# FU Berlin Analysis III: Themen, Prüfung und Übungen

> Lernhilfe zu Analysis III an der FU Berlin: Integration im R^n, Extrema mit Nebenbedingungen, Sätze von Gauß und Stokes und das Lebesgue-Integral.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/kurse/fu-berlin-analysis-3
Aktualisiert: 2026-11-08

## Auf einen Blick

- **Modul:** Analysis III im Grundlagenbereich des Bachelorstudiengangs Mathematik
- **Leistungspunkte:** 11 LP (330 Stunden Arbeitsaufwand)
- **Lehrveranstaltungen:** Vorlesung (4 SWS) und Übung (2 SWS), regelmäßige Teilnahme an der Übung ist Pflicht
- **Semester:** Jedes Wintersemester, im Studienverlaufsplan im 3. Fachsemester
- **Voraussetzungen:** Keine formalen Zugangsvoraussetzungen
- **Prüfung:** Klausur (90 Minuten) oder mündliche Prüfung (ca. 20 Minuten)
- **Inhalt:** Differentiation und Integration im R^n, Extrema mit und ohne Nebenbedingungen, Integration auf Flächen, Integralsätze von Gauß und Stokes, Maß- und Integrationstheorie, Lebesgue-Integral, L^p-Räume
- **Vorheriger Kurs:** [Analysis II](/courses/fu-berlin-analysis-2)
- **Hier üben:** [Calculus 3](/learn/calculus-3)

## Das Wichtigste

- Analysis III ist an der FU Berlin das dritte Analysis-Modul im Bachelor Mathematik, mit 11 LP, 4 SWS Vorlesung und 2 SWS Übung, angeboten jedes Wintersemester.
- Es behandelt Differentiation und Integration im n-dimensionalen Raum, Extrema mit Nebenbedingungen, Flächenintegrale und die Integralsätze von Gauß und Stokes.
- Ein Schwerpunkt ist die Maß- und Integrationstheorie mit dem Lebesgue-Integral und den L^p-Räumen.
- Geprüft wird mit einer Klausur von 90 Minuten oder einer mündlichen Prüfung von etwa 20 Minuten.

**Analysis III** ist an der Freien Universität Berlin das dritte und letzte Analysis-Modul im Grundlagenbereich des Bachelorstudiengangs Mathematik. Es wird jedes Wintersemester angeboten, umfasst 11 Leistungspunkte und besteht aus vier Stunden Vorlesung und zwei Stunden Übung pro Woche. Grundlage dieser Seite ist die Studien- und Prüfungsordnung für den Bachelorstudiengang Mathematik in den FU-Mitteilungen 23/2024. Du findest hier, welche Themen die Ordnung nennt und wo du die rechnerische Seite davon üben kannst.

## Was Analysis III abdeckt

Die Modulbeschreibung nennt als Gegenstand Differentiation und Integration im n-dimensionalen Raum über den reellen Zahlen, zum Beispiel:

- Extrema mit und ohne Nebenbedingungen
- Integration auf Flächen
- die Integralsätze von Gauß und Stokes
- Grundbegriffe der Maß- und Integrationstheorie, insbesondere das Lebesgue-Integral und $L^p$-Räume

Als mögliches weiteres Thema zur Vertiefung der Differentiation nennt die Ordnung gewöhnliche Differentialgleichungen. Als Qualifikationsziel steht dort, dass du Differentiation und Integration im mehrdimensionalen Raum beherrschst und dich erfolgreich in verschiedene Gebiete der Mathematik einarbeiten kannst.

Der Teil zu Extrema, Flächenintegralen und Integralsätzen entspricht ungefähr dem Ende von **Calculus 3**. Die Maß- und Integrationstheorie geht weit darüber hinaus und gehört im amerikanischen System zu einer Real-Analysis-Vorlesung im Masterstudium.

## Themenübersicht Analysis III

| Thema in Analysis III | Üben | Nachlesen |
| --- | --- | --- |
| Extrema ohne Nebenbedingungen | [Kritische Punkte und Hesse-Test](/learn/calculus-3/partial-derivatives/critical-points-and-second-derivative-test) | [Übungsaufgaben partielle Ableitungen](/practice-problems/partial-derivatives) |
| Extrema mit Nebenbedingungen | [Lagrange-Multiplikatoren](/learn/calculus-3/partial-derivatives/lagrange-multipliers) | [Lagrange-Multiplikatoren](/blog/lagrange-multipliers), [Übungsaufgaben](/practice-problems/lagrange-multipliers) |
| Mehrfachintegrale | [Dreifachintegrale](/learn/calculus-3/multiple-integrals/triple-integrals) | [Doppelintegrale](/blog/double-integrals) |
| Transformationssatz | [Variablenwechsel](/learn/calculus-3/multiple-integrals/change-of-variables) | [Zylinder- und Kugelkoordinaten](/learn/calculus-3/multiple-integrals/cylindrical-spherical) |
| Kurvenintegrale | [Kurvenintegrale von Vektorfeldern](/learn/calculus-3/vector-calculus/line-integrals-of-vector-fields) | [Satz von Green](/theorems/greens-theorem) |
| Rotation und Divergenz | [Rotation und Divergenz](/learn/calculus-3/vector-calculus/curl-and-divergence) | [Vektorfelder](/learn/calculus-3/vector-calculus/vector-fields) |
| Integration auf Flächen | [Flächenintegrale und Fluss](/learn/calculus-3/vector-calculus/surface-integrals-and-flux) | [Skalar- und Kreuzprodukt](/blog/vectors-dot-and-cross-product) |
| Sätze von Gauß und Stokes | [Stokes und Gauß](/learn/calculus-3/vector-calculus/stokes-and-divergence-theorems) | [Satz von Stokes](/theorems/stokes-theorem), [Satz von Gauß](/theorems/divergence-theorem) |
| Gewöhnliche Differentialgleichungen (optional) | [Separierbare Differentialgleichungen](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/separable-equations) | [Übungsaufgaben Differentialgleichungen](/practice-problems/differential-equations) |

Für Maß- und Integrationstheorie, das Lebesgue-Integral und $L^p$-Räume gibt es bei PracticeCalculus keine Lektionen. Diese Themen sind beweisorientiert und werden in Vorlesung und Übung erarbeitet. Unsere Lektionen helfen bei den konkreten Rechnungen mit Mehrfach-, Kurven- und Flächenintegralen.

## Die drei Analysis-Module im Vergleich

| Modul | LP | Arbeitsaufwand | Angebot | Verwendbarkeit laut Ordnung |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| [Analysis I](/courses/fu-berlin-analysis-1) | 10 | 300 Stunden | jedes Semester | Bachelor Mathematik, Mathematik für das Lehramt |
| [Analysis II](/courses/fu-berlin-analysis-2) | 10 | 300 Stunden | Sommersemester | zusätzlich Lehramt ISS und Gymnasien |
| Analysis III | 11 | 330 Stunden | Wintersemester | nur Bachelor Mathematik |

Bei Analysis III sieht die Ordnung je 50 Stunden für die Vor- und Nachbereitung der Übung und für schriftliche Übungsaufgaben vor, dazu 70 Stunden für Prüfungsvorbereitung und Prüfung.

## Beispielaufgaben auf dem Niveau von Analysis III

**1. Lagrange-Multiplikatoren.** Maximiere $f(x,y) = xy$ unter $x + y = 10$. Aus $\nabla f = \lambda \nabla g$ folgt $y = \lambda$ und $x = \lambda$, also $x = y = 5$ und

$$f_{\max} = 25$$

**2. Kugelkoordinaten.** Das Volumen der Einheitskugel ist

$$\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^{1} r^2 \sin\theta \, dr \, d\theta \, d\varphi = 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4\pi}{3}$$

**3. Satz von Gauß.** Für $F(x,y,z) = (x, y, z)$ ist $\operatorname{div} F = 3$. Der Fluss durch die Oberfläche der Einheitskugel ist deshalb

$$\iint_{\partial B} F \cdot n \, dS = \iiint_B 3 \, dV = 3 \cdot \frac{4\pi}{3} = 4\pi$$

## So läuft Analysis III gut

- **Rechentechnik vor der Theorie sichern.** Wer Mehrfachintegrale und Koordinatenwechsel flüssig rechnet, hat mehr Kapazität für Maßtheorie und Lebesgue-Integral.
- **Integralsätze an Beispielen prüfen.** Rechne bei einfachen Feldern beide Seiten von Gauß oder Stokes aus. So siehst du, dass die Sätze stimmen, und findest Vorzeichenfehler.
- **Die Analysis II nicht vergessen.** Gradient, Hesse-Matrix und der Satz über implizite Funktionen werden vorausgesetzt. Die Einheit zu [partiellen Ableitungen](/learn/calculus-3/partial-derivatives/partial-derivatives) ist eine schnelle Wiederholung.
- **Formeln sammeln.** Unser [Formelblatt](/formulas) eignet sich als Grundlage für die eigene Übersicht.

> **Tipp:** Die Sätze von Green, Stokes und Gauß sagen im Kern alle dasselbe: Ein Integral über den Rand entspricht einem Integral einer Ableitung über das Innere. Wer diese gemeinsame Idee sieht, muss sich drei Sätze nicht getrennt merken.

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist Analysis III an der FU Berlin?

Analysis III ist das letzte Analysis-Modul im Grundlagenbereich des Bachelorstudiengangs Mathematik. Mit 11 LP ist es etwas größer als Analysis I und II. Laut Ordnung ist es nur im Bachelorstudiengang Mathematik verwendbar.

### Was ist neu in Analysis III?

Neben der Integration im mehrdimensionalen Raum und den Integralsätzen von Gauß und Stokes kommt die Maß- und Integrationstheorie dazu. Das Lebesgue-Integral und die L^p-Räume sind für viele die größte neue Hürde.

### Wann sollte ich Analysis III belegen?

Das Modul wird jedes Wintersemester angeboten. Im exemplarischen Studienverlaufsplan für den Start im Wintersemester liegt es im 3. Fachsemester, nach Analysis I und Analysis II.

### Kommen Differentialgleichungen in Analysis III vor?

Möglicherweise. Die Ordnung nennt gewöhnliche Differentialgleichungen als ein Thema, das zur Vertiefung behandelt werden kann. Ob das in deinem Semester so ist, entscheidet die Vorlesung.

### Wie bereite ich mich auf Analysis III vor?

Wiederhole partielle Ableitungen, Gradient und Hesse-Matrix aus Analysis II und übe Mehrfachintegrale mit Koordinatenwechsel. Die Lektionen aus Calculus 3 auf PracticeCalculus decken diese Rechentechniken ab.