# Integral von sin² x: Formel, Herleitung und Beispiele

> Das Integral von sin² x ist x/2 - sin(2x)/4 + C. Die Formel zur Potenzreduktion Schritt für Schritt, die Probe, sin²(ax) und bestimmte Integrale.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/integrale/integral-sin-quadrat-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \int \sin^2 x\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C $$

## Auf einen Blick

- **Stammfunktion:** $\dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4} + C$
- **Verwendete Identität:** $\sin^2 x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}$
- **Gleichwertige Form:** $\dfrac{x - \sin x\cos x}{2} + C$
- **Von 0 bis π:** $\dfrac{\pi}{2}$
- **Mittelwert:** $\dfrac{1}{2}$ über eine volle Periode

## Das Wichtigste

- Das Integral von $\sin^2 x$ ist $\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$.
- Verwende zuerst die Identität $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$. Eine direkte Substitution gibt es nicht.
- Über jede volle Periode hat $\sin^2 x$ den Mittelwert $\frac{1}{2}$, also ist $\int_0^{\pi}\sin^2 x\,dx = \frac{\pi}{2}$.
- Es ist nicht $\frac{\sin^3 x}{3}$. Für die Potenzregel fehlt der Faktor $\cos x$.

Das **Integral von $\sin^2 x$ ist $\dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4} + C$**. Der Schlüssel ist eine Formel zur Potenzreduktion, die das Quadrat in etwas verwandelt, das du summandenweise integrieren kannst.

$$\int \sin^2 x\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$$

## Graph von sin² x und seiner Stammfunktion

```graph
title: 'Fläche unter y = sin² x von 0 bis π, mit der Stammfunktion y = x/2 - sin(2x)/4'
caption: 'Die schraffierte Fläche ist $\frac{\pi}{2} \approx 1.571$, genau die Hälfte des Rechtecks mit den Seiten $\pi$ und $1$. Die gestrichelte Stammfunktion pendelt um die Gerade $y = \frac{x}{2}$.'
x: [-0.5, 6.8]
y: [-0.5, 3.5]
functions:
  - expr: sin(x)^2
    label: y = sin² x
  - expr: x/2 - sin(2x)/4
    label: y = x/2 - sin(2x)/4 (Stammfunktion)
    dashed: true
shade: {expr: sin(x)^2, from: 0, to: 3.14159}
points:
  - [3.14159, 1.5708, '(π, π/2)']
```

Der Graph von $\sin^2 x$ schwingt mit der Periode $\pi$ zwischen $0$ und $1$, symmetrisch um $y = \frac{1}{2}$. Deshalb wächst die Stammfunktion im Mittel wie $\frac{x}{2}$.

## Herleitung Schritt für Schritt

1. Starte mit der Doppelwinkelformel $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$.
2. Löse nach $\sin^2 x$ auf: $\sin^2 x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}$.
3. Setze in das Integral ein:
$$\int\sin^2 x\,dx = \frac{1}{2}\int(1 - \cos 2x)\,dx$$
4. Integriere jeden Summanden. $\int 1\,dx = x$ und $\int\cos 2x\,dx = \frac{\sin 2x}{2}$, nach dem [Integral von cos x](/integrals/cos-x) mit $a = 2$.
5. Fasse zusammen: $\frac{1}{2}\left(x - \frac{\sin 2x}{2}\right) + C = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$.

Mit $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ kannst du das Ergebnis auch als $\frac{1}{2}(x - \sin x\cos x) + C$ schreiben.

## Probe durch Ableiten

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4}\right) = \frac{1}{2} - \frac{2\cos 2x}{4} = \frac{1 - \cos 2x}{2} = \sin^2 x \checkmark$$

Die andere Richtung steht auf der Seite zur [Ableitung von sin² x](/derivatives/sin-squared-x): $\frac{d}{dx}\sin^2 x = \sin 2x$.

## Bestimmte Integrale

| Integral | Wert |
| --- | --- |
| $\int_0^{\pi/2}\sin^2 x\,dx$ | $\frac{\pi}{4}$ |
| $\int_0^{\pi}\sin^2 x\,dx$ | $\frac{\pi}{2}$ |
| $\int_0^{2\pi}\sin^2 x\,dx$ | $\pi$ |
| $\int_0^{\pi/4}\sin^2 x\,dx$ | $\frac{\pi}{8} - \frac{1}{4}$ |

Zur letzten Zeile: $\frac{\pi/4}{2} - \frac{\sin(\pi/2)}{4} = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} \approx 0.143$.

Eine Abkürzung: Über eine volle Periode haben $\sin^2 x$ und $\cos^2 x$ dieselbe Fläche, und zusammen integrieren sie die $1$. Also bekommt jede der beiden die halbe Intervalllänge.

## Varianten mit Substitution

Für $\sin^2(ax)$ verwendest du $\sin^2(ax) = \frac{1 - \cos 2ax}{2}$:

$$\int\sin^2(ax)\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2ax)}{4a} + C$$

Also ist $\int\sin^2(3x)\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 6x}{12} + C$.

Wenn ein Faktor $\cos x$ dasteht, brauchst du die Identität nicht und substituierst $u = \sin x$:

$$\int\sin^2 x\cos x\,dx = \frac{\sin^3 x}{3} + C$$

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: Mittelwert.** Der Mittelwert von $\sin^2 x$ auf $[0, 2\pi]$ ist $\frac{1}{2\pi}\cdot\pi = \frac{1}{2}$. Deshalb taucht bei der Wechselstromleistung der Faktor $\frac{1}{2}$ auf (und beim Effektivwert $\frac{1}{\sqrt{2}}$).

**Beispiel 2: Volumen.** Rotiert ein Bogen von $y = \sin x$ um die $x$-Achse, entsteht ein Körper mit dem Volumen $\pi\int_0^\pi\sin^2 x\,dx = \frac{\pi^2}{2}$.

**Beispiel 3: sin⁴ x.** Quadriere die Identität: $\sin^4 x = \frac{(1 - \cos 2x)^2}{4} = \frac{1}{4} - \frac{\cos 2x}{2} + \frac{\cos^2 2x}{4}$, und reduziere dann $\cos^2 2x$ noch einmal. Das Ergebnis ist $\frac{3x}{8} - \frac{\sin 2x}{4} + \frac{\sin 4x}{32} + C$.

## Häufige Fehler

1. **$\frac{\sin^3 x}{3}$ angeben.** Die Ableitung davon ist $\sin^2 x\cos x$, nicht $\sin^2 x$.
2. **$-\cos^2 x$ angeben.** Die Ableitung davon ist $2\sin x\cos x = \sin 2x$.
3. **Das falsche Vorzeichen in der Identität.** Für $\sin^2$ ist es $1 - \cos 2x$, für $\cos^2$ ist es $1 + \cos 2x$.
4. **Beim Integrieren von $\cos 2x$ vergessen, $\sin 2x$ durch $2$ zu teilen.** Dann steht am Ende $\frac{\sin 2x}{2}$ statt $\frac{\sin 2x}{4}$.

Als Nächstes: Das [Integral von cos² x](/integrals/cos-squared-x) funktioniert nach demselben Prinzip. Übe mit den [Aufgaben zu trigonometrischen Integralen](/practice-problems/trig-integrals).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist das Integral von sin² x?

Es ist $\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$, was man auch als $\frac{1}{2}(x - \sin x\cos x) + C$ schreiben kann.

### Was ist das Integral von sin² x von 0 bis π?

Es ist $\frac{\pi}{2} - \frac{\sin 2\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{2}$.

### Was ist das Integral von sin²(3x)?

Es ist $\frac{x}{2} - \frac{\sin 6x}{12} + C$. Verwende $\sin^2(3x) = \frac{1 - \cos 6x}{2}$.

### Warum kann ich nicht u = sin x verwenden?

Dann ist $du = \cos x\,dx$, aber in $\int\sin^2 x\,dx$ steht kein $\cos x$, das man ersetzen könnte. Diese Substitution funktioniert nur bei Integralen wie $\int\sin^2 x\cos x\,dx$.