# Integral von x eˣ: Formel, Rechenweg und Beispiele

> Das Integral von x eˣ ist (x − 1)eˣ + C. Die partielle Integration Schritt für Schritt, warum u = x die richtige Wahl ist, ein Graph und Beispiele wie x e^(2x).

Quelle: https://practicecalculus.com/de/integrale/integral-x-mal-e-hoch-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \int x e^x\,dx = (x - 1)e^x + C $$

## Auf einen Blick

- **Stammfunktion:** $(x-1)e^x + C$
- **Methode:** Partielle Integration mit $u = x$, $dv = e^x\,dx$
- **Von 0 bis 1:** $1$
- **Mit e^(kx):** $\int xe^{kx}\,dx = \left(\frac{x}{k} - \frac{1}{k^2}\right)e^{kx} + C$

## Das Wichtigste

- Das Integral von $xe^x$ ist $xe^x - e^x + C = (x-1)e^x + C$.
- Verwende partielle Integration mit $u = x$. Beim Ableiten verschwindet das $x$, und $e^x$ lässt sich leicht integrieren.
- Wählst du stattdessen $u = e^x$, wird das verbleibende Integral schwieriger statt leichter.
- Für $e^{kx}$ lautet das Ergebnis $\left(\frac{x}{k} - \frac{1}{k^2}\right)e^{kx} + C$.

Das **Integral von $xe^x$ ist $(x - 1)e^x + C$**. Es ist das klassische erste Beispiel für partielle Integration: eine Potenz von $x$ mal eine Exponentialfunktion.

$$\int x e^x\,dx = xe^x - e^x + C = (x-1)e^x + C$$

## Graph von x eˣ und seiner Stammfunktion

```graph
title: 'y = x eˣ und seine Stammfunktion (x − 1)eˣ'
caption: 'Die schraffierte Fläche von $0$ bis $1$ ist genau $1$. Die gestrichelte Stammfunktion hat ihr Minimum bei $x = 0$, wo $xe^x$ von negativ zu positiv wechselt.'
x: [-4, 1.4]
y: [-1.5, 5]
functions:
  - expr: x*e^x
    label: y = x eˣ
  - expr: (x-1)*e^x
    label: y = (x − 1)eˣ (Stammfunktion)
    dashed: true
shade:
  expr: x*e^x
  from: 0
  to: 1
points:
  - [0, -1, '(0, −1)']
  - [1, 2.718, '(1, e)']
```

## x eˣ Schritt für Schritt integrieren

Die Formel der [partiellen Integration](/rules/integration-by-parts-rule) lautet $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.

1. **Die Teile wählen.** Setze $u = x$ und $dv = e^x\,dx$.
2. **$du$ und $v$ bestimmen.** $du = dx$ und $v = e^x$.
3. **Die Formel anwenden.**
$$\int xe^x\,dx = xe^x - \int e^x\,dx$$
4. **Das leichte Integral lösen.** $\int e^x\,dx = e^x$, also
$$\int xe^x\,dx = xe^x - e^x + C = (x-1)e^x + C$$

**Warum $u = x$?** Ziel ist ein einfacheres Restintegral. Abgeleitet wird $x$ zu $1$, nach einem Schritt ist das $x$ also weg. Die LIATE-Regel (Logarithmus, Inverse trigonometrische Funktion, Algebraisch, Trigonometrisch, Exponentiell) sagt dasselbe: Algebraisch kommt vor exponentiell, also ist $x$ das $u$.

**Und andersherum?** Mit $u = e^x$ und $dv = x\,dx$ erhältst du $\frac{x^2}{2}e^x - \int\frac{x^2}{2}e^x\,dx$. Die Potenz von $x$ ist gestiegen, das Problem also schlimmer geworden.

## Probe durch Ableiten

$$\frac{d}{dx}\Big((x-1)e^x\Big) = 1\cdot e^x + (x-1)e^x = xe^x$$

Die [Produktregel](/rules/product-rule) liefert genau den Integranden zurück. Die Seite zur [Ableitung von x eˣ](/derivatives/x-e-to-the-x) zeigt die andere Richtung.

## Bestimmte Integrale

**Von 0 bis 1:**

$$\int_0^1 xe^x\,dx = \Big[(x-1)e^x\Big]_0^1 = 0\cdot e - (-1)\cdot 1 = 1$$

**Von −∞ bis 0:** Für $x \to -\infty$ gilt $(x-1)e^x \to 0$, weil die Exponentialfunktion gewinnt. Also

$$\int_{-\infty}^{0} xe^x\,dx = (0 - 1)e^0 - 0 = -1$$

Das Ergebnis ist negativ, weil $xe^x < 0$ für $x < 0$ gilt.

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: eine schnellere Exponentialfunktion.** $\int xe^{2x}\,dx$. Setze $u = x$, $dv = e^{2x}\,dx$, also $v = \frac{1}{2}e^{2x}$:

$$\int xe^{2x}\,dx = \frac{x}{2}e^{2x} - \frac{1}{2}\int e^{2x}\,dx = \frac{x}{2}e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C$$

Allgemein gilt $\int xe^{kx}\,dx = \left(\frac{x}{k} - \frac{1}{k^2}\right)e^{kx} + C$.

**Beispiel 2: Zerfall.** Mit $k = -1$ liefert die allgemeine Formel $\int xe^{-x}\,dx = (-x - 1)e^{-x} + C = -(x+1)e^{-x} + C$. Von $0$ bis $\infty$ ist das $0 - (-1) = 1$. Das ist die mittlere Wartezeit bei der Exponentialverteilung mit Rate $1$.

**Beispiel 3: ein linearer Faktor.** $\int(3x + 2)e^x\,dx$. Mit $u = 3x + 2$, $du = 3\,dx$:

$$(3x+2)e^x - 3e^x + C = (3x - 1)e^x + C$$

**Beispiel 4: eine höhere Potenz.** Bei $x^2e^x$ integrierst du zweimal partiell. Das Ergebnis ist $(x^2 - 2x + 2)e^x + C$, siehe die Seite [Integral von x² eˣ](/integrals/x-squared-e-to-the-x).

## Häufige Fehler

1. **Faktorweise integrieren.** $\int xe^x\,dx \ne \frac{x^2}{2}e^x$. Das Integral eines Produkts ist nicht das Produkt der Integrale.
2. **$u = e^x$ wählen.** Das Restintegral enthält dann $x^2$ und wird schwieriger.
3. **Ein Vorzeichenfehler im letzten Schritt.** Es heißt $xe^x - \int e^x\,dx$, der Term $e^x$ wird also subtrahiert. Mach die Probe durch Ableiten.
4. **Das $\frac{1}{k}$ bei $e^{kx}$ vergessen.** Bei $e^{2x}$ ist $v = \frac{1}{2}e^{2x}$, nicht $e^{2x}$.

Mehr Übung bieten der Leitfaden zur [partiellen Integration](/blog/integration-by-parts) und die [Übungsaufgaben zur partiellen Integration](/practice-problems/integration-by-parts).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist das Integral von x eˣ?

Es ist $(x - 1)e^x + C$, oder $xe^x - e^x + C$.

### Was ist das Integral von x e^(2x)?

Es ist $\frac{x}{2}e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C$. Integriere partiell mit $u = x$ und $dv = e^{2x}\,dx$, also $v = \frac{1}{2}e^{2x}$.

### Was ist das Integral von x e^(−x)?

Es ist $-(x+1)e^{-x} + C$. Von $0$ bis $\infty$ ist das Integral gleich $1$.

### Kann ich bei x eˣ die Substitutionsregel verwenden?

Nein. Eine Substitution braucht die Ableitung der inneren Funktion als Faktor, und hier gibt es keine innere Funktion. Es ist ein Produkt zweier unabhängiger Funktionen, und genau dafür ist die partielle Integration da.