# Integral von x² eˣ: Formel, Rechenweg und Beispiele

> Das Integral von x² eˣ ist (x² − 2x + 2)eˣ + C. Zweimal partielle Integration, das Tabellenverfahren, die Probe, ein Graph und das Muster für xⁿ eˣ.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/integrale/integral-x-quadrat-mal-e-hoch-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \int x^2 e^x\,dx = (x^2 - 2x + 2)e^x + C $$

## Auf einen Blick

- **Stammfunktion:** $(x^2 - 2x + 2)e^x + C$
- **Methode:** Zweimal partielle Integration oder das Tabellenverfahren
- **Von 0 bis 1:** $e - 2 \approx 0.718$
- **Mit e^(−x), 0 bis ∞:** $\int_0^\infty x^2e^{-x}\,dx = 2$
- **Muster:** $\int x^3e^x\,dx = (x^3 - 3x^2 + 6x - 6)e^x + C$

## Das Wichtigste

- Das Integral von $x^2e^x$ ist $(x^2 - 2x + 2)e^x + C$.
- Integriere zweimal partiell mit der Potenz von $x$ als $u$. Jeder Durchgang senkt die Potenz um eins.
- Das Tabellenverfahren erledigt beide Durchgänge auf einmal: $x^2$ bis zur null ableiten, $e^x$ integrieren und die Vorzeichen abwechseln.
- Das Muster geht weiter: $\int_0^\infty x^n e^{-x}\,dx = n!$.

Das **Integral von $x^2e^x$ ist $(x^2 - 2x + 2)e^x + C$**. Man braucht zweimal partielle Integration, und es ist das Standardbeispiel für das Tabellenverfahren.

$$\int x^2e^x\,dx = (x^2 - 2x + 2)e^x + C$$

## Graph von x² eˣ und seiner Stammfunktion

```graph
title: 'y = x² eˣ und seine Stammfunktion (x² − 2x + 2)eˣ'
caption: 'Die schraffierte Fläche von $0$ bis $1$ ist $e - 2 \approx 0.718$. Die gestrichelte Stammfunktion steigt immer, weil $x^2e^x \ge 0$ für jedes $x$ gilt.'
x: [-5, 1.5]
y: [-0.5, 5]
functions:
  - expr: x^2*e^x
    label: y = x² eˣ
  - expr: (x^2 - 2x + 2)*e^x
    label: y = (x² − 2x + 2)eˣ (Stammfunktion)
    dashed: true
shade:
  expr: x^2*e^x
  from: 0
  to: 1
points:
  - [0, 2, '(0, 2)']
  - [1, 2.718, '(1, e)']
```

## x² eˣ Schritt für Schritt integrieren

Verwende [partielle Integration](/rules/integration-by-parts-rule), $\int u\,dv = uv - \int v\,du$, jedes Mal mit der Potenz von $x$ als $u$.

1. **Erster Durchgang.** $u = x^2$, $dv = e^x\,dx$, also $du = 2x\,dx$ und $v = e^x$:
$$\int x^2e^x\,dx = x^2e^x - 2\int xe^x\,dx$$
2. **Zweiter Durchgang.** Du kennst schon $\int xe^x\,dx = (x-1)e^x$ vom [Integral von x eˣ](/integrals/x-e-to-the-x). Sonst verwende noch einmal $u = x$, $dv = e^x\,dx$.
3. **Zusammensetzen.**
$$x^2e^x - 2(x - 1)e^x + C = (x^2 - 2x + 2)e^x + C$$

## Die Abkürzung mit dem Tabellenverfahren

Wenn ein Faktor durch Ableiten null wird und sich der andere immer wieder leicht integrieren lässt, legst du eine Tabelle an. Leite $x^2$ in der linken Spalte ab, integriere $e^x$ in der rechten und ordne abwechselnde Vorzeichen zu:

| Vorzeichen | Ableiten | Integrieren |
| --- | --- | --- |
| $+$ | $x^2$ | $e^x$ |
| $-$ | $2x$ | $e^x$ |
| $+$ | $2$ | $e^x$ |
| | $0$ | $e^x$ |

Multipliziere jeden Eintrag links mit dem Eintrag rechts eine Zeile tiefer, mit dem Vorzeichen der linken Zeile:

$$+x^2e^x - 2xe^x + 2e^x = (x^2 - 2x + 2)e^x$$

Die Lektion [Mehrfache partielle Integration und LIATE](/learn/calculus-2/integration-techniques/repeated-parts-and-liate) übt dieses Verfahren.

## Probe durch Ableiten

$$\frac{d}{dx}\Big[(x^2 - 2x + 2)e^x\Big] = (2x - 2)e^x + (x^2 - 2x + 2)e^x = x^2e^x$$

Alles außer $x^2$ hebt sich weg. Eine schöne Merkhilfe: Das Polynom $p(x) = x^2 - 2x + 2$ erfüllt $p + p' = x^2$.

## Bestimmte Integrale

**Von 0 bis 1:**

$$\Big[(x^2 - 2x + 2)e^x\Big]_0^1 = (1)e - (2)(1) = e - 2 \approx 0.718$$

**Von −∞ bis 0:** Für $x \to -\infty$ gilt $(x^2 - 2x + 2)e^x \to 0$, das Integral ist also $2 - 0 = 2$.

**Mit abklingender Exponentialfunktion.** $\int x^2e^{-x}\,dx = -(x^2 + 2x + 2)e^{-x} + C$, also

$$\int_0^\infty x^2e^{-x}\,dx = 0 - (-2) = 2 = 2!$$

Das ist ein Spezialfall des Ergebnisses zur Gammafunktion, $\int_0^\infty x^ne^{-x}\,dx = n!$. Warum der Grenzwert im Unendlichen $0$ ist, erklärt der Leitfaden zu [uneigentlichen Integralen](/blog/improper-integrals).

## Das Muster für xⁿ eˣ

Jede weitere Potenz von $x$ fügt der Tabelle eine Zeile hinzu:

| Integral | Ergebnis |
| --- | --- |
| $\int e^x\,dx$ | $e^x + C$ |
| $\int xe^x\,dx$ | $(x - 1)e^x + C$ |
| $\int x^2e^x\,dx$ | $(x^2 - 2x + 2)e^x + C$ |
| $\int x^3e^x\,dx$ | $(x^3 - 3x^2 + 6x - 6)e^x + C$ |

Das Polynom ist $x^n$ minus seine Ableitung plus seine zweite Ableitung und so weiter, mit abwechselnden Vorzeichen.

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: eine schnellere Exponentialfunktion.** $\int x^2e^{2x}\,dx$. Beim Tabellenverfahren lautet die rechte Spalte $e^{2x}, \frac{1}{2}e^{2x}, \frac{1}{4}e^{2x}, \frac{1}{8}e^{2x}$:

$$\frac{x^2}{2}e^{2x} - \frac{2x}{4}e^{2x} + \frac{2}{8}e^{2x} + C = \left(\frac{x^2}{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{4}\right)e^{2x} + C$$

**Beispiel 2: ein quadratisches Polynom.** $\int(x^2 + 1)e^x\,dx$. Hier ist $p = x^2 + 1$, und das Muster liefert $(p - p' + p'')e^x = (x^2 + 1 - 2x + 2)e^x = (x^2 - 2x + 3)e^x + C$.

**Beispiel 3: zuerst substituieren.** $\int x^3e^{x^2}\,dx$. Setze $w = x^2$, $dw = 2x\,dx$, dann ist das Integral $\frac{1}{2}\int we^w\,dw = \frac{1}{2}(x^2 - 1)e^{x^2} + C$.

## Häufige Fehler

1. **Nach einem Durchgang aufhören.** In $x^2e^x - 2\int xe^x\,dx$ steckt noch ein Integral.
2. **Den Faktor 2 verlieren.** Der erste Durchgang liefert $2x$, und die $2$ multipliziert das ganze zweite Ergebnis.
3. **Falsche Vorzeichen in der Tabelle.** Die Vorzeichen wechseln $+, -, +$, beginnend mit der obersten Zeile.
4. **$u = e^x$ wählen.** Die Potenz von $x$ steigt dann, statt zu fallen.

Mehr Übung: die [Übungsaufgaben zur partiellen Integration](/practice-problems/integration-by-parts).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist das Integral von x² eˣ?

Es ist $(x^2 - 2x + 2)e^x + C$, ausmultipliziert $x^2e^x - 2xe^x + 2e^x + C$.

### Was ist das Integral von x² e^(−x)?

Es ist $-(x^2 + 2x + 2)e^{-x} + C$. Von $0$ bis $\infty$ ergibt es $2$.

### Wie oft muss man bei x² eˣ partiell integrieren?

Zweimal. Der erste Durchgang macht aus $x^2$ ein $2x$, der zweite aus $2x$ eine $2$. Danach bleibt nur noch $\int e^x\,dx$.

### Was ist das Integral von x³ eˣ?

Es ist $(x^3 - 3x^2 + 6x - 6)e^x + C$. Verwende das Tabellenverfahren mit den drei Ableitungen von $x^3$, die nicht null sind.