# Integral von sin x: Formel, Herleitung und Beispiele

> Das Integral von sin x ist -cos x + C. Woher das Minuszeichen kommt, die Fläche eines Sinusbogens, sin(ax + b) per Substitution und bestimmte Integrale.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/integrale/integral-sin-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \int \sin x\,dx = -\cos x + C $$

## Auf einen Blick

- **Stammfunktion:** $-\cos x + C$
- **Fläche eines Bogens:** $\int_0^\pi \sin x\,dx = 2$
- **Volle Periode:** $\int_0^{2\pi}\sin x\,dx = 0$
- **Lineare Form:** $\int\sin(ax + b)\,dx = -\dfrac{1}{a}\cos(ax + b) + C$
- **Probe:** $\dfrac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x$

## Das Wichtigste

- Das Integral von $\sin x$ ist $-\cos x + C$. Das Minuszeichen ist entscheidend.
- Ein Bogen der Sinuskurve, von $0$ bis $\pi$, hat genau den Flächeninhalt $2$.
- Über eine volle Periode ist das Integral von $\sin x$ gleich $0$, weil der Bogen unter der Achse den Bogen über der Achse aufhebt.
- Bei $\sin(ax + b)$ teilst du durch $a$: $\int\sin(3x)\,dx = -\frac{1}{3}\cos(3x) + C$.

Das **Integral von $\sin x$ ist $-\cos x + C$**. Die meisten Fehler bei diesem Integral haben eine einzige Ursache: das Minuszeichen.

$$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$$

## Graph von sin x und seiner Stammfunktion

```graph
title: 'Fläche unter y = sin x von 0 bis π, mit der Stammfunktion y = -cos x'
caption: 'Der schraffierte Bogen hat genau den Flächeninhalt $2$. Die gestrichelte Kurve $y = -\cos x$ steigt von $-1$ bei $x = 0$ auf $1$ bei $x = \pi$, eine Änderung um $2$.'
x: [-1, 7]
y: [-1.6, 1.6]
functions:
  - expr: sin(x)
    label: y = sin x
  - expr: -cos(x)
    label: y = -cos x (Stammfunktion)
    dashed: true
shade: {expr: sin(x), from: 0, to: 3.14159}
points:
  - [0, -1, '(0, -1)']
  - [3.14159, 1, '(π, 1)']
```

Wo $\sin x > 0$ ist (von $0$ bis $\pi$), steigt die Stammfunktion $-\cos x$. Wo $\sin x < 0$ ist (von $\pi$ bis $2\pi$), fällt sie wieder.

## Herleitung Schritt für Schritt

1. Frage dich: Welche Funktion hat die Ableitung $\sin x$?
2. Erinnere dich an die [Ableitung von cos x](/derivatives/cos-x): $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$.
3. Die Form stimmt, das Vorzeichen nicht. Multipliziere mit $-1$: $\frac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x$.
4. Also ist $-\cos x$ eine Stammfunktion, und mit $C$ erhältst du alle.

Eine Merkhilfe: Den Kreis $\sin \to \cos \to -\sin \to -\cos \to \sin$ vorwärts zu durchlaufen heißt ableiten. Rückwärts heißt integrieren.

## Probe durch Ableiten

$$\frac{d}{dx}(-\cos x + C) = -(-\sin x) = \sin x \checkmark$$

## Bestimmte Integrale

Mit dem [Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-2):

$$\int_0^\pi \sin x\,dx = \Big[-\cos x\Big]_0^\pi = -\cos\pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2$$

Weitere nützliche Werte:

| Integral | Wert | Begründung |
| --- | --- | --- |
| $\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx$ | $1$ | $-\cos\frac{\pi}{2} + \cos 0 = 0 + 1$ |
| $\int_0^{\pi}\sin x\,dx$ | $2$ | ein ganzer Bogen |
| $\int_0^{2\pi}\sin x\,dx$ | $0$ | die beiden Bögen heben sich auf |
| $\int_{-a}^{a}\sin x\,dx$ | $0$ | $\sin x$ ist ungerade |

Wenn du auf $[0, 2\pi]$ die Gesamtfläche statt der orientierten Fläche willst, integriere $\lvert\sin x\rvert$ und erhalte $4$.

## Varianten mit Substitution

Mit $u = ax + b$, $du = a\,dx$:

$$\int\sin(ax + b)\,dx = -\frac{1}{a}\cos(ax + b) + C$$

Also ist $\int\sin(5x)\,dx = -\frac{1}{5}\cos(5x) + C$ und $\int\sin\left(\frac{x}{2}\right)dx = -2\cos\left(\frac{x}{2}\right) + C$. Für $\sin(2x)$ gibt es eine eigene Seite: das [Integral von sin 2x](/integrals/sin-2x).

Wenn die passende innere Ableitung dasteht, substituierst du:

$$\int x\sin(x^2)\,dx = -\frac{1}{2}\cos(x^2) + C \quad (u = x^2)$$

$$\int \sin x\,e^{\cos x}\,dx = -e^{\cos x} + C \quad (u = \cos x)$$

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1.** $\int(3\sin x + 2x)\,dx = -3\cos x + x^2 + C$.

**Beispiel 2.** $\int_0^{\pi/3}\sin x\,dx = -\cos\frac{\pi}{3} + \cos 0 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$.

**Beispiel 3: Ort aus Geschwindigkeit.** Ein Teilchen hat $v(t) = \sin t$ und startet bei $s(0) = 0$. Dann ist $s(t) = -\cos t + C$, und aus $s(0) = -1 + C = 0$ folgt $C = 1$, also $s(t) = 1 - \cos t$.

**Beispiel 4: Mittelwert.** Der Mittelwert von $\sin x$ auf $[0, \pi]$ ist $\frac{1}{\pi}\cdot 2 = \frac{2}{\pi} \approx 0.637$.

## Häufige Fehler

1. **$\cos x + C$ schreiben.** Probe durch Ableiten: $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$, das Vorzeichen ist also falsch.
2. **Das Teilen durch $a$ vergessen** bei $\int\sin(ax)\,dx$.
3. **Stattdessen mit $a$ multiplizieren.** $\int\sin(3x)\,dx$ ist nicht $-3\cos(3x)$. Das würde beim Ableiten passieren.
4. **Vorzeichenfehler bei bestimmten Integralen.** Schreibe $[-\cos x]$ mit Klammern aus und subtrahiere sorgfältig: $-\cos\pi = +1$.

Als Nächstes: das [Integral von cos x](/integrals/cos-x), oder übe mit den [Aufgaben zu trigonometrischen Integralen](/practice-problems/trig-integrals).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist das Integral von sin x?

Das Integral von $\sin x$ ist $-\cos x + C$.

### Warum ist das Integral von sin x gleich minus cos x?

Weil die Ableitung von $\cos x$ gleich $-\sin x$ ist. Um $+\sin x$ zu erhalten, brauchst du die Ableitung von $-\cos x$.

### Was ist das Integral von sin x von 0 bis π?

Es ist $-\cos\pi - (-\cos 0) = 1 + 1 = 2$.

### Was ist das Integral von sin(2x)?

Es ist $-\frac{1}{2}\cos(2x) + C$. Der Faktor $\frac{1}{2}$ gleicht die $2$ aus, die die Kettenregel liefern würde.