# Integral von sin 2x: Formel, Herleitung und Beispiele

> Das Integral von sin 2x ist -cos(2x)/2 + C. Die Substitution, warum auch sin² x + C und -cos² x + C richtig sind, und Beispiele für bestimmte Integrale.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/integrale/integral-sin-2x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \int \sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + C $$

## Auf einen Blick

- **Stammfunktion:** $-\dfrac{1}{2}\cos 2x + C$
- **Ebenfalls richtig:** $\sin^2 x + C$ oder $-\cos^2 x + C$
- **Methode:** $u = 2x$, $du = 2\,dx$
- **Von 0 bis π/2:** $1$
- **Allgemeine Form:** $\int\sin(kx)\,dx = -\dfrac{1}{k}\cos(kx) + C$

## Das Wichtigste

- Das Integral von $\sin 2x$ ist $-\frac{1}{2}\cos 2x + C$.
- Der Faktor $\frac{1}{2}$ gleicht die $2$ aus, die beim Ableiten von $\cos 2x$ durch die Kettenregel entsteht.
- Wegen $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ kannst du auch $\sin^2 x + C$ oder $-\cos^2 x + C$ erhalten. Alle drei sind richtig.
- Unterschiedlich aussehende Ergebnisse eines unbestimmten Integrals können alle stimmen, wenn sie sich nur um eine Konstante unterscheiden.

Das **Integral von $\sin 2x$ ist $-\dfrac{1}{2}\cos 2x + C$**. Es ist das [Integral von sin x](/integrals/sin-x) mit einem zusätzlichen Schritt für die $2$ im Argument.

$$\int \sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + C$$

## Graph von sin 2x und seiner Stammfunktion

```graph
title: 'Fläche unter y = sin 2x von 0 bis π/2, mit der Stammfunktion y = -cos(2x)/2'
caption: 'Der schraffierte Bogen hat den Flächeninhalt $1$, halb so viel wie ein Bogen von $\sin x$, weil er auf die halbe Breite gestaucht ist. Die gestrichelte Stammfunktion steigt von $-\frac{1}{2}$ auf $\frac{1}{2}$.'
x: [-0.5, 6.5]
y: [-1.5, 1.5]
functions:
  - expr: sin(2x)
    label: y = sin 2x
  - expr: -cos(2x)/2
    label: y = -cos(2x)/2 (Stammfunktion)
    dashed: true
shade: {expr: sin(2x), from: 0, to: 1.5708}
points:
  - [0, -0.5, '(0, -1/2)']
  - [1.5708, 0.5, '(π/2, 1/2)']
```

## Herleitung mit Substitution

1. Setze $u = 2x$. Dann ist $du = 2\,dx$, also $dx = \frac{1}{2}du$.
2. Substituiere: $\displaystyle\int\sin 2x\,dx = \frac{1}{2}\int\sin u\,du$.
3. Integriere: $\frac{1}{2}(-\cos u) + C$.
4. Setze $u = 2x$ wieder ein: $-\frac{1}{2}\cos 2x + C$.

Dieselben Schritte liefern die allgemeine Regel $\int\sin(kx)\,dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$. Siehe [Substitutionsregel](/rules/u-substitution-rule).

## Probe durch Ableiten

$$\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2}\cos 2x\right) = -\frac{1}{2}\cdot(-\sin 2x)\cdot 2 = \sin 2x \checkmark$$

Der Faktor $2$ aus der Kettenregel hebt das $\frac{1}{2}$ auf. Die andere Richtung steht auf der Seite zur [Ableitung von sin 2x](/derivatives/sin-2x).

## Drei richtige Ergebnisse

Mit der Doppelwinkelformel $\sin 2x = 2\sin x\cos x$:

- Mit $u = \sin x$, $du = \cos x\,dx$: $\int 2u\,du = \sin^2 x + C$.
- Mit $u = \cos x$, $du = -\sin x\,dx$: $\int -2u\,du = -\cos^2 x + C$.

Das sieht anders aus als $-\frac{1}{2}\cos 2x$, ist es aber nicht. Wegen $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1$ gilt:

$$-\frac{1}{2}\cos 2x = \sin^2 x - \frac{1}{2} = -\cos^2 x + \frac{1}{2}$$

Die drei Ergebnisse unterscheiden sich also nur um Konstanten. Das ist erlaubt: Das $+C$ schluckt den Unterschied. Das erklärt auch, warum die [Ableitung von sin² x](/derivatives/sin-squared-x) gleich $\sin 2x$ ist.

## Bestimmte Integrale

$$\int_0^{\pi/2}\sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos\pi + \frac{1}{2}\cos 0 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$

$$\int_0^{\pi/4}\sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

$$\int_0^{\pi}\sin 2x\,dx = 0$$

Bei einem bestimmten Integral liefern alle drei Formen der Stammfunktion dieselbe Zahl, weil sich die Konstante beim Subtrahieren weghebt.

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1.** $\int(\sin 2x + \cos 2x)\,dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{2}\sin 2x + C$.

**Beispiel 2.** $\int 6\sin 3x\,dx = 6\cdot\left(-\frac{1}{3}\cos 3x\right) + C = -2\cos 3x + C$.

**Beispiel 3: sin 2x cos x.** Schreibe $2\sin x\cos^2 x$ und setze $u = \cos x$:

$$\int\sin 2x\cos x\,dx = -\frac{2}{3}\cos^3 x + C$$

Probe: $\frac{d}{dx}\left(-\frac{2}{3}\cos^3 x\right) = 2\cos^2 x\sin x = \sin 2x\cos x$.

**Beispiel 4: sin 2x cos 2x.** Verwende $\sin 2x\cos 2x = \frac{1}{2}\sin 4x$, das Integral ist also $-\frac{1}{8}\cos 4x + C$.

## Häufige Fehler

1. **$-\cos 2x + C$ angeben.** Du hast das $\frac{1}{2}$ vergessen. Die Ableitung davon ist $2\sin 2x$.
2. **$-2\cos 2x + C$ angeben.** Das multipliziert mit $2$, und das passiert beim Ableiten.
3. **$\sin^2 x$ für falsch halten, weil es anders als im Buch aussieht.** Leite es ab: Du erhältst $\sin 2x$, also stimmt es.
4. **$2\sin x$ statt $\sin 2x$ schreiben.** $\sin 2x = 2\sin x\cos x$, nicht $2\sin x$.

Übe mit den [Aufgaben zur Substitution](/practice-problems/u-substitution).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist das Integral von sin 2x?

Das Integral von $\sin 2x$ ist $-\frac{1}{2}\cos 2x + C$.

### Warum bekomme ich beim Integrieren von sin 2x das Ergebnis sin² x?

Wenn du $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ schreibst und $u = \sin x$ verwendest, erhältst du $\sin^2 x + C$. Das ist ebenfalls richtig, denn $\sin^2 x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x$ unterscheidet sich von $-\frac{1}{2}\cos 2x$ nur um die Konstante $\frac{1}{2}$.

### Was ist das Integral von sin 2x von 0 bis π/2?

Es ist $\left[-\frac{1}{2}\cos 2x\right]_0^{\pi/2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

### Was ist das Integral von 2 sin x cos x?

Es ist dasselbe Integral, da $2\sin x\cos x = \sin 2x$ ist. Richtig ist jedes von $-\frac{1}{2}\cos 2x$, $\sin^2 x$ oder $-\cos^2 x$, jeweils plus $C$.