# Integral von sec x tan x: Formel, Herleitung und Beispiele

> Das Integral von sec x tan x ist sec x + C. Warum es die Ableitung von sec x umkehrt, wie du es als sin x/cos² x erkennst, und Beispiele.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/integrale/integral-sec-x-tan-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \int \sec x\tan x\,dx = \sec x + C $$

## Auf einen Blick

- **Stammfunktion:** $\sec x + C$
- **Dasselbe wie:** $\int\dfrac{\sin x}{\cos^2 x}\,dx = \sec x + C$
- **Lineare Form:** $\int\sec(ax)\tan(ax)\,dx = \dfrac{1}{a}\sec(ax) + C$
- **Kosekans-Gegenstück:** $\int\csc x\cot x\,dx = -\csc x + C$
- **Von 0 bis π/3:** $1$

## Das Wichtigste

- Das Integral von $\sec x\tan x$ ist $\sec x + C$, weil die Ableitung von $\sec x$ gleich $\sec x\tan x$ ist.
- Es taucht oft verkleidet als $\frac{\sin x}{\cos^2 x}$ auf.
- Es ist der Schlüssel zu Substitutionen mit $u = \sec x$, etwa bei $\int\sec^3 x\tan x\,dx$.
- Sein Gegenstück ist $\int\csc x\cot x\,dx = -\csc x + C$, mit Minuszeichen.

Das **Integral von $\sec x\tan x$ ist $\sec x + C$**. Es kehrt eine der sechs trigonometrischen Grundableitungen um, deshalb lohnt es sich, es auf einen Blick zu erkennen.

$$\int \sec x\tan x\,dx = \sec x + C$$

## Graph von sec x tan x und seiner Stammfunktion

```graph
title: 'Fläche unter y = sec x tan x von 0 bis π/3, mit der Stammfunktion y = sec x'
caption: 'Die schraffierte Fläche ist $\sec\frac{\pi}{3} - \sec 0 = 2 - 1 = 1$. Die gestrichelte Kurve $y = \sec x$ hat ihr Minimum bei $x = 0$, genau dort, wo $\sec x\tan x$ null wird.'
x: [-1.6, 1.6]
y: [-4, 5]
functions:
  - expr: sec(x)tan(x)
    label: y = sec x tan x
    domain: [-1.2, 1.2]
  - expr: sec(x)
    label: y = sec x (Stammfunktion)
    dashed: true
    domain: [-1.35, 1.35]
shade: {expr: sec(x)tan(x), from: 0, to: 1.0472}
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
  - [1.0472, 2, '(π/3, 2)']
```

$\sec x\tan x$ ist eine ungerade Funktion, also ist ihre Stammfunktion $\sec x$ gerade.

## Herleitung

1. Erinnere dich an die [Ableitung von sec x](/derivatives/sec-x): $\frac{d}{dx}\sec x = \sec x\tan x$.
2. Kehre sie um: $\sec x$ ist eine Stammfunktion von $\sec x\tan x$.
3. Ergänze $C$.

Wenn du sehen willst, woher die Ableitung kommt, schreibe $\sec x = (\cos x)^{-1}$ und verwende die [Kettenregel](/rules/chain-rule):

$$\frac{d}{dx}(\cos x)^{-1} = -(\cos x)^{-2}\cdot(-\sin x) = \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \sec x\tan x$$

## Probe durch Ableiten

$$\frac{d}{dx}(\sec x + C) = \sec x\tan x \checkmark$$

## Das Integral in Verkleidung erkennen

Das Integral kommt nicht immer mit Etikett daher. Jeder dieser Integranden ist $\sec x\tan x$:

| Integrand | Umgeschrieben | Integral |
| --- | --- | --- |
| $\frac{\sin x}{\cos^2 x}$ | $\frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}$ | $\sec x + C$ |
| $\frac{\tan x}{\cos x}$ | $\tan x\sec x$ | $\sec x + C$ |
| $\frac{\sin x}{1 - \sin^2 x}$ | $\frac{\sin x}{\cos^2 x}$ | $\sec x + C$ |

Die erste Zeile kannst du auch direkt mit $u = \cos x$ lösen: $\int\frac{\sin x}{\cos^2 x}\,dx = -\int u^{-2}\,du = u^{-1} + C = \sec x + C$. Das Ergebnis ist also einfach 1/cos x + C.

## Bestimmte Integrale

$$\int_0^{\pi/3}\sec x\tan x\,dx = 2 - 1 = 1, \qquad \int_0^{\pi/4}\sec x\tan x\,dx = \sqrt{2} - 1 \approx 0.414$$

Über einem symmetrischen Intervall wie $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ ist das Integral $0$, weil der Integrand ungerade ist.

## Varianten mit Substitution

$$\int\sec(ax + b)\tan(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}\sec(ax + b) + C$$

**Beispiel 1.** $\int\sec(5x)\tan(5x)\,dx = \frac{1}{5}\sec(5x) + C$.

**Beispiel 2: Potenzen von sec.** Mit $u = \sec x$, $du = \sec x\tan x\,dx$:

$$\int\sec^3 x\tan x\,dx = \int\sec^2 x\cdot(\sec x\tan x)\,dx = \int u^2\,du = \frac{\sec^3 x}{3} + C$$

**Beispiel 3: ungerade Potenzen von tan.** $\int\tan^3 x\sec x\,dx = \int(\sec^2 x - 1)\sec x\tan x\,dx = \frac{\sec^3 x}{3} - \sec x + C$.

**Beispiel 4: das Kosekans-Gegenstück.** $\int\csc x\cot x\,dx = -\csc x + C$, da $\frac{d}{dx}\csc x = -\csc x\cot x$.

## Häufige Fehler

1. **Jeden Faktor einzeln integrieren.** $\int\sec x\tan x\,dx$ ist nicht $\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert\cdot\ln\lvert\sec x\rvert$. Integrale lassen sich nicht auf Produkte verteilen.
2. **$\tan x$ angeben.** Das ist das Integral von $\sec^2 x$. Siehe [Integral von sec² x](/integrals/sec-squared-x).
3. **$\csc x$ für die Kosekans-Variante angeben.** Dort gehört ein Minuszeichen hin: $-\csc x + C$.
4. **Die Verkleidung übersehen.** Versuche immer erst, $\frac{\sin x}{\cos^2 x}$ umzuschreiben, bevor du zu einer schwierigeren Methode greifst.

Übe mit den [Aufgaben zu trigonometrischen Integralen](/practice-problems/trig-integrals).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist das Integral von sec x tan x?

Das Integral von $\sec x\tan x$ ist $\sec x + C$.

### Was ist das Integral von sin x / cos² x?

Wegen $\frac{\sin x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x} = \sec x\tan x$ ist das Integral $\sec x + C$.

### Was ist das Integral von sec(2x) tan(2x)?

Es ist $\frac{1}{2}\sec(2x) + C$.

### Was ist das Integral von csc x cot x?

Es ist $-\csc x + C$, weil die Ableitung von $\csc x$ gleich $-\csc x\cot x$ ist.