# Integral von tan x: Formel, Herleitung und Beispiele

> Das Integral von tan x ist ln|sec x| + C bzw. -ln|cos x| + C. Die Substitution mit u = cos x, warum beide Formen gleich sind, und bestimmte Integrale.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/integrale/integral-tan-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \int \tan x\,dx = \ln\lvert\sec x\rvert + C $$

## Auf einen Blick

- **Stammfunktion:** $\ln\lvert\sec x\rvert + C$
- **Gleichwertige Form:** $-\ln\lvert\cos x\rvert + C$
- **Methode:** Als $\dfrac{\sin x}{\cos x}$ schreiben, dann $u = \cos x$
- **Lineare Form:** $\int\tan(ax)\,dx = \dfrac{1}{a}\ln\lvert\sec(ax)\rvert + C$
- **Probe:** $\dfrac{d}{dx}\ln\lvert\sec x\rvert = \tan x$

## Das Wichtigste

- Das Integral von $\tan x$ ist $\ln\lvert\sec x\rvert + C$, also dasselbe wie $-\ln\lvert\cos x\rvert + C$.
- Schreibe $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ und substituiere $u = \cos x$.
- Es ist nicht $\sec^2 x$. Das ist die Ableitung von $\tan x$.
- Der Betrag sorgt dafür, dass die Formel auch dort gilt, wo $\cos x < 0$ ist.

Das **Integral von $\tan x$ ist $\ln\lvert\sec x\rvert + C$**. Dabei ist sec x der Sekans, also der Kehrwert des Kosinus. Keine Grundableitung liefert $\tan x$ direkt, also kommt das Ergebnis aus einer kurzen Substitution.

$$\int \tan x\,dx = \ln\lvert\sec x\rvert + C = -\ln\lvert\cos x\rvert + C$$

## Graph von tan x und seiner Stammfunktion

```graph
title: 'Fläche unter y = tan x von 0 bis π/4, mit der Stammfunktion y = ln|sec x|'
caption: 'Die schraffierte Fläche ist $\ln\sqrt{2} \approx 0.347$. Die gestrichelte Stammfunktion hat bei $x = 0$, wo $\tan x = 0$ ist, ein Minimum und schießt in der Nähe der Asymptoten bei $x = \pm\frac{\pi}{2}$ nach oben.'
x: [-1.6, 1.6]
y: [-3, 3]
functions:
  - expr: tan(x)
    label: y = tan x
    domain: [-1.25, 1.25]
  - expr: ln(abs(sec(x)))
    label: y = ln|sec x| (Stammfunktion)
    dashed: true
    domain: [-1.52, 1.52]
shade: {expr: tan(x), from: 0, to: 0.7854}
points:
  - [0.7854, 1, '(π/4, 1)']
```

## Herleitung Schritt für Schritt

1. Schreibe mit Sinus und Kosinus: $\displaystyle\int\tan x\,dx = \int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx$.
2. Setze $u = \cos x$. Dann ist $du = -\sin x\,dx$, also $\sin x\,dx = -du$.
3. Substituiere: $\displaystyle\int\frac{-du}{u} = -\ln\lvert u\rvert + C$.
4. Setze $u = \cos x$ wieder ein: $-\ln\lvert\cos x\rvert + C$.
5. Vereinfache mit einer Logarithmusregel: $-\ln\lvert\cos x\rvert = \ln\frac{1}{\lvert\cos x\rvert} = \ln\lvert\sec x\rvert$.

Schritt 3 verwendet das [Integral von 1/x](/integrals/1-over-x). Das ist das Muster $\int\frac{f'}{f}\,dx = \ln\lvert f\rvert$, mit einem Minuszeichen, weil im Zähler $-f'$ steht.

## Probe durch Ableiten

$$\frac{d}{dx}\ln\lvert\sec x\rvert = \frac{1}{\sec x}\cdot\sec x\tan x = \tan x \checkmark$$

Hier wird die [Ableitung von sec x](/derivatives/sec-x) verwendet, nämlich $\sec x\tan x$. Vergleiche mit der [Ableitung von tan x](/derivatives/tan-x), die $\sec^2 x$ ist: ein völlig anderes Ergebnis.

## Bestimmte Integrale

$$\int_0^{\pi/4}\tan x\,dx = \Big[\ln\lvert\sec x\rvert\Big]_0^{\pi/4} = \ln\sqrt{2} - \ln 1 = \frac{1}{2}\ln 2$$

$$\int_0^{\pi/3}\tan x\,dx = \ln\sec\frac{\pi}{3} - 0 = \ln 2$$

Da $\tan x$ ungerade ist, gilt $\int_{-a}^{a}\tan x\,dx = 0$ für $a < \frac{\pi}{2}$. Bis $\frac{\pi}{2}$ zu integrieren ist uneigentlich und divergiert, weil $\ln\sec x \to \infty$.

## Varianten mit Substitution

$$\int\tan(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}\ln\lvert\sec(ax + b)\rvert + C$$

Zum Beispiel ist $\int\tan(3x)\,dx = \frac{1}{3}\ln\lvert\sec(3x)\rvert + C$.

Mit passender innerer Ableitung: $\int x\tan(x^2)\,dx = \frac{1}{2}\ln\lvert\sec(x^2)\rvert + C$.

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: tan mal sec².** $\int\tan x\sec^2 x\,dx$ ergibt mit $u = \tan x$, $du = \sec^2 x\,dx$ das Ergebnis $\frac{\tan^2 x}{2} + C$.

**Beispiel 2: tan hoch drei.** Verwende $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$:

$$\int\tan^3 x\,dx = \int\tan x\sec^2 x\,dx - \int\tan x\,dx = \frac{\tan^2 x}{2} - \ln\lvert\sec x\rvert + C$$

**Beispiel 3: das Gegenstück cot.** Dieselben Schritte mit $u = \sin x$ liefern $\int\cot x\,dx = \ln\lvert\sin x\rvert + C$. Siehe [Integral von cot x](/integrals/cot-x).

## Häufige Fehler

1. **$\sec^2 x$ angeben.** Das ist die Ableitung von $\tan x$, nicht das Integral.
2. **$\ln\lvert\cos x\rvert$ ohne Minuszeichen angeben.** Die Ableitung davon ist $-\tan x$.
3. **Den Betrag weglassen.** $\cos x$ ist auf $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)$ negativ, und $\ln$ einer negativen Zahl ist nicht definiert.
4. **Mit $\int\tan^2 x\,dx$ verwechseln**, das $\tan x - x + C$ ergibt. Siehe [Integral von tan² x](/integrals/tan-squared-x).

Übe mit den [Aufgaben zur Substitution](/practice-problems/u-substitution).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist das Integral von tan x?

Das Integral von $\tan x$ ist $\ln\lvert\sec x\rvert + C$. In deutschen Formelsammlungen steht meist die Form $-\ln\lvert\cos x\rvert + C$.

### Sind ln|sec x| und -ln|cos x| dasselbe?

Ja. Wegen $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ gilt $\ln\lvert\sec x\rvert = \ln\frac{1}{\lvert\cos x\rvert} = -\ln\lvert\cos x\rvert$.

### Was ist das Integral von tan x von 0 bis π/4?

Es ist $\ln\sec\frac{\pi}{4} - \ln\sec 0 = \ln\sqrt{2} = \frac{1}{2}\ln 2 \approx 0.347$.

### Was ist das Integral von tan(2x)?

Es ist $\frac{1}{2}\ln\lvert\sec(2x)\rvert + C$.