# Integral von √(1−x²): Formel, Rechenweg und Beispiele

> Das Integral von √(1−x²) ist ½(x√(1−x²) + arcsin x) + C. Lerne die trigonometrische Substitution, den Bezug zur Kreisfläche und Rechenbeispiele.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/integrale/integral-wurzel-1-minus-x-quadrat
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \int \sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{1}{2}\left(x\sqrt{1-x^2} + \arcsin x\right) + C $$

## Auf einen Blick

- **Stammfunktion:** $\frac{1}{2}\left(x\sqrt{1-x^2} + \arcsin x\right) + C$
- **Allgemeine Form:** $\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C$
- **Methode:** Trigonometrische Substitution $x = \sin\theta$, dann $\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$
- **Von −1 bis 1:** $\dfrac{\pi}{2}$, die Fläche eines halben Einheitskreises
- **Von 0 bis 1:** $\dfrac{\pi}{4}$, ein Viertelkreis

## Das Wichtigste

- Das Integral von $\sqrt{1-x^2}$ ist $\frac{1}{2}\left(x\sqrt{1-x^2} + \arcsin x\right) + C$.
- Der Graph von $y = \sqrt{1-x^2}$ ist die obere Hälfte des Einheitskreises, also gilt $\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{\pi}{2}$.
- Die Methode ist die trigonometrische Substitution: $x = \sin\theta$ macht aus der Wurzel $\cos\theta$ und aus dem Integral $\int\cos^2\theta\,d\theta$.
- Für den Radius $a$ gilt $\int_{-a}^{a}\sqrt{a^2-x^2}\,dx = \frac{\pi a^2}{2}$, die halbe Kreisfläche.

Das **Integral von $\sqrt{1-x^2}$ ist $\dfrac{1}{2}\left(x\sqrt{1-x^2} + \arcsin x\right) + C$**. Es ist das klassische erste Beispiel für eine trigonometrische Substitution, und so beweist die Analysis die Formel für die Kreisfläche.

$$\int \sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\arcsin x + C$$

Für einen Kreis mit Radius $a$:

$$\int \sqrt{a^2-x^2}\,dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C$$

## Graph: der halbe Einheitskreis

```graph
title: 'y = √(1−x²) ist die obere Hälfte des Einheitskreises'
caption: 'Die schraffierte Fläche von $-1$ bis $1$ ist ein halber Kreis mit Radius 1, also gleich $\frac{\pi}{2} \approx 1.571$.'
x: [-1.6, 1.6]
y: [-0.6, 1.4]
functions:
  - expr: sqrt(1-x^2)
    label: y = √(1−x²)
    domain: [-1, 1]
shade:
  expr: sqrt(1-x^2)
  from: -1
  to: 1
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
  - [-1, 0, '(−1, 0)']
  - [1, 0, '(1, 0)']
```

## √(1−x²) Schritt für Schritt integrieren

1. **Substituieren.** Setze $x = \sin\theta$ mit $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$. Dann ist $dx = \cos\theta\,d\theta$ und $\sqrt{1-\sin^2\theta} = \cos\theta$, was auf diesem Intervall nicht negativ ist.
2. **Umschreiben.**
$$\int \sqrt{1-x^2}\,dx = \int \cos\theta\cdot\cos\theta\,d\theta = \int \cos^2\theta\,d\theta$$
3. **Die Halbwinkelformel verwenden**, $\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$, wie auf der Seite [Integral von cos²x](/integrals/cos-squared-x):
$$\int \cos^2\theta\,d\theta = \frac{\theta}{2} + \frac{\sin 2\theta}{4} + C = \frac{\theta}{2} + \frac{\sin\theta\cos\theta}{2} + C$$
4. **Zurück zu $x$.** $\theta = \arcsin x$, $\sin\theta = x$ und $\cos\theta = \sqrt{1-x^2}$:
$$\frac{1}{2}\arcsin x + \frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2} + C$$

Die allgemeine Version verwendet auf dieselbe Weise $x = a\sin\theta$. Der Leitfaden zur [trigonometrischen Substitution](/blog/trig-substitution) behandelt auch die beiden anderen Wurzelformen, $\sqrt{a^2+x^2}$ und $\sqrt{x^2-a^2}$.

## Probe durch Ableiten

Leite jeden Teil ab. Mit der [Produktregel](/rules/product-rule):

$$\frac{d}{dx}\left(x\sqrt{1-x^2}\right) = \sqrt{1-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$$

und $\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$. Addiert:

$$\sqrt{1-x^2} + \frac{1 - x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \sqrt{1-x^2} + \sqrt{1-x^2} = 2\sqrt{1-x^2}$$

Die Hälfte davon ist $\sqrt{1-x^2}$, wie es sein soll.

## Bestimmte Integrale und die Kreisfläche

Über das ganze Intervall verschwindet der Wurzelterm an beiden Enden:

$$\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{1}{2}\left(\arcsin 1 - \arcsin(-1)\right) = \frac{1}{2}\cdot\pi = \frac{\pi}{2}$$

Verdoppelst du das, um die untere Hälfte mitzunehmen, erhältst du die Fläche des Einheitskreises, $\pi$. Mit dem Radius $a$ liefern dieselben Schritte $\int_{-a}^{a}\sqrt{a^2-x^2}\,dx = \frac{\pi a^2}{2}$, ein ganzer Kreis hat also die Fläche $\pi a^2$.

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: ein Teil des Kreises.** Bestimme $\int_0^{1/2}\sqrt{1-x^2}\,dx$.

$$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{\pi}{12} \approx 0.478$$

Geometrisch: ein Kreissektor mit $30^\circ$ und der Fläche $\frac{\pi}{12}$ plus ein Dreieck mit der Fläche $\frac{\sqrt{3}}{8}$.

**Beispiel 2: Radius 3.** $\int_{-3}^{3}\sqrt{9-x^2}\,dx = \frac{9\pi}{2}$, ein halber Kreis mit Radius 3. Sobald du die Form erkennst, brauchst du keine Stammfunktion.

**Beispiel 3: eine allgemeine Stammfunktion.** Mit $a = 2$:

$$\int \sqrt{4-x^2}\,dx = \frac{x}{2}\sqrt{4-x^2} + 2\arcsin\frac{x}{2} + C$$

**Beispiel 4: den Kreis verschieben.** $\int_0^2\sqrt{2x - x^2}\,dx$. Quadratische Ergänzung: $2x - x^2 = 1 - (x-1)^2$. Das ist der halbe Einheitskreis mit Mittelpunkt bei $x = 1$, das Ergebnis ist also $\frac{\pi}{2}$.

## Häufige Fehler

1. **$u = 1 - x^2$ versuchen.** Du bräuchtest ein $x\,dx$, das zu $du$ passt, und das gibt es nicht.
2. **Das Zurücksubstituieren vergessen.** Ein Ergebnis in $\theta$ ist nicht fertig. Mit einem rechtwinkligen Dreieck mit Gegenkathete $x$ und Hypotenuse $1$ liest du $\cos\theta = \sqrt{1-x^2}$ ab.
3. **Das $\frac{a^2}{2}$ weglassen.** In der allgemeinen Formel trägt der Arkussinus-Term den Faktor $\frac{a^2}{2}$, nicht $\frac{1}{2}$.
4. **Mit $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ verwechseln.** Das ergibt direkt $\arcsin x$; siehe [Integral von 1/√(1−x²)](/integrals/1-over-sqrt-1-minus-x-squared).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist das Integral von √(1−x²)?

Es ist $\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\arcsin x + C$, gültig für $-1 \le x \le 1$.

### Was ist das Integral von √(a²−x²)?

Es ist $\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C$. Für $a = 2$ ergibt das $\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2} + 2\arcsin\frac{x}{2} + C$.

### Warum ist das Integral von √(1−x²) von −1 bis 1 gleich π/2?

Weil $y = \sqrt{1-x^2}$ die obere Hälfte des Kreises $x^2 + y^2 = 1$ beschreibt. Die Fläche darunter ist die Hälfte von $\pi r^2$ mit $r = 1$, also $\frac{\pi}{2}$.

### Kann ich √(1−x²) mit der Substitutionsregel integrieren?

Nein. Außerhalb der Wurzel steht kein $x$, das $du$ liefern könnte. Ein einfaches $u = 1 - x^2$ scheitert, deshalb braucht man die trigonometrische Substitution.