# Integral von sec x: Formel, Herleitung und Beispiele

> Das Integral von sec x (also 1/cos x) ist ln|sec x + tan x| + C. Der Trick mit der geschickten Eins, gleichwertige Formen, die Probe und Beispiele.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/integrale/integral-sec-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \int \sec x\,dx = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C $$

## Auf einen Blick

- **Stammfunktion:** $\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$
- **Methode:** Mit $\dfrac{\sec x + \tan x}{\sec x + \tan x}$ multiplizieren
- **Gleichwertige Form:** $\dfrac{1}{2}\ln\left\lvert\dfrac{1 + \sin x}{1 - \sin x}\right\rvert + C$
- **Weitere Form:** $\ln\left\lvert\tan\left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{4}\right)\right\rvert + C$
- **Von 0 bis π/4:** $\ln\left(1 + \sqrt{2}\right) \approx 0.881$

## Das Wichtigste

- Das Integral von $\sec x$ ist $\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$.
- Der Trick: Multipliziere mit $\frac{\sec x + \tan x}{\sec x + \tan x}$. Dann ist der Zähler die Ableitung des Nenners.
- Andere Bücher schreiben $\frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}\right\rvert$ oder $\ln\left\lvert\tan\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\right\rvert$. Alle Formen sind gleich.
- Es ist nicht $\sec x\tan x$. Das ist die Ableitung von $\sec x$.

Das **Integral von $\sec x$ ist $\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$**. Der Sekans sec x ist der Kehrwert des Kosinus, es geht hier also um das Integral von 1/cos x. Berühmt ist es, weil die übliche Herleitung einen Trick braucht, auf den man zunächst kaum kommt, und weil es in schwierigeren Integralen wie $\int\sec^3 x\,dx$ wieder auftaucht.

$$\int \sec x\,dx = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$$

## Graph von sec x und die Fläche darunter

```graph
title: 'Fläche unter y = sec x von 0 bis π/4, mit der Stammfunktion y = ln|sec x + tan x|'
caption: 'Die schraffierte Fläche ist $\ln(1 + \sqrt{2}) \approx 0.881$. Die gestrichelte Stammfunktion verläuft durch den Ursprung und steigt immer, weil $\sec x > 0$ auf $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ gilt.'
x: [-1.6, 1.6]
y: [-3, 4]
functions:
  - expr: sec(x)
    label: y = sec x
    domain: [-1.3, 1.3]
  - expr: ln(abs(sec(x) + tan(x)))
    label: y = ln|sec x + tan x| (Stammfunktion)
    dashed: true
    domain: [-1.5, 1.5]
shade: {expr: sec(x), from: 0, to: 0.7854}
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
```

## Herleitung Schritt für Schritt

1. Multipliziere mit einer geschickt gewählten $1$:
$$\int\sec x\,dx = \int\sec x\cdot\frac{\sec x + \tan x}{\sec x + \tan x}\,dx = \int\frac{\sec^2 x + \sec x\tan x}{\sec x + \tan x}\,dx$$
2. Betrachte den Nenner $u = \sec x + \tan x$. Seine Ableitung ist $\sec x\tan x + \sec^2 x$, also genau der Zähler.
3. Also ist $du = (\sec^2 x + \sec x\tan x)\,dx$, und das Integral wird zu $\int\frac{du}{u}$.
4. Integriere: $\ln\lvert u\rvert + C = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$.

Schritt 2 verwendet die [Ableitung von sec x](/derivatives/sec-x) und die [Ableitung von tan x](/derivatives/tan-x). Schritt 4 verwendet das [Integral von 1/x](/integrals/1-over-x).

## Probe durch Ableiten

$$\frac{d}{dx}\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert = \frac{\sec x\tan x + \sec^2 x}{\sec x + \tan x} = \frac{\sec x(\tan x + \sec x)}{\sec x + \tan x} = \sec x \checkmark$$

## Gleichwertige Formen

In Tabellen oder bei Computeralgebrasystemen findest du eventuell andere Ergebnisse. Sie beschreiben alle dieselbe Funktion.

Wegen $\sec x + \tan x = \frac{1 + \sin x}{\cos x}$ ergibt Quadrieren

$$(\sec x + \tan x)^2 = \frac{(1 + \sin x)^2}{1 - \sin^2 x} = \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}$$

Also ist $\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}\right\rvert$. Mit einer Halbwinkelformel erhält man außerdem $\ln\left\lvert\tan\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\right\rvert$. Diese letzte Form bestimmt in der Mercator-Projektion die Abstände der Breitenkreise, und auf diesem Weg wurde das Integral ursprünglich entdeckt.

## Bestimmte Integrale

$$\int_0^{\pi/4}\sec x\,dx = \ln\left(\sqrt{2} + 1\right) \approx 0.881$$

$$\int_0^{\pi/3}\sec x\,dx = \ln\left(2 + \sqrt{3}\right) \approx 1.317$$

Da $\sec x$ gerade ist, gilt $\int_{-a}^{a}\sec x\,dx = 2\ln(\sec a + \tan a)$ für $0 < a < \frac{\pi}{2}$.

## Varianten mit Substitution

$$\int\sec(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}\ln\lvert\sec(ax + b) + \tan(ax + b)\rvert + C$$

Zum Beispiel ist $\int\sec(2x)\,dx = \frac{1}{2}\ln\lvert\sec 2x + \tan 2x\rvert + C$.

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: zuerst umschreiben.** $\int\frac{1}{\cos x}\,dx$ ist einfach $\int\sec x\,dx = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$.

**Beispiel 2: eine Summe.** $\int(\sec x + \sec^2 x)\,dx = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + \tan x + C$.

**Beispiel 3: innerhalb eines größeren Integrals.** Partielle Integration macht aus $\int\sec^3 x\,dx$ den Ausdruck $\frac{1}{2}\sec x\tan x + \frac{1}{2}\int\sec x\,dx$. Siehe [Integral von sec³ x](/integrals/sec-cubed-x).

**Beispiel 4: aus einer trigonometrischen Substitution.** $\int\frac{dx}{\sqrt{x^2 + 1}}$ wird mit $x = \tan\theta$ zu $\int\sec\theta\,d\theta = \ln\lvert\sec\theta + \tan\theta\rvert + C = \ln\left(\sqrt{x^2 + 1} + x\right) + C$.

## Häufige Fehler

1. **$\sec x\tan x$ angeben.** Das ist die Ableitung von $\sec x$. Das zugehörige Integral findest du auf der Seite [Integral von sec x tan x](/integrals/sec-x-tan-x), dort in die andere Richtung.
2. **$\ln\lvert\sec x\rvert$ angeben.** Das ist das [Integral von tan x](/integrals/tan-x).
3. **$\tan x$ angeben.** Das kommt von $\sec^2 x$, nicht von $\sec x$.
4. **Den Betrag weglassen** auf Intervallen, auf denen $\sec x + \tan x < 0$ ist.

Die Kosekans-Variante funktioniert genauso: siehe [Integral von csc x](/integrals/csc-x).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist das Integral von sec x?

Das Integral von $\sec x$ ist $\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$.

### Wie beweist man das Integral von sec x?

Erweitere Zähler und Nenner mit $\sec x + \tan x$. Der Zähler wird zu $\sec^2 x + \sec x\tan x$, und das ist die Ableitung des Nenners $\sec x + \tan x$. Mit $u = \sec x + \tan x$ erhältst du dann $\ln\lvert u\rvert + C$.

### Was ist das Integral von sec(2x)?

Es ist $\frac{1}{2}\ln\lvert\sec 2x + \tan 2x\rvert + C$.

### Was ist das Integral von sec x von 0 bis π/4?

Es ist $\ln\left(\sqrt{2} + 1\right) - \ln(1 + 0) = \ln\left(1 + \sqrt{2}\right) \approx 0.881$.