# Integral von √x: Formel, Herleitung und Beispiele

> Das Integral von √x ist (2/3)x^(3/2) + C. Schreib die Wurzel als Potenz, mach die Probe und sieh dir Beispiele zu √(ax + b), 1/√x und bestimmten Integralen an.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/integrale/integral-wurzel-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \int \sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + C $$

## Auf einen Blick

- **Stammfunktion:** $\dfrac{2}{3}x^{3/2} + C = \dfrac{2}{3}x\sqrt{x} + C$
- **Zuerst umschreiben:** $\sqrt{x} = x^{1/2}$
- **Definitionsbereich:** $x \ge 0$
- **Verwandtes Integral:** $\int \dfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx = 2\sqrt{x} + C$
- **Probe:** $\dfrac{d}{dx}\dfrac{2}{3}x^{3/2} = x^{1/2}$

## Das Wichtigste

- Das Integral von $\sqrt{x}$ ist $\frac{2}{3}x^{3/2} + C$.
- Schreib Wurzeln immer als Potenzen mit gebrochenem Exponenten, $\sqrt{x} = x^{1/2}$, bevor du die Potenzregel anwendest.
- Durch $\frac{3}{2}$ teilen ist dasselbe wie mit $\frac{2}{3}$ multiplizieren.
- Das Integral von $\frac{1}{\sqrt{x}}$ ist $2\sqrt{x} + C$. Dieses Ergebnis lohnt sich zu merken.

Das **Integral von $\sqrt{x}$ ist $\dfrac{2}{3}x^{3/2} + C$**. Der Trick besteht darin, die Quadratwurzel zuerst als Potenz zu schreiben.

$$\int \sqrt{x}\,dx = \int x^{1/2}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$$

## Graph von √x und die Fläche darunter

```graph
title: 'Fläche unter y = √x von 0 bis 4, mit der Stammfunktion y = (2/3)x^(3/2)'
caption: 'Die schraffierte Fläche ist $\frac{16}{3} \approx 5.33$. Die gestrichelte Stammfunktion erreicht bei $x = 4$ den Wert $\frac{16}{3}$.'
x: [-0.5, 5]
y: [-0.5, 7.5]
functions:
  - expr: sqrt(x)
    label: y = √x
    domain: [0, 5]
  - expr: (2/3)x^(3/2)
    label: y = (2/3)x^(3/2) (Stammfunktion)
    dashed: true
    domain: [0, 5]
shade: {expr: sqrt(x), from: 0, to: 4}
points:
  - [4, 5.333, '(4, 16/3)']
```

Die schraffierte Fläche passt in ein Rechteck mit den Seiten $4$ und $2$ und dem Flächeninhalt $8$. Sie füllt genau zwei Drittel davon aus, und daher kommt das $\frac{2}{3}$.

## Herleitung Schritt für Schritt

1. Schreibe die Wurzel um: $\sqrt{x} = x^{1/2}$.
2. Wende die [Potenzregel für Integrale](/rules/reverse-power-rule) mit $n = \frac{1}{2}$ an.
3. Erhöhe den Exponenten um eins: $\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$.
4. Teile durch $\frac{3}{2}$, also multipliziere mit $\frac{2}{3}$: $\frac{2}{3}x^{3/2}$.
5. Ergänze $C$.

## Eine zweite Herleitung: Fläche in waagerechten Streifen

Das $\frac{2}{3}$ lässt sich auch ganz ohne Regel einsehen. Die Kurve $y = \sqrt{x}$ ist für $y \ge 0$ dieselbe wie $x = y^2$. Zeichne das Rechteck von $(0, 0)$ bis $(b, \sqrt{b})$. Die Kurve teilt es in zwei Teile. Das Stück zwischen Kurve und $y$-Achse ist die Fläche unter $x = y^2$ von $y = 0$ bis $y = \sqrt{b}$, also nach dem [Integral von x²](/integrals/x-squared) gleich $\frac{(\sqrt{b})^3}{3}$. Das ganze Rechteck hat den Inhalt $b\sqrt{b}$, die Fläche unter $\sqrt{x}$ ist also der Rest:

$$b\sqrt{b} - \frac{b\sqrt{b}}{3} = \frac{2}{3}b^{3/2}$$

Das stimmt mit der Formel überein. Außerdem sieht man, warum sich die beiden Flächen im Verhältnis $1 : 2$ aufteilen.

## Probe durch Ableiten

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{2}{3}x^{3/2}\right) = \frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}x^{1/2} = \sqrt{x} \checkmark$$

Die Regel in der anderen Richtung findest du auf der Seite zur [Ableitung von √x](/derivatives/sqrt-x).

## Andere Wurzeln und Potenzen von x

Dieselbe Methode funktioniert für jede Wurzel. Umschreiben, Exponent erhöhen und teilen:

| Integrand | Als Potenz | Integral |
| --- | --- | --- |
| $\sqrt{x}$ | $x^{1/2}$ | $\frac{2}{3}x^{3/2} + C$ |
| $\frac{1}{\sqrt{x}}$ | $x^{-1/2}$ | $2x^{1/2} + C$ |
| $x\sqrt{x}$ | $x^{3/2}$ | $\frac{2}{5}x^{5/2} + C$ |
| $\sqrt[3]{x}$ | $x^{1/3}$ | $\frac{3}{4}x^{4/3} + C$ |
| $\frac{x + 1}{\sqrt{x}}$ | $x^{1/2} + x^{-1/2}$ | $\frac{2}{3}x^{3/2} + 2x^{1/2} + C$ |

## Variante mit Substitution: Integral von √(ax + b)

Setze $u = ax + b$, also $du = a\,dx$:

$$\int \sqrt{ax + b}\,dx = \frac{1}{a}\int u^{1/2}\,du = \frac{2}{3a}(ax + b)^{3/2} + C$$

Zum Beispiel ist $\int \sqrt{3x + 2}\,dx = \frac{2}{9}(3x + 2)^{3/2} + C$. Probe: $\frac{2}{9}\cdot\frac{3}{2}(3x+2)^{1/2}\cdot 3 = \sqrt{3x + 2}$.

Ein Klassiker: $\int x\sqrt{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{3}(x^2 + 1)^{3/2} + C$, mit $u = x^2 + 1$.

## Beispiele für bestimmte Integrale

**Beispiel 1.** $\int_1^9 \sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}\left(9^{3/2} - 1^{3/2}\right) = \frac{2}{3}(27 - 1) = \frac{52}{3}$.

**Beispiel 2.** $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \Big[2\sqrt{x}\Big]_0^1 = 2$. Das ist ein uneigentliches Integral, weil $\frac{1}{\sqrt{x}}$ bei $0$ unbeschränkt wird, die Fläche ist aber trotzdem endlich.

**Beispiel 3.** $\int_0^4 (\sqrt{x} - 1)\,dx = \frac{16}{3} - 4 = \frac{4}{3}$.

## Häufige Fehler

1. **Die Potenzregel direkt auf das Wurzelzeichen anwenden.** Schreibe zuerst $x^{1/2}$.
2. **Durch $\frac{1}{2}$ statt durch $\frac{3}{2}$ teilen.** Du teilst durch den neuen Exponenten, nicht durch den alten.
3. **$\frac{3}{2}x^{3/2}$ schreiben.** Durch $\frac{3}{2}$ teilen ergibt $\frac{2}{3}$, nicht $\frac{3}{2}$.
4. **$\sqrt{x^2 + 1}$ wie $\sqrt{x}$ integrieren.** Bei einer nichtlinearen inneren Funktion ohne passenden Faktor scheitert die Substitution. Dieses Integral braucht eine [trigonometrische Substitution](/blog/trig-substitution).

Übe mit den [Aufgaben zu Stammfunktionen](/practice-problems/antiderivatives).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist das Integral von √x?

Das Integral von $\sqrt{x}$ ist $\frac{2}{3}x^{3/2} + C$, was du auch als $\frac{2}{3}x\sqrt{x} + C$ schreiben kannst.

### Was ist das Integral von 1/√x?

Es ist $2\sqrt{x} + C$. Schreibe $\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$, erhöhe den Exponenten auf $\frac{1}{2}$ und teile durch $\frac{1}{2}$.

### Was ist das Integral von √x von 0 bis 4?

Es ist $\frac{2}{3}\cdot 4^{3/2} = \frac{2}{3}\cdot 8 = \frac{16}{3}$.

### Was ist das Integral von x√x?

Fasse zuerst die Potenzen zusammen: $x\sqrt{x} = x^{3/2}$, das Integral ist also $\frac{2}{5}x^{5/2} + C$.