- **Kosekans-Gegenstück:** $\int\csc^2 x\,dx = -\cot x + C$
- **Von 0 bis π/4:** $1$

## Das Wichtigste

- Das Integral von $\sec^2 x$ ist $\tan x + C$, weil die Ableitung von $\tan x$ gleich $\sec^2 x$ ist.
- Die Potenzregel gilt hier nicht: $\int\sec^2 x\,dx$ ist nicht $\frac{\sec^3 x}{3}$.
- Bei $\sec^2(ax)$ teilst du durch $a$.
- Die Identität $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ führt $\int\tan^2 x\,dx$ auf dieses Integral zurück.

Das **Integral von $\sec^2 x$ ist $\tan x + C$**. Da sec x der Kehrwert von cos x ist, ist das genau das Integral von 1/cos² x. Es kehrt einfach die Ableitung von $\tan x$ um, es gibt also nichts zu rechnen, nur etwas wiederzuerkennen.

$$\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$$

## Graph von sec² x und seiner Stammfunktion

```graph
title: 'Fläche unter y = sec² x von 0 bis π/4, mit der Stammfunktion y = tan x'
caption: 'Die schraffierte Fläche ist $\tan\frac{\pi}{4} - \tan 0 = 1$. Die gestrichelte Kurve $y = \tan x$ ist dort am steilsten, wo $\sec^2 x$ am größten ist, also in der Nähe der Asymptoten.'
x: [-1.6, 1.6]
y: [-3, 5]
functions:
  - expr: sec(x)^2
    label: y = sec² x
    domain: [-1.1, 1.1]
  - expr: tan(x)
    label: y = tan x (Stammfunktion)
    dashed: true
    domain: [-1.37, 1.37]
shade: {expr: sec(x)^2, from: 0, to: 0.7854}
points:
  - [0.7854, 1, '(π/4, 1)']
  - [0, 1, 'Steigung 1']
```

Der kleinste Wert von $\sec^2 x$ ist $1$, bei $x = 0$. Das passt zur Steigung von $\tan x$ im Ursprung.

## Herleitung

1. Erinnere dich an die [Ableitung von tan x](/derivatives/tan-x): $\frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x$.
2. Also ist $\tan x$ eine Stammfunktion von $\sec^2 x$.
3. Ergänze $C$: $\int\sec^2 x\,dx = \tan x + C$.

Falls du vergessen hast, warum $\frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x$ gilt, wende die [Quotientenregel](/rules/quotient-rule) auf $\frac{\sin x}{\cos x}$ an:

$$\frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$$

## Probe durch Ableiten

$$\frac{d}{dx}(\tan x + C) = \sec^2 x \checkmark$$

## Bestimmte Integrale

$$\int_0^{\pi/4}\sec^2 x\,dx = 1, \qquad \int_0^{\pi/3}\sec^2 x\,dx = \sqrt{3}, \qquad \int_{-\pi/4}^{\pi/4}\sec^2 x\,dx = 2$$

Jedes Intervall, das bis $\pm\frac{\pi}{2}$ reicht, ergibt ein divergentes uneigentliches Integral, weil $\tan x \to \infty$.

## Varianten mit Substitution

$$\int\sec^2(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}\tan(ax + b) + C$$

**Beispiel 1.** $\int\sec^2(5x)\,dx = \frac{1}{5}\tan(5x) + C$.

**Beispiel 2.** $\int x\sec^2(x^2)\,dx = \frac{1}{2}\tan(x^2) + C$, mit $u = x^2$.

**Beispiel 3.** $\int\sec^2 x\,e^{\tan x}\,dx = e^{\tan x} + C$, mit $u = \tan x$.

**Beispiel 4.** $\int\frac{\sec^2 x}{\tan x}\,dx = \ln\lvert\tan x\rvert + C$, weil der Zähler die Ableitung des Nenners ist.

## Verwandte Integrale

Die trigonometrischen Integrale mit Quadraten und Produkten folgen direkt aus den sechs trigonometrischen Ableitungen:

| Integral | Ergebnis | Herkunft |
| --- | --- | --- |
| $\int\sec^2 x\,dx$ | $\tan x + C$ | $(\tan x)' = \sec^2 x$ |
| $\int\csc^2 x\,dx$ | $-\cot x + C$ | $(\cot x)' = -\csc^2 x$ |
| $\int\sec x\tan x\,dx$ | $\sec x + C$ | $(\sec x)' = \sec x\tan x$ |
| $\int\csc x\cot x\,dx$ | $-\csc x + C$ | $(\csc x)' = -\csc x\cot x$ |
| $\int\tan^2 x\,dx$ | $\tan x - x + C$ | $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ |

Die letzte Zeile wird auf der Seite [Integral von tan² x](/integrals/tan-squared-x) ausgerechnet, die dritte auf der Seite [Integral von sec x tan x](/integrals/sec-x-tan-x).

## Rechenbeispiel: zwei richtige Ergebnisse

Bestimme $\int\sec^2 x\tan x\,dx$.

- Mit $u = \tan x$, $du = \sec^2 x\,dx$: Das Ergebnis ist $\frac{\tan^2 x}{2} + C$.
- Mit $u = \sec x$, $du = \sec x\tan x\,dx$: Der Integrand ist $\sec x\cdot(\sec x\tan x)$, das Ergebnis also $\frac{\sec^2 x}{2} + C$.

Beides stimmt. Wegen $\sec^2 x = \tan^2 x + 1$ unterscheiden sich die beiden Ergebnisse nur um die Konstante $\frac{1}{2}$, die in $C$ aufgeht.

## Häufige Fehler

1. **Die Potenzregel verwenden: $\frac{\sec^3 x}{3}$.** Dafür müsste die innere Ableitung $\sec x\tan x$ dastehen. Das tut sie nicht.
2. **$2\sec x\cdot\sec x\tan x$ angeben.** Das ist die Ableitung von $\sec^2 x$.
3. **Mit $\int\sec x\,dx$ verwechseln.** Das ergibt $\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$. Siehe [Integral von sec x](/integrals/sec-x).
4. **Das Teilen durch $a$ vergessen** bei $\int\sec^2(ax)\,dx$.

Übe mit den [Aufgaben zu trigonometrischen Integralen](/practice-problems/trig-integrals).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist das Integral von sec² x?

Das Integral von $\sec^2 x$ ist $\tan x + C$.

### Was ist das Integral von 1/cos² x?

Da $\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$ ist, ergibt sich $\tan x + C$.

### Was ist das Integral von sec²(3x)?

Es ist $\frac{1}{3}\tan(3x) + C$.

### Was ist das Integral von sec² x tan x?

Mit $u = \tan x$ ist es $\frac{\tan^2 x}{2} + C$. Mit $u = \sec x$ erhältst du $\frac{\sec^2 x}{2} + C$. Beides ist richtig, denn die Ergebnisse unterscheiden sich nur um die Konstante $\frac{1}{2}$.