# Integral von x²: Formel, Herleitung und Beispiele

> Das Integral von x² ist x³/3 + C. Mit Potenzregel, Beweis über Riemann-Summen, bestimmten Integralen, der Form (ax + b)² und typischen Fehlern.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/integrale/integral-x-quadrat
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C $$

## Auf einen Blick

- **Stammfunktion:** $\dfrac{x^3}{3} + C$
- **Verwendete Regel:** Potenzregel für Integrale mit $n = 2$
- **Fläche von 0 bis b:** $\dfrac{b^3}{3}$
- **Fläche von 0 bis 1:** $\dfrac{1}{3}$
- **Probe:** $\dfrac{d}{dx}\dfrac{x^3}{3} = x^2$

## Das Wichtigste

- Das Integral von $x^2$ ist $\frac{x^3}{3} + C$.
- Die Fläche unter $y = x^2$ von $0$ bis $b$ ist $\frac{b^3}{3}$, also ein Drittel des umgebenden Rechtecks mit den Seiten $b$ und $b^2$.
- Das Integral von $3x^2$ ist $x^3 + C$. So merkst du dir das Muster am leichtesten.
- Mit einer linearen inneren Funktion gilt $\int (ax + b)^2\,dx = \frac{(ax + b)^3}{3a} + C$.

Das **Integral von $x^2$ ist $\dfrac{x^3}{3} + C$**. Erhöhe den Exponenten um eins und teile durch den neuen Exponenten.

$$\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C$$

## Graph: die Fläche unter y = x²

```graph
title: 'Fläche unter y = x² von 0 bis 2, mit der Stammfunktion y = x³/3'
caption: 'Die schraffierte Fläche ist $\frac{2^3}{3} = \frac{8}{3} \approx 2.67$. Die gestrichelte Stammfunktion $y = \frac{x^3}{3}$ verläuft durch $\left(2, \frac{8}{3}\right)$.'
x: [-2, 2.6]
y: [-2.5, 5]
functions:
  - expr: x^2
    label: y = x²
  - expr: x^3/3
    label: y = x³/3 (Stammfunktion)
    dashed: true
shade: {expr: x^2, from: 0, to: 2}
points:
  - [2, 2.667, '(2, 8/3)']
```

Beachte, dass die Stammfunktion bei $x = 0$ waagerecht verläuft (dort ist $x^2 = 0$) und nie fällt, weil $x^2$ nie negativ ist.

## Herleitung mit der Potenzregel

1. Starte mit der [Potenzregel für Integrale](/rules/reverse-power-rule): $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ für $n \ne -1$.
2. Setze $n = 2$: Der neue Exponent ist $3$.
3. Teile durch $3$: $\frac{x^3}{3}$.
4. Ergänze $C$.

## Ein Beweis über Riemann-Summen

Du kannst die Fläche unter $x^2$ von $0$ bis $b$ auch ohne Stammfunktion bestimmen. Teile $[0, b]$ in $n$ Streifen der Breite $\frac{b}{n}$ und verwende die rechten Randpunkte $x_i = \frac{bi}{n}$:

$$\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{bi}{n}\right)^2\frac{b}{n} = \frac{b^3}{n^3}\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{b^3}{n^3}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

Für $n \to \infty$ strebt der Bruch $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}$ gegen $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$, die Fläche ist also $\frac{b^3}{3}$. Das passt zur Stammfunktion. Genau diese Rechnung hat schon Archimedes für die Parabel durchgeführt, und du kannst sie im Leitfaden zu [Riemann-Summen](/blog/riemann-sums) üben.

## Probe durch Ableiten

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3} + C\right) = \frac{3x^2}{3} = x^2 \checkmark$$

Siehe auch die [Ableitung von x²](/derivatives/x-squared).

## Variante mit Substitution: Integral von (ax + b)²

Mit $u = ax + b$ und $du = a\,dx$:

$$\int (ax + b)^2\,dx = \frac{1}{a}\int u^2\,du = \frac{(ax + b)^3}{3a} + C$$

Zum Beispiel ist $\int (2x + 1)^2\,dx = \frac{(2x + 1)^3}{6} + C$. Probe: Die Ableitung ist $\frac{3(2x+1)^2\cdot 2}{6} = (2x + 1)^2$.

Derselbe Gedanke funktioniert mit einem zusätzlichen Faktor $x$: $\int x(x^2 + 1)^2\,dx = \frac{(x^2 + 1)^3}{6} + C$, mit $u = x^2 + 1$. Mehr dazu auf der Seite zur [Substitutionsregel](/rules/u-substitution-rule).

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1.** $\int_1^3 x^2\,dx = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}$.

**Beispiel 2.** $\int (x^2 + 3x - 2)\,dx = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - 2x + C$.

**Beispiel 3.** $\int_{-2}^{2} x^2\,dx = \frac{8}{3} - \left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{16}{3}$. Da $x^2$ gerade ist, ist das doppelt so viel wie $\int_0^2 x^2\,dx$.

**Beispiel 4: Volumen.** Rotiert $y = x$ auf $[0, h]$ um die $x$-Achse, entsteht ein Kegel mit dem Volumen $\pi\int_0^h x^2\,dx = \frac{\pi h^3}{3}$, also das bekannte $\frac{1}{3}\pi r^2 h$ mit $r = h$.

## Häufige Fehler

1. **$2x$ schreiben.** Das ist die Ableitung, nicht das Integral.
2. **Das Teilen durch $3$ vergessen.** $x^3$ hat die Ableitung $3x^2$, nicht $x^2$.
3. **$(2x + 1)^2$ zu $\frac{(2x+1)^3}{3}$ integrieren.** Du musst zusätzlich durch die innere Ableitung $2$ teilen.
4. **Das Integral von $x$ quadrieren.** Integrale lassen sich nicht auf Produkte verteilen.

Übe mit den [Aufgaben zu Stammfunktionen](/practice-problems/antiderivatives) und den [Aufgaben zu bestimmten Integralen](/practice-problems/definite-integrals).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist das Integral von x²?

Das Integral von $x^2$ ist $\frac{x^3}{3} + C$. Erhöhe den Exponenten von $2$ auf $3$ und teile durch $3$.

### Was ist das Integral von x² von 0 bis 1?

Es ist $\frac{1^3}{3} - 0 = \frac{1}{3}$.

### Was ist das Integral von 3x²?

Es ist $x^3 + C$, denn $3\cdot\frac{x^3}{3} = x^3$.

### Ist das Integral von x² dasselbe wie (Integral von x)²?

Nein. $\left(\frac{x^2}{2}\right)^2 = \frac{x^4}{4}$, und das ist nicht $\frac{x^3}{3}$. Du kannst das Integral von $x$ nicht quadrieren, um das Integral von $x^2$ zu erhalten.