# Integral von x/(x² + 1): Formel, Rechenweg und Beispiele

> Das Integral von x/(x² + 1) ist ½ ln(x² + 1) + C. Die Substitution Schritt für Schritt, warum kein Betrag nötig ist, und verwandte Integrale wie 1/(x² + 1).

Quelle: https://practicecalculus.com/de/integrale/integral-x-durch-x-quadrat-plus-1
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left(x^2 + 1\right) + C $$

## Auf einen Blick

- **Stammfunktion:** $\dfrac{1}{2}\ln\left(x^2 + 1\right) + C$
- **Methode:** Substitution mit $u = x^2 + 1$
- **Betrag:** Nicht nötig, da $x^2 + 1 > 0$
- **Symmetrisches Intervall:** $\int_{-a}^{a}\dfrac{x}{x^2 + 1}\,dx = 0$
- **Vergleich:** $\int \dfrac{1}{x^2 + 1}\,dx = \arctan x + C$

## Das Wichtigste

- Das Integral von $\frac{x}{x^2 + 1}$ ist $\frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C$.
- Der Zähler $x$ ist die halbe Ableitung des Nenners, also substituierst du $u = x^2 + 1$.
- Ein Betrag ist nicht nötig, weil $x^2 + 1$ immer positiv ist.
- Nicht verwechseln mit $\int\frac{1}{x^2 + 1}\,dx = \arctan x + C$, wo im Zähler kein $x$ steht.

Das **Integral von $\dfrac{x}{x^2 + 1}$ ist $\dfrac{1}{2}\ln\left(x^2 + 1\right) + C$**. Es ist das Lehrbuchbeispiel für eine [Substitution](/rules/u-substitution-rule), die auf einen Logarithmus führt.

$$\int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left(x^2 + 1\right) + C$$

## Graph von x/(x² + 1) und seiner Stammfunktion

```graph
title: 'Fläche unter y = x/(x² + 1) von 0 bis 2, mit der Stammfunktion y = ½ ln(x² + 1)'
caption: 'Die schraffierte Fläche ist $\frac{1}{2}\ln 5 \approx 0.805$. Die Funktion ist ungerade und ihre Stammfunktion gerade: Die gestrichelte Kurve ist symmetrisch zur $y$-Achse und hat bei $x = 0$ ein Minimum.'
x: [-4, 4]
y: [-1, 1.6]
functions:
  - expr: x/(x^2 + 1)
    label: y = x/(x² + 1)
  - expr: ln(x^2 + 1)/2
    label: y = ½ ln(x² + 1) (Stammfunktion)
    dashed: true
shade: {expr: x/(x^2 + 1), from: 0, to: 2}
points:
  - [1, 0.5, 'Max (1, 1/2)']
```

## Die Substitution Schritt für Schritt

1. Erkenne, dass die Ableitung des Nenners, $2x$, bis auf einen konstanten Faktor mit dem Zähler übereinstimmt.
2. Setze $u = x^2 + 1$. Dann ist $du = 2x\,dx$, also $x\,dx = \frac{1}{2}du$.
3. Schreibe um: $\displaystyle\int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\int\frac{1}{u}\,du$.
4. Integriere mit dem [Integral von 1/x](/integrals/1-over-x): $\frac{1}{2}\ln\lvert u\rvert + C$.
5. Rücksubstituieren: $\frac{1}{2}\ln\lvert x^2 + 1\rvert + C$.
6. Da $x^2 + 1 \ge 1 > 0$ ist, fallen die Betragsstriche weg: $\frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C$.

Das allgemeine Muster ist $\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln\lvert f(x)\rvert + C$. Hier ist der Zähler $\frac{1}{2}f'(x)$, daher der Faktor $\frac{1}{2}$.

## Probe durch Ableiten

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2}\ln(x^2 + 1)\right] = \frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{x^2 + 1} = \frac{x}{x^2 + 1} \checkmark$$

## Bestimmte Integrale

**Beispiel 1.** $\int_0^1 \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln 2 \approx 0.347$.

**Beispiel 2.** $\int_{-3}^{3}\frac{x}{x^2 + 1}\,dx = 0$. Der Integrand ist ungerade, also hebt die Fläche links die Fläche rechts auf.

**Beispiel 3: Grenzen mitsubstituieren.** Mit $u = x^2 + 1$ werden aus den Grenzen $x = 0$ und $x = 2$ die Grenzen $u = 1$ und $u = 5$:

$$\int_0^2 \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\int_1^5\frac{du}{u} = \frac{1}{2}\ln 5$$

## Verwandte Integrale

Kleine Änderungen am Integranden ändern die Methode komplett:

| Integral | Methode | Ergebnis |
| --- | --- | --- |
| $\int\frac{x}{x^2 + 1}\,dx$ | $u = x^2 + 1$ | $\frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C$ |
| $\int\frac{1}{x^2 + 1}\,dx$ | bekannte Formel | $\arctan x + C$ |
| $\int\frac{x}{(x^2 + 1)^2}\,dx$ | $u = x^2 + 1$ | $-\frac{1}{2(x^2 + 1)} + C$ |
| $\int\frac{x}{x^2 + a^2}\,dx$ | $u = x^2 + a^2$ | $\frac{1}{2}\ln(x^2 + a^2) + C$ |
| $\int\frac{x^3}{x^2 + 1}\,dx$ | zuerst dividieren | $\frac{x^2}{2} - \frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C$ |

Für die letzte Zeile liefert die Polynomdivision $\frac{x^3}{x^2 + 1} = x - \frac{x}{x^2 + 1}$.

**Beispiel 4: den Zähler aufteilen.**

$$\int\frac{2x + 3}{x^2 + 1}\,dx = \int\frac{2x}{x^2 + 1}\,dx + 3\int\frac{1}{x^2 + 1}\,dx = \ln(x^2 + 1) + 3\arctan x + C$$

Für den zweiten Teil brauchst du das [Integral von 1/(1 + x²)](/integrals/1-over-1-plus-x-squared).

## Häufige Fehler

1. **Das $\frac{1}{2}$ vergessen.** $du = 2x\,dx$, also ist $x\,dx$ nur die Hälfte von $du$.
2. **$\arctan x$ angeben.** Das ist das Integral von $\frac{1}{x^2 + 1}$, ohne das $x$ im Zähler.
3. **$\ln\lvert x\rvert\cdot\ln\lvert x^2 + 1\rvert$ schreiben** oder den Bruch als $\frac{x}{x^2} + \frac{x}{1}$ aufteilen. Einen Bruch mit einer Summe im Nenner kann man nicht so zerlegen.
4. **$\frac{x}{x^2 - 1}$ genauso integrieren und die Betragsstriche weglassen.** Das ergibt $\frac{1}{2}\ln\lvert x^2 - 1\rvert + C$, und der Betrag ist hier wichtig.

Mehr Übung: [Aufgaben zur Substitution](/practice-problems/u-substitution).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist das Integral von x/(x² + 1)?

Es ist $\frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C$. Setze $u = x^2 + 1$, dann ist $x\,dx = \frac{1}{2}du$.

### Was ist das Integral von 2x/(x² + 1)?

Es ist $\ln(x^2 + 1) + C$. Der Zähler ist genau die Ableitung des Nenners, also ist das Ergebnis der Logarithmus des Nenners.

### Was ist das Integral von x/(x² + 1) von 0 bis 1?

Es ist $\frac{1}{2}\ln 2 - \frac{1}{2}\ln 1 = \frac{1}{2}\ln 2 \approx 0.347$.

### Konvergiert das Integral von x/(x² + 1) von 0 bis unendlich?

Nein. $\frac{1}{2}\ln(b^2 + 1) \to \infty$ für $b \to \infty$, also divergiert das Integral. Für große $x$ verhält sich der Integrand wie $\frac{1}{x}$.