# FU Berlin Analysis II: Themen, Prüfung und Übungen

> Lernhilfe zu Analysis II an der FU Berlin: Riemann-Integral, Taylorreihen, metrische Räume und Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/kurse/fu-berlin-analysis-2
Aktualisiert: 2026-11-08

## Auf einen Blick

- **Modul:** Analysis II im Grundlagenbereich des Bachelorstudiengangs Mathematik
- **Leistungspunkte:** 10 LP (300 Stunden Arbeitsaufwand)
- **Lehrveranstaltungen:** Vorlesung (4 SWS) und Übung (2 SWS), regelmäßige Teilnahme an der Übung ist Pflicht
- **Semester:** Jedes Sommersemester, im Studienverlaufsplan im 2. Fachsemester
- **Voraussetzungen:** Keine formalen Zugangsvoraussetzungen; inhaltlich baut das Modul auf Analysis I auf
- **Prüfung:** Klausur (90 Minuten) oder mündliche Prüfung (ca. 20 Minuten)
- **Inhalt:** Riemann-Integral, Hauptsatz, uneigentliche Integrale, Funktionenfolgen und -reihen, Taylorentwicklung, normierte und metrische Räume, Banachscher Fixpunktsatz, Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher
- **Vorheriger Kurs:** [Analysis I](/courses/fu-berlin-analysis-1)
- **Nächster Kurs:** [Analysis III](/courses/fu-berlin-analysis-3)
- **Hier üben:** [Calculus 2](/learn/calculus-2) und [Calculus 3](/learn/calculus-3)

## Das Wichtigste

- Analysis II ist an der FU Berlin das zweite Analysis-Modul im Bachelor Mathematik, mit 10 LP, 4 SWS Vorlesung und 2 SWS Übung, angeboten jedes Sommersemester.
- Es bringt das Riemann-Integral einer Variablen, Funktionenfolgen und Taylorentwicklung, normierte und metrische Räume sowie die Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher.
- Je nach Semester gibt es einen Ausblick auf Mehrfachintegrale und auf gewöhnliche Differentialgleichungen.
- Geprüft wird mit einer Klausur von 90 Minuten oder einer mündlichen Prüfung von etwa 20 Minuten.

**Analysis II** ist an der Freien Universität Berlin das zweite Analysis-Modul im Bachelorstudiengang Mathematik. Es wird jedes Sommersemester angeboten, umfasst 10 Leistungspunkte und besteht aus vier Stunden Vorlesung und zwei Stunden Übung pro Woche. Diese Seite stützt sich auf die Studien- und Prüfungsordnung für den Bachelorstudiengang Mathematik in den FU-Mitteilungen 23/2024 und ordnet die Themen des Moduls passenden Übungen auf PracticeCalculus zu.

## Was Analysis II abdeckt

Laut Modulbeschreibung baut Analysis II auf Analysis I auf und behandelt:

- **Integration einer Variablen:** Riemann-Integral, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Integrationsregeln, Mittelwertsatz und uneigentliche Integrale
- **Funktionenfolgen und -reihen:** gleichmäßige und absolute Konvergenz, Potenzreihen, Taylorentwicklung und die Vertauschbarkeit von Grenzwertbildung mit Integration und Differentiation
- **Normierte und metrische Räume:** Normen, Metriken, Vollständigkeit, kompakte Teilmengen, stetige Abbildungen und der Banachsche Fixpunktsatz
- **Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher:** partielle, totale und stetige Differenzierbarkeit, Satz über die Umkehrfunktion, Satz über implizite Funktionen, Extrema und Taylorentwicklung

Zusätzlich kann ein Ausblick auf die Integralrechnung mehrerer Variablen folgen, also Mehrfachintegrale und Volumen von Rotationskörpern, und ein Ausblick auf gewöhnliche Differentialgleichungen mit elementar lösbaren Typen. Im amerikanischen System verteilt sich der Stoff auf **Calculus 2** und **Calculus 3**, ergänzt um Topologie, die dort gar nicht vorkommt.

## Themenübersicht Analysis II

| Thema in Analysis II | Üben | Nachlesen |
| --- | --- | --- |
| Riemann-Integral | [Riemann-Summen](/learn/calculus-1/integrals/riemann-sums) | [Riemann-Summen](/blog/riemann-sums), [Eigenschaften des Integrals](/rules/definite-integral-properties) |
| Hauptsatz | [Ableitungen von Integralen](/learn/calculus-1/integrals/fundamental-theorem-part-1) | [Hauptsatz, Teil 1](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-1), [Teil 2](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-2) |
| Integrationsregeln | [Partielle Integration](/learn/calculus-2/integration-techniques/integration-by-parts) | [Substitution](/rules/u-substitution-rule), [Partialbruchzerlegung](/blog/partial-fractions) |
| Mittelwertsatz der Integralrechnung | [Mittelwert einer Funktion](/learn/calculus-1/applications-of-integrals/average-value) | [Mittelwertsatz für Integrale](/theorems/mean-value-theorem-for-integrals) |
| Uneigentliche Integrale | [Unendliche Integrationsgrenzen](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/infinite-limits-of-integration) | [Uneigentliche Integrale](/blog/improper-integrals) |
| Potenzreihen | [Potenzreihen und Konvergenzradius](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/power-series-and-radius) | [Potenzreihen](/blog/power-series) |
| Taylorentwicklung | [Taylorpolynome](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/taylor-polynomials) | [Satz von Taylor](/theorems/taylors-theorem), [Taylorreihen](/blog/taylor-series) |
| Partielle Ableitungen | [Partielle Ableitungen](/learn/calculus-3/partial-derivatives/partial-derivatives) | [Partielle Ableitungen](/blog/partial-derivatives), [Satz von Schwarz](/theorems/clairauts-theorem) |
| Totale Differenzierbarkeit | [Tangentialebenen](/learn/calculus-3/partial-derivatives/tangent-planes) | [Lineare Approximation](/blog/linear-approximation) |
| Kettenregel im $\mathbb{R}^n$ | [Mehrdimensionale Kettenregel](/learn/calculus-3/partial-derivatives/multivariable-chain-rule) | [Gradient und Richtungsableitung](/blog/gradient-and-directional-derivatives) |
| Implizite Funktionen | [Implizites Differenzieren](/learn/calculus-1/derivative-rules/implicit-differentiation) | [Implizites Differenzieren](/rules/implicit-differentiation) |
| Extrema mehrerer Veränderlicher | [Kritische Punkte und Hesse-Test](/learn/calculus-3/partial-derivatives/critical-points-and-second-derivative-test) | [Übungsaufgaben partielle Ableitungen](/practice-problems/partial-derivatives) |
| Ausblick Mehrfachintegrale | [Iterierte Integrale](/learn/calculus-3/multiple-integrals/iterated-integrals) | [Doppelintegrale](/blog/double-integrals) |
| Ausblick Differentialgleichungen | [Separierbare Differentialgleichungen](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/separable-equations) | [Übungsaufgaben Differentialgleichungen](/practice-problems/differential-equations) |

Für gleichmäßige Konvergenz, normierte und metrische Räume, Kompaktheit, den Banachschen Fixpunktsatz sowie die Sätze über Umkehrfunktion und implizite Funktionen in voller Allgemeinheit gibt es bei PracticeCalculus keine eigenen Lektionen. Die Lektion zum impliziten Differenzieren zeigt nur die Rechentechnik in der Ebene.

## Eckdaten aus der Ordnung

| Punkt | Analysis II |
| --- | --- |
| Leistungspunkte | 10 LP, 300 Stunden |
| Vorlesung | 4 SWS, Teilnahme empfohlen |
| Übung | 2 SWS, regelmäßige Teilnahme Pflicht |
| Übungsaufgaben | 120 Stunden schriftliche Bearbeitung |
| Prüfung | Klausur (90 Minuten) oder mündlich (ca. 20 Minuten) |
| Angebot | jedes Sommersemester |

Im Anschluss folgt im Wintersemester [Analysis III](/courses/fu-berlin-analysis-3) mit Integration im $\mathbb{R}^n$, den Integralsätzen und dem Lebesgue-Integral.

## Beispielaufgaben auf dem Niveau von Analysis II

**1. Uneigentliches Integral.**

$$\int_1^{\infty} \frac{dx}{x^2} = \lim_{b \to \infty} \left[-\frac{1}{x}\right]_1^{b} = \lim_{b \to \infty} \left(1 - \frac{1}{b}\right) = 1$$

**2. Taylorpolynom.** Für $f(x) = \ln(1 + x)$ um $x_0 = 0$ ist

$$T_3(x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}$$

**3. Kritischer Punkt.** Für $f(x,y) = x^2 + xy + y^2 - 3x$ liefert $\nabla f = (2x + y - 3,\; x + 2y) = 0$ den Punkt $(2, -1)$. Die Hesse-Matrix

$$H = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$

ist positiv definit, also liegt dort ein lokales Minimum.

## So läuft Analysis II gut

- **Integration früh sicher machen.** Die Integrationsregeln kommen am Anfang und werden danach vorausgesetzt. Kurze Einheiten zu [partieller Integration](/learn/calculus-2/integration-techniques/integration-by-parts) und [Substitution](/learn/calculus-2/integration-techniques/u-substitution-refresher) sparen später Zeit.
- **Bilder zu metrischen Räumen zeichnen.** Offene Kugeln in verschiedenen Normen sehen unterschiedlich aus. Skizzen helfen, Definitionen wie Kompaktheit greifbar zu machen.
- **Totale und partielle Ableitung auseinanderhalten.** Eine Funktion kann alle partiellen Ableitungen haben und trotzdem nicht total differenzierbar sein. Merke dir ein Gegenbeispiel.
- **Prüfung planen.** Unsere Anleitung zur [Prüfungsvorbereitung](/blog/how-to-prepare-for-a-calculus-exam) hilft, die letzten Wochen sinnvoll aufzuteilen.

> **Tipp:** Die Taylorentwicklung kommt in Analysis II zweimal vor, erst für eine Variable und dann für mehrere. Wer die eindimensionale Formel sicher kann, erkennt im Mehrdimensionalen schnell das gleiche Muster mit Gradient und Hesse-Matrix.

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist Analysis II an der FU Berlin?

Analysis II ist ein Pflichtmodul im Grundlagenbereich des Bachelorstudiengangs Mathematik mit 10 LP. Laut Studien- und Prüfungsordnung von 2024 ist es außerdem im Bachelor Mathematik für das Lehramt und im Lehramtsstudium für Integrierte Sekundarschulen und Gymnasien verwendbar.

### Brauche ich Analysis I für Analysis II?

Formal nennt die Ordnung keine Zugangsvoraussetzungen. Inhaltlich baut Analysis II aber ausdrücklich auf den Kenntnissen aus Analysis I auf, vor allem auf Folgen, Reihen, Stetigkeit und Differenzierbarkeit.

### Wann wird Analysis II angeboten?

Jedes Sommersemester. Im exemplarischen Studienverlaufsplan für den Studienstart im Wintersemester liegt Analysis II im 2. Fachsemester, direkt nach Analysis I.

### Wie viel Arbeit sind die Übungsaufgaben?

Die Ordnung veranschlagt 120 Stunden für schriftliche Übungsaufgaben, also 40 Prozent des Gesamtaufwands von 300 Stunden. Die Übung ist Pflicht, und die Bearbeitung der Aufgaben gilt als aktive Teilnahme.

### Ist Analysis II schwerer als Analysis I?

Viele empfinden den Sprung zu metrischen Räumen und mehreren Veränderlichen als größer als den Einstieg. Hilfreich ist, die Integration einer Variablen schnell sicher zu können, damit Zeit für die neuen Begriffe bleibt.