# Integral von x cos x: Formel, Rechenweg und Beispiele

> Das Integral von x cos x ist x sin x + cos x + C. Die partielle Integration Schritt für Schritt, Probe, Graph, bestimmte Integrale und Beispiele wie x² cos x.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/integrale/integral-x-cos-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \int x\cos x\,dx = x\sin x + \cos x + C $$

## Auf einen Blick

- **Stammfunktion:** $x\sin x + \cos x + C$
- **Methode:** Partielle Integration mit $u = x$, $dv = \cos x\,dx$
- **Von 0 bis π/2:** $\frac{\pi}{2} - 1 \approx 0.571$
- **Von 0 bis π:** $-2$
- **Mit cos(kx):** $\int x\cos kx\,dx = \frac{x}{k}\sin kx + \frac{1}{k^2}\cos kx + C$

## Das Wichtigste

- Das Integral von $x\cos x$ ist $x\sin x + \cos x + C$.
- Verwende partielle Integration mit $u = x$ und $dv = \cos x\,dx$, also $v = \sin x$.
- Das Restintegral ist $-\int\sin x\,dx = +\cos x$, also sind beide Terme positiv.
- Für $x^2\cos x$ wiederholst du den Schritt noch einmal oder nimmst das Tabellenverfahren.

Das **Integral von $x\cos x$ ist $x\sin x + \cos x + C$**. Wie bei $x\sin x$ ist es eine Potenz von $x$ mal eine trigonometrische Funktion, also erledigt partielle Integration mit $u = x$ es in einem Schritt.

$$\int x\cos x\,dx = x\sin x + \cos x + C$$

## Graph von x cos x und seiner Stammfunktion

```graph
title: 'y = x cos x und seine Stammfunktion x sin x + cos x'
caption: 'Die schraffierte Fläche von $0$ bis $\frac{\pi}{2}$ ist $\frac{\pi}{2} - 1 \approx 0.571$. Die gestrichelte Stammfunktion hat Hoch- und Tiefpunkte genau dort, wo $x\cos x$ null wird.'
x: [-1, 7]
y: [-5.5, 7]
functions:
  - expr: x*cos(x)
    label: y = x cos x
  - expr: x*sin(x) + cos(x)
    label: y = x sin x + cos x (Stammfunktion)
    dashed: true
shade:
  expr: x*cos(x)
  from: 0
  to: 1.5708
points:
  - [1.5708, 0, '(π/2, 0)']
```

## x cos x Schritt für Schritt integrieren

Verwende [partielle Integration](/rules/integration-by-parts-rule), $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.

1. **Die Teile wählen.** $u = x$ und $dv = \cos x\,dx$.
2. **$du$ und $v$ bestimmen.** $du = dx$ und $v = \sin x$, nach dem [Integral von cos x](/integrals/cos-x).
3. **Die Formel anwenden.**
$$\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int\sin x\,dx$$
4. **Abschließen.** $\int\sin x\,dx = -\cos x$, und das abzuziehen ergibt $+\cos x$:
$$\int x\cos x\,dx = x\sin x + \cos x + C$$

$u = x$ ist die richtige Wahl, weil die Ableitung $1$ ist und das $x$ damit verschwindet. Mit $u = \cos x$ würde die Potenz auf $x^2$ steigen.

## Probe durch Ableiten

$$\frac{d}{dx}\left(x\sin x + \cos x\right) = \sin x + x\cos x - \sin x = x\cos x$$

Das $\sin x$ aus der [Produktregel](/rules/product-rule) hebt das $-\sin x$ aus $\cos x$ auf.

## Bestimmte Integrale

Sei $F(x) = x\sin x + \cos x$.

| Integral | Rechnung | Wert |
| --- | --- | --- |
| $\int_0^{\pi/2} x\cos x\,dx$ | $\left(\frac{\pi}{2} + 0\right) - (0 + 1)$ | $\frac{\pi}{2} - 1$ |
| $\int_0^{\pi} x\cos x\,dx$ | $(0 - 1) - (0 + 1)$ | $-2$ |
| $\int_{\pi/2}^{3\pi/2} x\cos x\,dx$ | $\left(-\frac{3\pi}{2}\right) - \frac{\pi}{2}$ | $-2\pi$ |
| $\int_{-a}^{a} x\cos x\,dx$ | ungerader Integrand | $0$ |

Die letzte Zeile nutzt die Symmetrie: $x\cos x$ ist ungerade (eine ungerade mal eine gerade Funktion), also heben sich die Flächen auf beiden Seiten auf.

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: ein skalierter Winkel.** $\int x\cos 3x\,dx$. Mit $u = x$ und $v = \frac{1}{3}\sin 3x$:

$$\frac{x}{3}\sin 3x - \frac{1}{3}\int\sin 3x\,dx = \frac{x}{3}\sin 3x + \frac{1}{9}\cos 3x + C$$

**Beispiel 2: x zum Quadrat.** $\int x^2\cos x\,dx$. Erster Durchgang mit $u = x^2$, $v = \sin x$:

$$\int x^2\cos x\,dx = x^2\sin x - 2\int x\sin x\,dx$$

Das [Integral von x sin x](/integrals/x-sin-x) ist $\sin x - x\cos x$, also

$$\int x^2\cos x\,dx = x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C$$

**Beispiel 3: ein linearer Faktor.** $\int(2x - 1)\cos x\,dx$. Mit $u = 2x - 1$, $du = 2\,dx$:

$$(2x-1)\sin x - 2\int\sin x\,dx = (2x - 1)\sin x + 2\cos x + C$$

**Beispiel 4: ein Fourier-Koeffizient.** Bei Fourierreihen begegnen dir Integrale wie $\int_{-\pi}^{\pi}x\cos(nx)\,dx$. Der Integrand ist ungerade, also ist das Ergebnis für jede ganze Zahl $n$ gleich $0$, ganz ohne partielle Integration.

**Beispiel 5: ein verstecktes Produkt.** $\int x\cos^2 x\,dx$. Schreibe $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ (siehe [Integral von cos²x](/integrals/cos-squared-x)), dann

$$\int\frac{x}{2}\,dx + \frac{1}{2}\int x\cos 2x\,dx = \frac{x^2}{4} + \frac{x}{4}\sin 2x + \frac{1}{8}\cos 2x + C$$

## Häufige Fehler

1. **$x\sin x - \cos x$ schreiben.** Der Rest ist $-\int\sin x\,dx = -(-\cos x) = +\cos x$.
2. **Mit $x\sin x$ verwechseln.** Hier ist $v = \sin x$ ohne Vorzeichenwechsel; bei $x\sin x$ ist $v = -\cos x$.
3. **Faktorweise integrieren.** $\frac{x^2}{2}\sin x$ ist nicht das Ergebnis; leite es ab, dann siehst du warum.
4. **Das $\frac{1}{k^2}$ beim zweiten Term weglassen**, wenn der Winkel $kx$ ist.

Mehr Übung bieten die [Übungsaufgaben zur partiellen Integration](/practice-problems/integration-by-parts).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist das Integral von x cos x?

Es ist $x\sin x + \cos x + C$.

### Was ist das Integral von x cos x von 0 bis π?

Es ist $-2$. Die Stammfunktion ist $\pi\cdot 0 + \cos\pi = -1$ bei $\pi$ und $0 + \cos 0 = 1$ bei $0$, das Ergebnis ist also $-1 - 1 = -2$.

### Was ist das Integral von x² cos x?

Es ist $x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C$. Integriere zweimal partiell, beginnend mit $u = x^2$.

### Was ist das Integral von x cos(3x)?

Es ist $\frac{x}{3}\sin 3x + \frac{1}{9}\cos 3x + C$.