# Integral von x: Formel, Herleitung und Beispiele > Das Integral von x ist x²/2 + C. Begründung mit der Potenzregel und einem Dreieck, dazu bestimmte Integrale, die lineare Form ax + b und typische Fehler. Quelle: https://practicecalculus.com/de/integrale/integral-von-x Aktualisiert: 2026-11-06 $$ \int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C $$ ## Auf einen Blick - **Stammfunktion:** $\dfrac{x^2}{2} + C$ - **Verwendete Regel:** Potenzregel für Integrale mit $n = 1$ - **Bestimmtes Integral:** $\int_0^b x\,dx = \dfrac{b^2}{2}$ - **Symmetrisches Intervall:** $\int_{-a}^{a} x\,dx = 0$ - **Probe:** $\dfrac{d}{dx}\dfrac{x^2}{2} = x$ ## Das Wichtigste - Das Integral von $x$ ist $\frac{x^2}{2} + C$: Erhöhe den Exponenten um eins und teile durch den neuen Exponenten. - Die Fläche unter $y = x$ von $0$ bis $b$ ist ein Dreieck mit dem Flächeninhalt $\frac{b^2}{2}$, passend zur Formel. - Das Integral von $2x$ ist $x^2 + C$, weil sich die $2$ mit dem Teilen durch $2$ weghebt. - Über einem symmetrischen Intervall wie $[-1, 1]$ ist das Integral von $x$ gleich $0$: Die Fläche unter der Achse hebt die Fläche über der Achse auf. Das **Integral von $x$ ist $\dfrac{x^2}{2} + C$**. Es folgt direkt aus der Potenzregel für Integrale: Erhöhe den Exponenten um eins und teile dann durch den neuen Exponenten. $$\int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C$$ ## Graph von y = x und seiner Stammfunktion ```graph title: 'Fläche unter y = x von 0 bis 2, mit der Stammfunktion y = x²/2' caption: 'Das schraffierte Dreieck hat die Grundseite $2$ und die Höhe $2$, also den Flächeninhalt $2$. Die gestrichelte Kurve $y = \frac{x^2}{2}$ erreicht bei $x = 2$ genau den Wert $2$.' x: [-2.5, 3] y: [-2.5, 4] functions: - expr: x label: y = x - expr: x^2/2 label: y = x²/2 (Stammfunktion) dashed: true shade: {expr: x, from: 0, to: 2} points: - [2, 2, '(2, 2)'] ``` Die Stammfunktion $\frac{x^2}{2}$ ist eine Parabel. Ihre Steigung in jedem Punkt ist gleich der Höhe der Geraden $y = x$: Steigung $0$ im Ursprung, Steigung $2$ bei $x = 2$ und negative Steigungen für negative $x$. ## Herleitung Schritt für Schritt 1. Schreibe $x$ als Potenz: $x = x^1$. 2. Wende die [Potenzregel für Integrale](/rules/reverse-power-rule), $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, mit $n = 1$ an. 3. Erhöhe den Exponenten um eins: $x^{2}$. 4. Teile durch den neuen Exponenten: $\frac{x^2}{2}$. 5. Ergänze die Konstante: $\frac{x^2}{2} + C$. Es gibt auch einen Beweis mit einem Bild. Die Fläche unter $y = x$ von $0$ bis $b$ ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Grundseite $b$ und der Höhe $b$, ihr Flächeninhalt ist also $\frac{1}{2}b\cdot b = \frac{b^2}{2}$. Die Flächenfunktion ist $\frac{x^2}{2}$, und das ist genau die Stammfunktion. ## Probe durch Ableiten $$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{2} + C\right) = \frac{2x}{2} + 0 = x \checkmark$$ Die andere Richtung findest du auf der Seite zur [Ableitung von x](/derivatives/x). ## Bestimmte Integrale $$\int_a^b x\,dx = \frac{b^2}{2} - \frac{a^2}{2} = \frac{b^2 - a^2}{2}$$ Zum Beispiel ist $\int_1^3 x\,dx = \frac{9 - 1}{2} = 4$. Diese Fläche ist ein Trapez mit den parallelen Seiten $1$ und $3$ und der Breite $2$, sein Flächeninhalt ist $\frac{1 + 3}{2}\cdot 2 = 4$. Dasselbe Ergebnis. Wenn das Intervall die $0$ überschreitet, zählt die Fläche unter der Achse negativ: $\int_{-1}^{1} x\,dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$. ## Die lineare Variante: Integral von ax + b Eine lineare Funktion $ax + b$ kannst du summandenweise integrieren: $$\int (ax + b)\,dx = \frac{ax^2}{2} + bx + C$$ Mit der [Substitutionsregel](/rules/u-substitution-rule), $u = ax + b$, erhältst du eine zweite Form: $$\int (ax + b)\,dx = \frac{(ax + b)^2}{2a} + C$$ Beide sind richtig. Ausmultipliziert ergibt die zweite $\frac{ax^2}{2} + bx + \frac{b^2}{2a}$, was sich von der ersten nur um die Konstante $\frac{b^2}{2a}$ unterscheidet. ## Rechenbeispiele **Beispiel 1.** $\int 6x\,dx = 6\cdot\frac{x^2}{2} + C = 3x^2 + C$. **Beispiel 2.** $\int (4x - 5)\,dx = 2x^2 - 5x + C$. Für die $-5$ brauchst du das [Integral einer Konstanten](/integrals/constant). **Beispiel 3.** $\int_0^4 \frac{x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{16}{2} = 4$. **Beispiel 4: Mittelwert.** Der Mittelwert von $f(x) = x$ auf $[0, 6]$ ist $\frac{1}{6}\int_0^6 x\,dx = \frac{1}{6}\cdot 18 = 3$, also die Intervallmitte, wie man es bei einer Geraden erwartet. ## Häufige Fehler 1. **$x^2 + C$ schreiben.** Du musst durch den neuen Exponenten teilen. Die Ableitung von $x^2$ ist $2x$, nicht $x$. 2. **$1$ herausbekommen.** Das ist die Ableitung von $x$, nicht das Integral. 3. **$+ C$ weglassen** bei einem unbestimmten Integral. 4. **Erwarten, dass die Fläche positiv ist.** Ein bestimmtes Integral liefert eine orientierte Fläche. Für die Gesamtfläche nimmst du $\int\lvert x\rvert\,dx$, siehe [Integral von |x|](/integrals/absolute-value-of-x). Mach weiter mit dem [Integral von x²](/integrals/x-squared) oder übe mit [Aufgaben zu Stammfunktionen](/practice-problems/antiderivatives). ## Häufig gestellte Fragen ### Was ist das Integral von x? Das Integral von $x$ ist $\frac{x^2}{2} + C$. Probe: Die Ableitung von $\frac{x^2}{2}$ ist $\frac{2x}{2} = x$. ### Was ist das Integral von 2x? Es ist $x^2 + C$. Zieh die $2$ heraus: $2\cdot\frac{x^2}{2} = x^2$. ### Was ist das Integral von x von 0 bis 1? Es ist $\frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2}$. Das ist der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten $1$ und $1$. ### Warum ist das Integral von x von -1 bis 1 gleich null? Weil $y = x$ eine ungerade Funktion ist. Das Dreieck unter der Achse auf $[-1, 0]$ hat die orientierte Fläche $-\frac{1}{2}$ und hebt das Dreieck über der Achse auf $[0, 1]$ auf.