# Integral von tan² x: Formel, Herleitung und Beispiele

> Das Integral von tan² x ist tan x - x + C. Wie die Identität tan² x = sec² x - 1 die ganze Arbeit macht, dazu tan²(ax), tan³ x und bestimmte Integrale.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/integrale/integral-tan-quadrat-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \int \tan^2 x\,dx = \tan x - x + C $$

## Auf einen Blick

- **Stammfunktion:** $\tan x - x + C$
- **Verwendete Identität:** $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$
- **Von 0 bis π/4:** $1 - \dfrac{\pi}{4} \approx 0.215$
- **Lineare Form:** $\int\tan^2(ax)\,dx = \dfrac{\tan(ax)}{a} - x + C$
- **Kotangens-Gegenstück:** $\int\cot^2 x\,dx = -\cot x - x + C$

## Das Wichtigste

- Das Integral von $\tan^2 x$ ist $\tan x - x + C$.
- Schreibe mit der Identität $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ um und integriere dann jeden Summanden.
- Verwende nicht die Potenzregel. $\frac{\tan^3 x}{3}$ ist falsch.
- Dieselbe Identität knackt auch ungerade Potenzen wie $\tan^3 x$.

Das **Integral von $\tan^2 x$ ist $\tan x - x + C$**. Eine einzige Identität verwandelt es in zwei Integrale, die du schon kennst.

$$\int \tan^2 x\,dx = \tan x - x + C$$

## Graph von tan² x und seiner Stammfunktion

```graph
title: 'Fläche unter y = tan² x von 0 bis π/4, mit der Stammfunktion y = tan x - x'
caption: 'Die schraffierte Fläche ist $1 - \frac{\pi}{4} \approx 0.215$. Die gestrichelte Stammfunktion verläuft im Ursprung waagerecht, weil $\tan^2 0 = 0$ ist, und fällt nie.'
x: [-1.6, 1.6]
y: [-2.5, 4]
functions:
  - expr: tan(x)^2
    label: y = tan² x
    domain: [-1.1, 1.1]
  - expr: tan(x) - x
    label: y = tan x - x (Stammfunktion)
    dashed: true
    domain: [-1.4, 1.4]
shade: {expr: tan(x)^2, from: 0, to: 0.7854}
points:
  - [0.7854, 1, '(π/4, 1)']
```

## Herleitung Schritt für Schritt

1. Starte mit dem trigonometrischen Pythagoras $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Teile durch $\cos^2 x$ und erhalte $\tan^2 x + 1 = \sec^2 x$.
2. Stelle um: $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$.
3. Setze ein: $\displaystyle\int\tan^2 x\,dx = \int\sec^2 x\,dx - \int 1\,dx$.
4. Verwende das [Integral von sec² x](/integrals/sec-squared-x), also $\tan x$, und das [Integral einer Konstanten](/integrals/constant), also $x$.
5. Fasse zusammen: $\tan x - x + C$.

## Probe durch Ableiten

$$\frac{d}{dx}(\tan x - x) = \sec^2 x - 1 = \tan^2 x \checkmark$$

## Bestimmte Integrale

$$\int_0^{\pi/4}\tan^2 x\,dx = \left(\tan\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}\right) - 0 = 1 - \frac{\pi}{4} \approx 0.215$$

$$\int_0^{\pi/3}\tan^2 x\,dx = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3} \approx 0.685$$

Da $\tan^2 x$ gerade ist, gilt $\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\tan^2 x\,dx = 2 - \frac{\pi}{2}$.

## Varianten mit Substitution

$$\int\tan^2(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}\tan(ax + b) - x + C$$

Beachte, dass nur der Summand mit $\tan$ den Faktor $\frac{1}{a}$ bekommt. Das $-x$ entsteht beim Integrieren der Konstanten $1$, die keine innere Funktion hat.

**Beispiel 1.** $\int\tan^2(3x)\,dx = \frac{1}{3}\tan(3x) - x + C$.

**Beispiel 2.** $\int\tan^2\frac{x}{2}\,dx = 2\tan\frac{x}{2} - x + C$.

## Höhere Potenzen von tan

Die Identität $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ ist der Schlüssel zu jeder Potenz von $\tan x$.

**Beispiel 3: tan³ x.**

$$\int\tan^3 x\,dx = \int\tan x(\sec^2 x - 1)\,dx = \int\tan x\sec^2 x\,dx - \int\tan x\,dx$$

Der erste Teil ist $\frac{\tan^2 x}{2}$ mit $u = \tan x$. Der zweite ist das [Integral von tan x](/integrals/tan-x). Also

$$\int\tan^3 x\,dx = \frac{\tan^2 x}{2} - \ln\lvert\sec x\rvert + C$$

**Beispiel 4: tan² x sec² x.** Hier funktioniert $u = \tan x$ direkt: $\int\tan^2 x\sec^2 x\,dx = \frac{\tan^3 x}{3} + C$. Das ist der einzige Fall, in dem $\frac{\tan^3 x}{3}$ das richtige Ergebnis ist, weil der Faktor $\sec^2 x$ dasteht.

**Beispiel 5: tan⁴ x.** $\tan^4 x = \tan^2 x(\sec^2 x - 1) = \tan^2 x\sec^2 x - \tan^2 x$, also

$$\int\tan^4 x\,dx = \frac{\tan^3 x}{3} - \tan x + x + C$$

## Häufige Fehler

1. **$\frac{\tan^3 x}{3}$ angeben.** Dafür bräuchte man einen Faktor $\sec^2 x$. Probe: Die Ableitung davon ist $\tan^2 x\sec^2 x$.
2. **$\sec^2 x$ oder $\ln^2\lvert\sec x\rvert$ angeben.** Keines von beiden ergibt abgeleitet $\tan^2 x$.
3. **Die Identität verdrehen.** Es heißt $\sec^2 x - 1$, nicht $1 - \sec^2 x$. Teste bei $x = \frac{\pi}{4}$: $\tan^2 = 1$ und $\sec^2 - 1 = 2 - 1 = 1$.
4. **Das $-x$ durch $a$ teilen** bei $\int\tan^2(ax)\,dx$.

Übe mit den [Aufgaben zu trigonometrischen Integralen](/practice-problems/trig-integrals).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist das Integral von tan² x?

Es ist $\tan x - x + C$.

### Was ist das Integral von tan² x von 0 bis π/4?

Es ist $\left(1 - \frac{\pi}{4}\right) - 0 = 1 - \frac{\pi}{4} \approx 0.215$.

### Was ist das Integral von tan²(2x)?

Es ist $\frac{1}{2}\tan(2x) - x + C$.

### Was ist das Integral von tan³ x?

Schreibe $\tan^3 x = \tan x\sec^2 x - \tan x$. Das Ergebnis ist $\frac{\tan^2 x}{2} - \ln\lvert\sec x\rvert + C$.