# LMU Topologie und Differentialrechnung mehrerer Variablen (P5)

> Lernhilfe zu Topologie und Differentialrechnung mehrerer Variablen (P5) an der LMU München: metrische Räume, Extrema, implizite Funktionen, Fourierreihen.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/kurse/lmu-muenchen-topologie-und-differentialrechnung
Aktualisiert: 2026-11-03

## Auf einen Blick

- **Module:** P5 (Vorlesung) und P6 (Übung) Topologie und Differentialrechnung mehrerer Variablen
- **ECTS:** 6 ECTS für die Vorlesung (4 SWS)
- **Semester:** Sommersemester, empfohlen im 2. Semester
- **Voraussetzungen:** Empfohlen: Analysis einer Variablen, Lineare Algebra I
- **Prüfung:** Klausur (benotet)
- **Inhalt:** Topologie metrischer Räume, Differentialrechnung mehrerer Variablen, lokale Extrema, implizite Funktionen, Fourierreihen einer Variablen
- **Vorher:** [Analysis einer Variablen (P1)](/courses/lmu-muenchen-analysis-einer-variablen)
- **Hier üben:** [Calculus 3](/learn/calculus-3)

## Das Wichtigste

- Topologie und Differentialrechnung mehrerer Variablen (P5) setzt an der LMU München im Sommersemester die Analysis einer Variablen fort, mit 6 ECTS für die Vorlesung.
- Themen sind die Topologie metrischer Räume, die Differentialrechnung mehrerer Variablen und Fourierreihen einer Variablen.
- Wichtige Ergebnisse sind laut Modulhandbuch die Sätze über lokale Extrema und über implizite Funktionen.
- Die Integralrechnung mehrerer Variablen folgt im dritten Semester im Modul P9 Maßtheorie und Integration mehrerer Variablen.

**Topologie und Differentialrechnung mehrerer Variablen (P5)** ist an der LMU München das zweite Analysis-Modul im Bachelor Mathematik. Die Vorlesung läuft im Sommersemester mit vier Semesterwochenstunden und 6 ECTS, begleitet vom Übungsmodul P6. Diese Lernhilfe ordnet die Rechenthemen von P5 den passenden Übungen auf PracticeCalculus zu, damit du partielle Ableitungen, Extrema und Linearisierungen sicher beherrschst, bevor es an die Beweise geht.

## Was P5 abdeckt

Laut Modulhandbuch (Stand 22.4.2022) setzt P5 die Einführung in die Analysis aus dem ersten Semester fort. Die Themen der Analysis einer Variablen werden vertieft und verallgemeinert durch:

- die Topologie metrischer Räume
- die Differentialrechnung mehrerer Variablen
- die Sätze über lokale Extrema und über implizite Funktionen
- Fourierreihen einer Variablen

Lernziele sind das Verständnis topologischer Begriffe sowie die Beherrschung der Beweismethoden und Rechentechniken der Differentialrechnung in mehreren reellen Variablen und ihrer Anwendungen.

Im amerikanischen System entspricht der Rechenteil dem Differentialteil von **Calculus 3**: partielle Ableitungen, Gradient, Tangentialebenen, Extrema und Lagrange-Multiplikatoren. Mehrfachintegrale und Vektoranalysis kommen an der LMU erst im Modul P9.

## Themenübersicht P5

| Thema in P5 | Üben | Nachlesen |
| --- | --- | --- |
| Metrische Räume und Abstände | [Punkte und Abstände im Raum](/learn/calculus-3/vectors-and-space/points-and-distance) | [Vektoren, Skalar- und Kreuzprodukt](/blog/vectors-dot-and-cross-product) |
| Stetigkeit in mehreren Variablen | [Funktionen mehrerer Variablen](/learn/calculus-3/partial-derivatives/functions-of-several-variables) | [Stetigkeit](/blog/continuity) |
| Partielle Ableitungen | [Partielle Ableitungen](/learn/calculus-3/partial-derivatives/partial-derivatives) | [Partielle Ableitungen](/blog/partial-derivatives) |
| Ableitungsregeln | [Partielle Ableitungen mit Ketten- und Produktregel](/learn/calculus-3/partial-derivatives/partials-with-rules) | [Kettenregel](/rules/chain-rule), [Produktregel](/rules/product-rule) |
| Totale Ableitung und Kettenregel | [Mehrdimensionale Kettenregel](/learn/calculus-3/partial-derivatives/multivariable-chain-rule) | [Kettenregel](/rules/chain-rule) |
| Linearisierung | [Tangentialebenen](/learn/calculus-3/partial-derivatives/tangent-planes) | [Lineare Approximation](/blog/linear-approximation) |
| Gradient und Richtungsableitung | [Gradient und Richtungsableitung](/learn/calculus-3/partial-derivatives/gradient-and-directional-derivatives) | [Gradient erklärt](/blog/gradient-and-directional-derivatives) |
| Höhere Ableitungen | [Zweite partielle Ableitungen](/learn/calculus-3/partial-derivatives/second-partial-derivatives) | [Satz von Schwarz](/theorems/clairauts-theorem), [Satz von Taylor](/theorems/taylors-theorem) |
| Lokale Extrema | [Kritische Punkte und Hesse-Test](/learn/calculus-3/partial-derivatives/critical-points-and-second-derivative-test) | [Satz von Fermat](/theorems/fermats-theorem) |
| Implizite Funktionen | [Implizites Differenzieren](/learn/calculus-1/derivative-rules/implicit-differentiation) | [Implizites Differenzieren](/rules/implicit-differentiation) |
| Extrema mit Nebenbedingungen | [Lagrange-Multiplikatoren](/learn/calculus-3/partial-derivatives/lagrange-multipliers) | [Lagrange-Multiplikatoren](/blog/lagrange-multipliers) |
| Fourierreihen einer Variablen | [Trigonometrische Integrale](/learn/calculus-2/integration-techniques/trig-integrals) | [Sinusfunktion](/functions/sine-function), [Kosinusfunktion](/functions/cosine-function) |

Für Fourierreihen selbst gibt es bei PracticeCalculus noch keine eigene Lektion. Die Integrale von Produkten aus Sinus und Kosinus, die man für Fourierkoeffizienten braucht, übst du aber in der Lektion zu trigonometrischen Integralen.

## Der Analysis-Zyklus an der LMU

| Modul | Semester | ECTS | Schwerpunkt |
| --- | --- | --- | --- |
| [P1 Analysis einer Variablen](/courses/lmu-muenchen-analysis-einer-variablen) | 1 (Winter) | 6 (+ 6 Übung P2) | Eine Variable |
| P5 Topologie und Differentialrechnung mehrerer Variablen | 2 (Sommer) | 6 (+ Übung P6) | Metrische Räume, Ableitungen in mehreren Variablen |
| P9 Maßtheorie und Integration mehrerer Variablen | 3 (Winter) | 9 | Lebesgue-Integral, Transformationsformel, Integralsätze |

Laut Modulhandbuch werden in P9 unter anderem die Transformationsformel für Diffeomorphismen und die Integralsätze der klassischen Vektoranalysis behandelt.

## Beispielaufgaben auf dem Niveau von P5

**1. Totale Differenzierbarkeit und Tangentialebene.** Für $f(x,y) = x^2 y$ im Punkt $(1, 2)$ ist $f(1,2) = 2$, $f_x = 2xy = 4$ und $f_y = x^2 = 1$, also

$$z = 2 + 4(x - 1) + (y - 2)$$

**2. Lokales Extremum.** Für $f(x,y) = x^3 - 3x + y^2$ ist $\nabla f = (3x^2 - 3, 2y)$, also kritische Punkte bei $(\pm 1, 0)$. Mit der Hesse-Matrix $\operatorname{diag}(6x, 2)$ ist $(1, 0)$ ein lokales Minimum und $(-1, 0)$ ein Sattelpunkt.

**3. Fourierkoeffizient.** Für $f(x) = x$ auf $[-\pi, \pi]$ ist

$$b_1 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x \sin x\,dx = \frac{1}{\pi} \cdot 2\pi = 2$$

## So läuft P5 gut

- **Topologie mit Bildern verstehen.** Zeichne offene Kugeln, Ränder und kompakte Mengen in der Ebene, bevor du mit allgemeinen metrischen Räumen arbeitest.
- **Lineare Algebra wach halten.** Die totale Ableitung ist eine lineare Abbildung, Extremwerte entscheidet die Definitheit der Hesse-Matrix.
- **Rechnen automatisieren.** Kurze tägliche Einheiten auf [PracticeCalculus](/practice) machen partielle Ableitungen und Gradienten zur Routine.
- **Formeln sammeln.** Unser [Formelblatt](/formulas) ist ein guter Grundstock für die eigene Übersicht.

> **Tipp:** Der Satz über implizite Funktionen verallgemeinert das [implizite Differenzieren](/blog/implicit-differentiation) aus der Schule. Wer die Rechnung sicher kann, versteht schneller, was der Satz garantiert.

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist Topologie und Differentialrechnung mehrerer Variablen?

P5 ist das zweite Analysis-Modul im Bachelor Mathematik der LMU München. Es setzt die Analysis des ersten Semesters mit der Differentialrechnung in mehreren Variablen und Grundlagen der Topologie metrischer Räume fort und behandelt außerdem Fourierreihen einer Variablen.

### Ist P5 das Gleiche wie Analysis 2?

An vielen Universitäten heißt der entsprechende Kurs Analysis 2. An der LMU ist der Stoff auf zwei Module verteilt: P5 behandelt Topologie und Differentialrechnung mehrerer Variablen, die Integration mehrerer Variablen folgt in P9.

### Welche Voraussetzungen hat P5?

Empfohlen sind Analysis einer Variablen und Lineare Algebra I. Die lineare Algebra ist wichtig, weil die Ableitung in mehreren Variablen eine lineare Abbildung ist.

### Ist P5 schwer?

Viele empfinden die Topologie metrischer Räume zunächst als abstrakt. Hilfreich ist, jeden Begriff wie offen, abgeschlossen oder kompakt zuerst im Zweidimensionalen mit einer Skizze zu verstehen.

### Wie wird P5 geprüft?

Das Vorlesungsmodul P5 wird laut Modulhandbuch mit einer benoteten Klausur abgeschlossen. Dazu gehört das Übungsmodul P6.