# Integral von x sin x: Formel, Rechenweg und Beispiele

> Das Integral von x sin x ist sin x − x cos x + C. Die partielle Integration Schritt für Schritt, die Probe durch Ableiten, ein Graph und Beispiele wie x² sin x.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/integrale/integral-x-sin-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \int x\sin x\,dx = \sin x - x\cos x + C $$

## Auf einen Blick

- **Stammfunktion:** $\sin x - x\cos x + C$
- **Methode:** Partielle Integration mit $u = x$, $dv = \sin x\,dx$
- **Von 0 bis π:** $\pi$
- **Von 0 bis π/2:** $1$
- **Mit sin(kx):** $\int x\sin kx\,dx = -\frac{x}{k}\cos kx + \frac{1}{k^2}\sin kx + C$

## Das Wichtigste

- Das Integral von $x\sin x$ ist $\sin x - x\cos x + C$.
- Verwende partielle Integration mit $u = x$ und $dv = \sin x\,dx$, also $v = -\cos x$.
- Achte auf die Vorzeichen: $v = -\cos x$, und das Subtrahieren von $\int -\cos x\,dx$ ergibt $+\sin x$.
- Die Bögen von $x\sin x$ haben die Flächen $\pi$, $3\pi$, $5\pi$ und so weiter, mit wechselndem Vorzeichen.

Das **Integral von $x\sin x$ ist $\sin x - x\cos x + C$**. Eine Potenz von $x$ mal eine trigonometrische Funktion ist eine klassische Aufgabe für partielle Integration.

$$\int x\sin x\,dx = \sin x - x\cos x + C$$

## Graph von x sin x

```graph
title: 'y = x sin x mit schraffierter Fläche von 0 bis π'
caption: 'Der schraffierte Bogen hat genau die Fläche $\pi$. Der nächste Bogen, von $\pi$ bis $2\pi$, liegt unter der Achse und hat die orientierte Fläche $-3\pi$, und jeder weitere Bogen wächst um $2\pi$.'
x: [-1, 7]
y: [-5.5, 3]
functions:
  - expr: x*sin(x)
    label: y = x sin x
shade:
  expr: x*sin(x)
  from: 0
  to: 3.14159
points:
  - [3.14159, 0, '(π, 0)']
  - [6.28319, 0, '(2π, 0)']
```

## x sin x Schritt für Schritt integrieren

Die Formel der [partiellen Integration](/rules/integration-by-parts-rule) lautet $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.

1. **Die Teile wählen.** $u = x$ und $dv = \sin x\,dx$. In LIATE kommt algebraisch vor trigonometrisch.
2. **$du$ und $v$ bestimmen.** $du = dx$ und $v = -\cos x$, nach dem [Integral von sin x](/integrals/sin-x).
3. **Die Formel anwenden.**
$$\int x\sin x\,dx = x(-\cos x) - \int(-\cos x)\,dx = -x\cos x + \int\cos x\,dx$$
4. **Abschließen.** $\int\cos x\,dx = \sin x$, also
$$\int x\sin x\,dx = -x\cos x + \sin x + C$$

Wählst du stattdessen $u = \sin x$ und $dv = x\,dx$, ist das Restintegral $\int\frac{x^2}{2}\cos x\,dx$, mit einer höheren Potenz. Das ist das Signal zum Tauschen.

## Probe durch Ableiten

$$\frac{d}{dx}\left(\sin x - x\cos x\right) = \cos x - \left(\cos x - x\sin x\right) = x\sin x$$

Die $\cos x$-Terme heben sich auf, und die [Produktregel](/rules/product-rule) auf $x\cos x$ liefert das $x\sin x$.

## Bestimmte Integrale

Sei $F(x) = \sin x - x\cos x$.

| Integral | Rechnung | Wert |
| --- | --- | --- |
| $\int_0^{\pi/2} x\sin x\,dx$ | $F\!\left(\frac{\pi}{2}\right) - F(0) = 1 - 0$ | $1$ |
| $\int_0^{\pi} x\sin x\,dx$ | $F(\pi) - F(0) = \pi - 0$ | $\pi$ |
| $\int_\pi^{2\pi} x\sin x\,dx$ | $F(2\pi) - F(\pi) = -2\pi - \pi$ | $-3\pi$ |
| $\int_0^{2\pi} x\sin x\,dx$ | $F(2\pi) - F(0)$ | $-2\pi$ |

Allgemein hat der Bogen von $k\pi$ bis $(k+1)\pi$ die Fläche $(2k+1)\pi$, mit dem Vorzeichen $(-1)^k$. Die Gesamtfläche (nicht orientiert) von $0$ bis $2\pi$ ist $\pi + 3\pi = 4\pi$.

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: ein skalierter Winkel.** $\int x\sin 2x\,dx$. Mit $u = x$, $dv = \sin 2x\,dx$, $v = -\frac{1}{2}\cos 2x$:

$$-\frac{x}{2}\cos 2x + \frac{1}{2}\int\cos 2x\,dx = -\frac{x}{2}\cos 2x + \frac{1}{4}\sin 2x + C$$

**Beispiel 2: x zum Quadrat, mit dem Tabellenverfahren.** Für $\int x^2\sin x\,dx$ leitest du $x^2$ bis zur $0$ ab und integrierst daneben $\sin x$, mit abwechselnden Vorzeichen:

| Vorzeichen | Ableiten | Integrieren |
| --- | --- | --- |
| $+$ | $x^2$ | $\sin x$ |
| $-$ | $2x$ | $-\cos x$ |
| $+$ | $2$ | $-\sin x$ |
| | $0$ | $\cos x$ |

Multipliziere entlang der Diagonalen:

$$\int x^2\sin x\,dx = -x^2\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C$$

**Beispiel 3: ein Volumen.** Rotiert der erste Bogen von $y = \sin x$ (von $0$ bis $\pi$) um die $y$-Achse, liefert die Zylindermantelmethode

$$V = 2\pi\int_0^\pi x\sin x\,dx = 2\pi\cdot\pi = 2\pi^2$$

Den Ansatz erklärt der Leitfaden zu [Rotationsvolumen](/blog/volumes-of-revolution).

**Beispiel 4: ein verschobener Winkel.** $\int x\sin(x + 1)\,dx = \sin(x+1) - x\cos(x+1) + C$, da die innere Funktion die Steigung $1$ hat.

## Häufige Fehler

1. **$v$ falsch bestimmen.** $\int\sin x\,dx = -\cos x$, nicht $\cos x$. Die meisten Fehler bei dieser Aufgabe sind Vorzeichenfehler.
2. **Das doppelte Minus verlieren.** $-\int(-\cos x)\,dx = +\int\cos x\,dx$.
3. **$u = \sin x$ wählen.** Das Restintegral enthält dann $x^2$.
4. **$\frac{1}{k}$ und $\frac{1}{k^2}$ bei $\sin kx$ vergessen.** Leite dein Ergebnis zur Kontrolle ab.

Vergleiche mit dem [Integral von x cos x](/integrals/x-cos-x), das mit denselben Schritten und anderen Vorzeichen funktioniert. Mehr Übung bietet der Leitfaden zur [partiellen Integration](/blog/integration-by-parts).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist das Integral von x sin x?

Es ist $\sin x - x\cos x + C$.

### Was ist das Integral von x sin x von 0 bis π?

Es ist $\pi$. Die Stammfunktion ist an der oberen Grenze $\sin\pi - \pi\cos\pi = \pi$ und an der unteren $0$.

### Was ist das Integral von x² sin x?

Es ist $-x^2\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C$. Integriere zweimal partiell oder verwende das Tabellenverfahren.

### Was ist das Integral von x sin(2x)?

Es ist $-\frac{x}{2}\cos 2x + \frac{1}{4}\sin 2x + C$. Integriere partiell mit $u = x$ und $v = -\frac{1}{2}\cos 2x$.