# Integral von x ln x: Formel, Rechenweg und Beispiele

> Das Integral von x ln x ist (x²/2) ln x − x²/4 + C. Die partielle Integration mit u = ln x, die Probe, ein Graph und die Formel für xⁿ ln x.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/integrale/integral-x-ln-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C $$

## Auf einen Blick

- **Stammfunktion:** $\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$
- **Methode:** Partielle Integration mit $u = \ln x$, $dv = x\,dx$
- **Von 1 bis e:** $\frac{e^2 + 1}{4} \approx 2.097$
- **Von 0 bis 1:** $-\frac{1}{4}$
- **Allgemeine Potenz:** $\int x^n\ln x\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\ln x - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2} + C$, $n \ne -1$

## Das Wichtigste

- Das Integral von $x\ln x$ ist $\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$.
- Wähle $u = \ln x$, nicht $u = x$. $\ln x$ lässt sich nicht leicht integrieren, aber abgeleitet ergibt es das einfache $\frac{1}{x}$.
- Dieselbe Methode funktioniert für jede Potenz: $\int x^n\ln x\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\ln x - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2} + C$ für $n \ne -1$.
- Für $n = -1$ ist das Integral $\int\frac{\ln x}{x}\,dx = \frac{(\ln x)^2}{2} + C$ stattdessen eine Substitution.

Das **Integral von $x\ln x$ ist $\dfrac{x^2}{2}\ln x - \dfrac{x^2}{4} + C$**. Es ist ein Produkt aus einer Potenz und einem Logarithmus, also ist partielle Integration das Werkzeug, mit dem Logarithmus als $u$.

$$\int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$$

## Graph von x ln x mit der Fläche von 1 bis e

```graph
title: 'y = x ln x mit schraffierter Fläche von 1 bis e'
caption: 'Die schraffierte Fläche ist $\frac{e^2 + 1}{4} \approx 2.097$. Zwischen $0$ und $1$ taucht die Kurve unter die Achse, und dieses kleine Stück hat die orientierte Fläche $-\frac{1}{4}$.'
x: [-0.5, 3.5]
y: [-1, 4.5]
functions:
  - expr: x*ln(x)
    label: y = x ln x
    domain: [0.005, 3.5]
shade:
  expr: x*ln(x)
  from: 1
  to: 2.71828
points:
  - [1, 0, '(1, 0)']
  - [2.71828, 2.71828, '(e, e)']
```

## x ln x Schritt für Schritt integrieren

Verwende [partielle Integration](/rules/integration-by-parts-rule): $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.

1. **Die Teile wählen.** $u = \ln x$ und $dv = x\,dx$. Logarithmen stehen in LIATE ganz vorne.
2. **$du$ und $v$ bestimmen.** $du = \frac{1}{x}\,dx$ und $v = \frac{x^2}{2}$.
3. **Die Formel anwenden.**
$$\int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x\,dx$$
4. **Abschließen.** $\frac{1}{2}\int x\,dx = \frac{x^2}{4}$, also
$$\int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$$

Der entscheidende Moment ist Schritt 3: Das $\frac{1}{x}$ aus $du$ kürzt eine Potenz von $x$ aus $v$, und übrig bleibt eine einfache Potenz. Mit einem Logarithmus als $u$ passiert das immer.

## Probe durch Ableiten

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}\right) = x\ln x + \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x} - \frac{x}{2} = x\ln x + \frac{x}{2} - \frac{x}{2} = x\ln x$$

Die Rechnung in der anderen Richtung steht auf der Seite zur [Ableitung von x ln x](/derivatives/x-ln-x).

## Bestimmte Integrale

**Von 1 bis e:**

$$\left[\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}\right]_1^e = \left(\frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4}\right) - \left(0 - \frac{1}{4}\right) = \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e^2+1}{4}$$

Das sind etwa $2.097$.

**Von 0 bis 1:** Dieses Integral ist bei $0$ [uneigentlich](/blog/improper-integrals), weil $\ln x$ dort nicht definiert ist, aber es gilt $x^2\ln x \to 0$ für $x \to 0^+$:

$$\int_0^1 x\ln x\,dx = \left(0 - \frac{1}{4}\right) - 0 = -\frac{1}{4}$$

## Die allgemeine Potenz xⁿ ln x

Dieselben Schritte mit $dv = x^n\,dx$ und $v = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ liefern

$$\int x^n\ln x\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\ln x - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2} + C, \qquad n \ne -1$$

| Integral | Ergebnis |
| --- | --- |
| $\int\ln x\,dx$ ($n = 0$) | $x\ln x - x + C$ |
| $\int x^2\ln x\,dx$ | $\frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9} + C$ |
| $\int\sqrt{x}\ln x\,dx$ | $\frac{2}{3}x^{3/2}\ln x - \frac{4}{9}x^{3/2} + C$ |
| $\int\frac{\ln x}{x^2}\,dx$ ($n = -2$) | $-\frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x} + C$ |

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: eine dritte Potenz.** $\int x^3\ln x\,dx = \frac{x^4}{4}\ln x - \frac{x^4}{16} + C$, aus der allgemeinen Formel mit $n = 3$.

**Beispiel 2: der Logarithmus einer Potenz.** $\int x\ln(x^2)\,dx$. Verwende $\ln(x^2) = 2\ln x$ für $x > 0$:

$$2\int x\ln x\,dx = x^2\ln x - \frac{x^2}{2} + C$$

**Beispiel 3: der Fall n = −1.** Bei $\int\frac{\ln x}{x}\,dx$ versagt die Formel (man müsste durch null teilen). Verwende stattdessen $u = \ln x$, $du = \frac{dx}{x}$: $\int u\,du = \frac{(\ln x)^2}{2} + C$.

**Beispiel 4: ein quadrierter Logarithmus.** $\int x(\ln x)^2\,dx$. Partielle Integration mit $u = (\ln x)^2$, $dv = x\,dx$ ergibt $\frac{x^2}{2}(\ln x)^2 - \int x\ln x\,dx$, und das kennst du jetzt:

$$\frac{x^2}{2}(\ln x)^2 - \frac{x^2}{2}\ln x + \frac{x^2}{4} + C$$

## Häufige Fehler

1. **$u = x$ wählen.** Dann braucht $v$ das Integral $\int\ln x\,dx$, und das Restintegral ist schwieriger als das ursprüngliche.
2. **Vergessen, $\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}$ zu vereinfachen.** Das ist $\frac{x}{2}$, und integriert ergibt das $\frac{x^2}{4}$, nicht $\frac{x^2}{2}$.
3. **Die Faktoren einzeln integrieren.** $\frac{x^2}{2}(x\ln x - x)$ ist nicht das Ergebnis.
4. **Die allgemeine Formel mit $n = -1$ verwenden.** Siehe Beispiel 3.

Verwandte Seiten: das [Integral von ln x](/integrals/ln-x), das [Integral von x eˣ](/integrals/x-e-to-the-x) und der Leitfaden zur [partiellen Integration](/blog/integration-by-parts).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist das Integral von x ln x?

Es ist $\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$, was man auch als $\frac{x^2}{4}(2\ln x - 1) + C$ schreiben kann.

### Was ist das Integral von x² ln x?

Es ist $\frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9} + C$. Integriere partiell mit $u = \ln x$ und $dv = x^2\,dx$.

### Was ist das Integral von x ln x von 0 bis 1?

Es ist $-\frac{1}{4}$. An der unteren Grenze gilt $\frac{x^2}{2}\ln x \to 0$ für $x \to 0^+$, also bleibt nur $-\frac{1}{4}$ von der oberen Grenze.

### Warum u = ln x und nicht u = x?

Mit $u = x$ bräuchtest du $v = \int\ln x\,dx = x\ln x - x$, und das Restintegral würde unübersichtlicher. Mit $u = \ln x$ kürzt $du = \frac{1}{x}dx$ eine Potenz von $x$ weg, und übrig bleibt eine einfache Potenz.