# TUM Analysis 2 (MA0002): Themen, Lernhilfe und Übungen

> Lernhilfe zu Analysis 2 (MA0002) an der TU München: Analysis im R^n, Gradient, Taylor, Extrema mit Lagrange und Differentialgleichungen, mit Übungen.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/kurse/tum-ma0002
Aktualisiert: 2026-11-08

## Auf einen Blick

- **Modulnummer:** MA0002
- **Credits:** 9 Credits
- **Format:** 5 SWS Vorlesung und 4 SWS Übung
- **Semester:** 2. Fachsemester
- **Prüfung:** Klausur, 120 Minuten
- **Sprache:** Deutsch
- **Studiengang:** B.Sc. Mathematik, Pflichtmodul der Grundlagen- und Orientierungsprüfung
- **Inhalt:** Differentiation von Vektorfeldern mit Taylorentwicklung, Topologie des R^n, Kurven, Gradient, Divergenz und Rotation, Banachscher Fixpunktsatz, implizite Funktionen, Untermannigfaltigkeiten, Extrema mit Lagrange-Multiplikatoren, gewöhnliche Differentialgleichungen
- **Vorheriger Kurs:** [Analysis 1 (MA0001)](/courses/tum-ma0001)
- **Hier üben:** [Calculus 3](/learn/calculus-3)

## Das Wichtigste

- Analysis 2 (MA0002) ist das zweite Analysis-Modul im Bachelor Mathematik der TU München und liegt im zweiten Fachsemester.
- Laut Fachprüfungs- und Studienordnung umfasst es 9 Credits mit 5 SWS Vorlesung und 4 SWS Übung und endet mit einer 120-minütigen Klausur.
- Inhaltlich geht es um Analysis im R^n: Differentiation, Topologie, Vektoranalysis, implizite Funktionen, Extrema unter Nebenbedingungen und gewöhnliche Differentialgleichungen.
- Wie Analysis 1 gehört Analysis 2 zur Grundlagen- und Orientierungsprüfung des Studiengangs.

**Analysis 2 (MA0002)** ist an der Technischen Universität München das zweite Analysis-Modul im Bachelor Mathematik. Es liegt im zweiten Fachsemester, umfasst 9 Credits und führt von Funktionen einer Variablen zur Analysis im $\mathbb{R}^n$. Diese Lernhilfe zeigt, welche Themen das Modul laut Modulbeschreibung abdeckt und wo du die passenden Rechentechniken auf PracticeCalculus üben kannst.

## Was Analysis 2 an der TUM abdeckt

Die Modulbeschreibung in TUMonline nennt als Inhalt die Analysis im $\mathbb{R}^n$. Dazu gehören die Differentiation von Vektorfeldern einschließlich Taylorentwicklung, grundlegende Begriffe der Topologie, Kurven und Grundbegriffe der Vektoranalysis wie Gradient, Divergenz und Rotation. Weiter stehen der Banachsche Fixpunktsatz, implizite Funktionen und Untermannigfaltigkeiten des $\mathbb{R}^n$, Extremwertprobleme mit der Lagrangeschen Multiplikatorregel sowie gewöhnliche Differentialgleichungen auf dem Plan. Als Literatur werden Königsbergers *Analysis 2* und Rudins *Principles of Mathematical Analysis* genannt.

Geprüft wird laut Beschreibung mit Rechen- und Beweisaufgaben sowie Verständnisfragen. Es reicht also nicht, Gradienten ausrechnen zu können. Du musst auch erklären können, warum etwa eine Funktion mit stetigen partiellen Ableitungen total differenzierbar ist. PracticeCalculus deckt die Rechenseite ab, damit du die Begriffe auf sicherem Fundament lernen kannst.

## Themenübersicht Analysis 2

| Thema im Modul | Üben | Nachlesen |
| --- | --- | --- |
| Funktionen mehrerer Variablen | [Funktionen mehrerer Variablen](/learn/calculus-3/partial-derivatives/functions-of-several-variables) | [Partielle Ableitungen](/blog/partial-derivatives) |
| Partielle Ableitungen | [Partielle Ableitungen](/learn/calculus-3/partial-derivatives/partial-derivatives) | [Satz von Schwarz](/theorems/clairauts-theorem) |
| Differentiation, Kettenregel | [Mehrdimensionale Kettenregel](/learn/calculus-3/partial-derivatives/multivariable-chain-rule) | [Kettenregel](/rules/chain-rule) |
| Gradient und Richtungsableitung | [Gradient und Richtungsableitung](/learn/calculus-3/partial-derivatives/gradient-and-directional-derivatives) | [Gradient](/blog/gradient-and-directional-derivatives) |
| Taylorentwicklung, Tangentialebene | [Tangentialebenen](/learn/calculus-3/partial-derivatives/tangent-planes) | [Linearisierung](/blog/linear-approximation) |
| Lokale Extrema | [Kritische Punkte und Hesse-Test](/learn/calculus-3/partial-derivatives/critical-points-and-second-derivative-test) | [Optimierung](/blog/optimization-problems) |
| Extrema mit Nebenbedingungen | [Lagrange-Multiplikatoren](/learn/calculus-3/partial-derivatives/lagrange-multipliers) | [Lagrange-Multiplikatoren](/blog/lagrange-multipliers) |
| Kurven | [Kurven und Bewegung](/learn/calculus-3/vectors-and-space/curves-and-motion) | [Parametrisierte Kurven](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/parametric-curves) |
| Divergenz und Rotation | [Rotation und Divergenz](/learn/calculus-3/vector-calculus/curl-and-divergence) | [Vektorfelder](/learn/calculus-3/vector-calculus/vector-fields) |
| Gewöhnliche Differentialgleichungen | [Separierbare Differentialgleichungen](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/separable-equations) | [Übungsaufgaben Differentialgleichungen](/practice-problems/differential-equations) |

Für Topologie des $\mathbb{R}^n$, den Banachschen Fixpunktsatz, den Satz über implizite Funktionen und Untermannigfaltigkeiten gibt es bei PracticeCalculus noch keine eigenen Lektionen. Bei den Differentialgleichungen decken unsere Lektionen nur separierbare Gleichungen und einfache Wachstumsmodelle ab, keine Existenz- und Eindeutigkeitssätze.

## Eckdaten aus der Studienordnung

| Angabe | Wert |
| --- | --- |
| Modulnummer | MA0002 |
| Fachsemester | 2 |
| Lehrform | 5 SWS Vorlesung, 4 SWS Übung |
| Credits | 9 |
| Prüfung | Klausur, 120 Minuten |
| Sprache | Deutsch |

Analysis 2 baut auf [Analysis 1 (MA0001)](/courses/tum-ma0001) auf. Im dritten Semester folgt Analysis 3 (MA0003) mit 9 Credits und einer 90-minütigen Klausur. Das öffentliche Analysis-2-Skript der TUM-Mathematik von 2025 sagt ausdrücklich, dass das Integrieren im Mehrdimensionalen erst in Analysis 3 gelernt wird. Dasselbe Skript endet mit einem Kapitel zum Kurvenintegral, das du mit unserer Lektion zu [Kurvenintegralen von Vektorfeldern](/learn/calculus-3/vector-calculus/line-integrals-of-vector-fields) vorbereiten kannst.

## Beispielaufgaben auf Analysis-2-Niveau

**1. Gradient und Richtungsableitung.** Für $f(x,y) = x^2 y + e^{y}$ im Punkt $(1, 0)$ gilt

$$\nabla f(x,y) = \left(2xy,\; x^2 + e^{y}\right), \qquad \nabla f(1,0) = (0, 2)$$

In Richtung $v = \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)$ ist die Richtungsableitung $\partial_v f(1,0) = 2 \cdot \frac{4}{5} = \frac{8}{5}$.

**2. Extremum unter Nebenbedingung.** Maximiere $f(x,y) = xy$ unter $x + y = 4$. Aus $\nabla f = \lambda \nabla g$ folgt

$$y = \lambda, \quad x = \lambda \quad \Longrightarrow \quad x = y = 2, \quad f(2,2) = 4$$

**3. Divergenz und Rotation.** Für $F(x,y,z) = (yz,\; xz,\; xy)$ ist

$$\operatorname{div} F = 0, \qquad \operatorname{rot} F = (x - x,\; y - y,\; z - z) = (0, 0, 0),$$

also ist $F$ ein Gradientenfeld, nämlich $F = \nabla (xyz)$.

## So kommst du gut durch Analysis 2

- **Bilder im Kopf haben.** Die Modulbeschreibung verlangt eine anschauliche Vorstellung. Skizziere Niveaulinien und Gradienten, bevor du rechnest.
- **Rechentechnik automatisieren.** Kurze Einheiten zu [partiellen Ableitungen](/practice-problems/partial-derivatives) und [Lagrange-Multiplikatoren](/practice-problems/lagrange-multipliers) machen die Standardaufgaben schnell.
- **Beweise nicht aufschieben.** Die großen Sätze wie implizite Funktionen sollte man nicht erst kurz vor der Klausur verstehen wollen.
- **Formeln sammeln.** Unser [Formelblatt](/formulas) ist ein guter Grundstock für die eigene Übersicht.
- **Prüfung planen.** Die Anleitung zur [Prüfungsvorbereitung](/blog/how-to-prepare-for-a-calculus-exam) hilft, die letzten Wochen sinnvoll aufzuteilen.

> **Tipp:** Der Hesse-Test für lokale Extrema ist im Kern die Taylorentwicklung zweiter Ordnung. Wer das einmal verstanden hat, muss sich die Fallunterscheidungen kaum noch merken.

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist Analysis 2 (MA0002) an der TUM?

MA0002 ist das Pflichtmodul Analysis 2 im Bachelor Mathematik der Technischen Universität München. Es überträgt die Differentialrechnung auf Funktionen mehrerer Veränderlicher und behandelt außerdem gewöhnliche Differentialgleichungen.

### Wie wird Analysis 2 an der TUM geprüft?

Die Fachprüfungs- und Studienordnung von 2023 sieht eine Klausur von 120 Minuten vor. Laut Modulbeschreibung wird mit Rechen- und Beweisaufgaben sowie Verständnisfragen geprüft, ob du eine anschauliche Vorstellung und ein theoretisches Verständnis der mehrdimensionalen Analysis hast.

### Kommen mehrdimensionale Integrale in Analysis 2 vor?

Die Inhaltsliste von MA0002 nennt keine Mehrfachintegrale. Integration in mehreren Variablen folgt im Bachelor Mathematik der TUM erst in Analysis 3 (MA0003) im dritten Semester.

### Ist Analysis 2 schwerer als Analysis 1?

Viele empfinden Analysis 2 als abstrakter, weil Topologie, der Satz über implizite Funktionen und Untermannigfaltigkeiten hinzukommen. Wer Ableitungen und Taylorentwicklung aus Analysis 1 sicher beherrscht, hat einen deutlich leichteren Einstieg.

### Wie bereite ich mich auf Analysis 2 vor?

Wiederhole Ableitungsregeln, Taylorpolynome und Vektorrechnung. Für die Rechenseite helfen die Einheiten zu partiellen Ableitungen, Gradient und Lagrange-Multiplikatoren auf PracticeCalculus.