# Uni Bonn Analysis II (V1G2): Themen, Lernhilfe und Übungen

> Lernhilfe zu Analysis II (V1G2) an der Uni Bonn: mehrere Variablen, Gradient, implizite Funktionen und Differentialgleichungen, mit Übungen zu jedem Thema.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/kurse/uni-bonn-v1g2
Aktualisiert: 2026-11-08

## Auf einen Blick

- **Modulcode:** V1G2
- **Leistungspunkte:** 9 LP, Workload 270 Stunden
- **Format:** Vorlesung mit Übungen, 4+2 SWS
- **Semester:** Jedes Sommersemester, Dauer ein Semester
- **Vorkenntnisse:** Inhalte der Module Analysis I und Lineare Algebra I
- **Prüfung:** Benotete Klausur; Zulassung nach erfolgreicher Teilnahme an den Übungen
- **Verwendbarkeit:** Pflichtmodul im 2. Semester B.Sc. Mathematik, Wahlpflicht im 4. Semester Bachelor Lehramt Mathematik
- **Inhalt:** Funktionen mehrerer Variablen, partielle Ableitungen, Gradient, parameterabhängige Integrale, implizite Funktionen, normierte Räume, Banachscher Fixpunktsatz, gewöhnliche Differentialgleichungen, Divergenz, Rotation, Laplaceoperator
- **Vorheriger Kurs:** [Analysis I (V1G1)](/courses/uni-bonn-v1g1)
- **Hier üben:** [Calculus 3](/learn/calculus-3) und [Differentialgleichungen in Calculus 2](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/separable-equations)

## Das Wichtigste

- Analysis II (V1G2) ist an der Universität Bonn das Pflichtmodul im zweiten Semester des B.Sc. Mathematik und wird jedes Sommersemester angeboten.
- Es bringt 9 LP bei 270 Stunden Workload, mit 4 SWS Vorlesung und 2 SWS Übungen.
- Schwerpunkte sind die Differentialrechnung mehrerer Variablen, der Satz über implizite Funktionen, der Banachsche Fixpunktsatz und gewöhnliche Differentialgleichungen mit dem Satz von Picard-Lindelöf.
- Vorausgesetzt werden die Inhalte von Analysis I und Lineare Algebra I; geprüft wird mit einer benoteten Klausur.

**Analysis II (V1G2)** ist an der Universität Bonn die zweite Analysis-Vorlesung im Bachelor Mathematik. Sie läuft jedes Sommersemester, bringt 9 Leistungspunkte und ist Pflicht im zweiten Semester. Im Bachelor Lehramt Mathematik kann sie im vierten Semester als Wahlpflichtmodul belegt werden. Nach der Analysis einer Variablen in Analysis I geht es jetzt um Funktionen mehrerer Variablen, um normierte Räume und um gewöhnliche Differentialgleichungen. Diese Lernhilfe ordnet die Themen aus dem Modulhandbuch den passenden Übungen auf PracticeCalculus zu.

## Was Analysis II in Bonn abdeckt

Laut Modulhandbuch umfasst V1G2:

- Funktionen mehrerer reeller Variablen, ihre Stetigkeit und Differenzierbarkeit
- partielle Ableitungen und Gradient
- parameterabhängige Integrale
- den Satz über implizite Funktionen
- Normen, Abbildungen zwischen normierten Räumen und den Zusammenhang mit der Konvergenz von Funktionen
- Vollständigkeit und den Banachschen Fixpunktsatz
- gewöhnliche Differentialgleichungen, den Satz von Picard-Lindelöf und die Lösung linearer Gleichungen erster und zweiter Ordnung
- Vektorkalkül mit Divergenz, Rotation und Laplaceoperator

Optional nennt das Handbuch Wegintegrale, holomorphe Funktionen, den Cauchyschen Integralsatz und Untermannigfaltigkeiten als Anwendung des Satzes über implizite Funktionen. Als Lernziel steht neben dem Verständnis der mehrdimensionalen Analysis ausdrücklich die Fähigkeit, Anwendungsprobleme mathematisch zu formulieren.

Im amerikanischen System entspricht der Rechenteil von V1G2 vor allem **Calculus 3** (partielle Ableitungen, Gradient, Extremwerte) sowie den Differentialgleichungen aus **Calculus 2**. Normierte Räume, Fixpunktsatz und Existenzsätze gehen weit darüber hinaus und gehören zur beweisorientierten Analysis.

## Themenübersicht Analysis II

| Thema in V1G2 | Üben | Nachlesen |
| --- | --- | --- |
| Funktionen mehrerer Variablen | [Funktionen mehrerer Variablen](/learn/calculus-3/partial-derivatives/functions-of-several-variables) | [Partielle Ableitungen](/blog/partial-derivatives) |
| Partielle Ableitungen | [Partielle Ableitungen](/learn/calculus-3/partial-derivatives/partial-derivatives) | [Satz von Schwarz](/theorems/clairauts-theorem) |
| Höhere Ableitungen | [Zweite partielle Ableitungen](/learn/calculus-3/partial-derivatives/second-partial-derivatives) | [Übungsaufgaben](/practice-problems/partial-derivatives) |
| Kettenregel in mehreren Variablen | [Mehrdimensionale Kettenregel](/learn/calculus-3/partial-derivatives/multivariable-chain-rule) | [Kettenregel](/rules/chain-rule) |
| Gradient | [Gradient und Richtungsableitung](/learn/calculus-3/partial-derivatives/gradient-and-directional-derivatives) | [Gradient](/blog/gradient-and-directional-derivatives) |
| Differenzierbarkeit und Tangentialebene | [Tangentialebenen](/learn/calculus-3/partial-derivatives/tangent-planes) | [Lineare Näherung](/blog/linear-approximation) |
| Lokale Extrema | [Kritische Punkte und Hesse-Test](/learn/calculus-3/partial-derivatives/critical-points-and-second-derivative-test) | [Lagrange-Multiplikatoren](/blog/lagrange-multipliers) |
| Implizite Funktionen | [Implizites Ableiten](/learn/calculus-1/derivative-rules/implicit-differentiation) | [Implizites Ableiten](/rules/implicit-differentiation) |
| Gewöhnliche Differentialgleichungen | [Separierbare Differentialgleichungen](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/separable-equations) | [Übungsaufgaben](/practice-problems/differential-equations) |
| Divergenz und Rotation | [Rotation und Divergenz](/learn/calculus-3/vector-calculus/curl-and-divergence) | [Satz von Gauß](/theorems/divergence-theorem) |
| Wegintegrale (optional) | [Kurvenintegrale von Vektorfeldern](/learn/calculus-3/vector-calculus/line-integrals-of-vector-fields) | [Satz von Green](/theorems/greens-theorem) |

Für normierte Räume, Vollständigkeit, den Banachschen Fixpunktsatz, den Satz von Picard-Lindelöf, parameterabhängige Integrale, lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung und holomorphe Funktionen gibt es bei PracticeCalculus noch keine eigenen Lektionen. Die Lektion zum impliziten Ableiten behandelt nur den Rechenweg in einer Variablen, nicht den allgemeinen Satz über implizite Funktionen.

## Die Analysis-Module in Bonn

| Modul | Code | Semester | LP | SWS |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| [Analysis I](/courses/uni-bonn-v1g1) | V1G1 | Winter | 9 | 4+4 |
| Analysis II | V1G2 | Sommer | 9 | 4+2 |
| [Analysis III](/courses/uni-bonn-v2b1) | V2B1 | Winter | 9 | 4+2 |

## Beispielaufgaben auf dem Niveau von V1G2

**1. Gradient und Richtungsableitung.** Für $f(x,y) = x^2 y + e^{y}$ gilt

$$\nabla f(x,y) = \left(2xy,\; x^2 + e^{y}\right), \qquad \nabla f(1,0) = (0,\, 2)$$

In Richtung $v = \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)$ ist die Richtungsableitung also $0 \cdot \frac{3}{5} + 2 \cdot \frac{4}{5} = \frac{8}{5}$.

**2. Lokale Extrema.** Für $f(x,y) = x^2 + 3y^2 - 2x$ ist $\nabla f = (2x - 2,\, 6y)$, also ist $(1,0)$ der einzige kritische Punkt. Die Hessematrix

$$H_f = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}$$

ist positiv definit, daher liegt bei $(1,0)$ ein lokales Minimum mit $f(1,0) = -1$.

**3. Lineare Differentialgleichung.** Die Gleichung $y' = 2y$ mit $y(0) = 3$ hat die eindeutige Lösung

$$y(t) = 3 e^{2t}$$

## So läuft Analysis II in Bonn gut

- **Lineare Algebra wiederholen.** Ableitungen in mehreren Variablen sind lineare Abbildungen. Wer Matrizen, Determinanten und Definitheit sicher beherrscht, versteht die Hessematrix und den Satz über implizite Funktionen viel leichter.
- **Rechnen trainieren.** Partielle Ableitungen und Gradienten müssen in der Klausur schnell sitzen. Kurze Einheiten in [Calculus 3](/learn/calculus-3) helfen dabei.
- **Bilder im Kopf haben.** Höhenlinien, Tangentialebenen und Vektorfelder machen viele Sätze anschaulich. Skizziere bei jeder Aufgabe, was passiert.
- **Übungen regelmäßig abgeben.** Die erfolgreiche Teilnahme an den Übungen ist Zulassungsvoraussetzung zur Klausur.
- **Typische Fehler kennen.** Die Liste der [häufigsten Fehler](/blog/common-calculus-mistakes) zeigt, wo Punkte verloren gehen.

> **Tipp:** Der Banachsche Fixpunktsatz ist das Werkzeug hinter dem Satz von Picard-Lindelöf und oft auch hinter dem Beweis des Umkehrsatzes. Wer ihn einmal richtig verstanden hat, erkennt das Muster in mehreren großen Beweisen von Analysis II wieder.

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist V1G2 an der Uni Bonn?

V1G2 ist der Modulcode von Analysis II im Bachelorstudiengang Mathematik der Universität Bonn. Das Modul setzt Analysis I fort und führt in die Analysis mehrerer reeller Variablen und in gewöhnliche Differentialgleichungen ein.

### Welche Vorkenntnisse brauche ich für Analysis II?

Formale Teilnahmevoraussetzungen gibt es laut Modulhandbuch nicht. Vorausgesetzt werden aber die Inhalte von Analysis I und Lineare Algebra I, denn Ableitungen in mehreren Variablen sind lineare Abbildungen und werden mit Matrizen beschrieben.

### Wie wird Analysis II in Bonn geprüft?

Mit einer benoteten Klausur. Zugelassen wird, wer erfolgreich an den Übungen teilgenommen hat. Die genauen Bedingungen gibt die jeweilige Vorlesung zu Semesterbeginn bekannt.

### Kommen Kurvenintegrale in Analysis II vor?

Das Modulhandbuch führt Wegintegrale, holomorphe Funktionen, den Cauchyschen Integralsatz und Untermannigfaltigkeiten nur als optionale Themen. Ob sie behandelt werden, hängt von der jeweiligen Vorlesung ab.

### Was kommt nach Analysis II?

Im Wahlpflichtbereich B folgt Analysis III (V2B1) mit dem Lebesgue-Integral, dem Satz von Fubini, der Transformationsformel sowie den Sätzen von Gauß und Stokes.