# Uni Bonn Analysis III (V2B1): Themen, Lernhilfe und Übungen

> Lernhilfe zu Analysis III (V2B1) an der Uni Bonn: Lebesgue-Integral, Fubini, Transformationsformel, Gauß und Stokes, mit Übungen zum Rechenteil.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/kurse/uni-bonn-v2b1
Aktualisiert: 2026-11-08

## Auf einen Blick

- **Modulcode:** V2B1
- **Leistungspunkte:** 9 LP, Workload 270 Stunden
- **Format:** Vorlesung mit Übungen, 4+2 SWS
- **Semester:** Jedes Wintersemester, Dauer ein Semester
- **Vorkenntnisse:** Inhalte der Module Analysis I, Analysis II und Lineare Algebra I
- **Prüfung:** Benotete Klausur; Zulassung nach erfolgreicher Teilnahme an den Übungen
- **Verwendbarkeit:** Wahlpflicht im Bereich B (Analysis und Differentialgleichungen), empfohlen im 3. Semester B.Sc. Mathematik; auch Lehramt Bachelor und Master
- **Inhalt:** Lebesgue-Integral, monotone Konvergenz, Majorantenkriterium, Satz von Fubini, Transformationsformel, Faltung, Lp-Räume, Untermannigfaltigkeiten, Integration auf Untermannigfaltigkeiten, Gaußscher Satz, Stokesscher Satz
- **Vorheriger Kurs:** [Analysis II (V1G2)](/courses/uni-bonn-v1g2)
- **Hier üben:** [Iterierte Integrale](/learn/calculus-3/multiple-integrals/iterated-integrals) und [Stokes und Gauß](/learn/calculus-3/vector-calculus/stokes-and-divergence-theorems)

## Das Wichtigste

- Analysis III (V2B1) ist an der Universität Bonn ein Wahlpflichtmodul im Bereich B (Analysis und Differentialgleichungen) des B.Sc. Mathematik, empfohlen für das dritte Semester.
- Es bringt 9 LP bei 270 Stunden Workload, mit 4 SWS Vorlesung und 2 SWS Übungen, und wird jedes Wintersemester angeboten.
- Im Zentrum stehen das Lebesgue-Integral, der Satz von Fubini, die Transformationsformel sowie die Integralsätze von Gauß und Stokes.
- Vorausgesetzt werden die Inhalte von Analysis I, Analysis II und Lineare Algebra I; geprüft wird mit einer benoteten Klausur.

**Analysis III (V2B1)** ist an der Universität Bonn die Einführungsvorlesung zur Integrationstheorie im Bereich B (Analysis und Differentialgleichungen). Sie läuft jedes Wintersemester, bringt 9 Leistungspunkte und ist für das dritte Semester des B.Sc. Mathematik vorgesehen. Auch im Bachelor und Master Lehramt Mathematik kann sie als Wahlpflichtmodul belegt werden. Der theoretische Kern ist die Maß- und Integrationstheorie nach Lebesgue. Die Rechentechniken dahinter, also Mehrfachintegrale, Koordinatenwechsel und Integralsätze, kannst du auf PracticeCalculus gezielt üben.

## Was Analysis III in Bonn abdeckt

Laut Modulhandbuch geht es um Integrationstheorie und Anwendungen:

- das Lebesgue-Integral, insbesondere für das $n$-dimensionale Lebesgue-Maß, aber auch für Zählmaß und Dirac-Maß
- den Satz über monotone Konvergenz und das Majorantenkriterium
- den Satz von Fubini für das Lebesgue-Maß
- die Transformationsformel
- Faltung, Dirac-Folgen und $L^p$-Räume
- Untermannigfaltigkeiten des $\mathbb{R}^n$ und Integration auf Untermannigfaltigkeiten
- den Gaußschen Satz im euklidischen Raum und den Stokesschen Satz im $\mathbb{R}^3$

Optional nennt das Handbuch Fourier-Transformation in $L^1$ und $L^2$, den Lebesgueschen Differentiationssatz, das Hausdorff-Maß und Differentialformen. Als Lernziel steht neben dem Verständnis des Lebesgue-Integrals ausdrücklich die Fähigkeit, mit speziellen Volumen- und Flächenintegralen umzugehen und deren Bedeutung in Anwendungen zu kennen.

Im amerikanischen System überschneidet sich V2B1 mit dem Integrationsteil von **Calculus 3**: Mehrfachintegrale, Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten, Oberflächenintegrale sowie die Sätze von Gauß und Stokes. Die Maßtheorie selbst geht weit über Calculus hinaus.

## Themenübersicht Analysis III

| Thema in V2B1 | Üben | Nachlesen |
| --- | --- | --- |
| Satz von Fubini | [Iterierte Integrale](/learn/calculus-3/multiple-integrals/iterated-integrals) | [Doppelintegrale](/blog/double-integrals) |
| Reihenfolge der Integration | [Integrationsreihenfolge vertauschen](/learn/calculus-3/multiple-integrals/switching-the-order) | [Übungsaufgaben](/practice-problems/double-integrals) |
| Integrale über allgemeine Bereiche | [Doppelintegrale über allgemeinen Bereichen](/learn/calculus-3/multiple-integrals/general-regions) | [Doppelintegrale](/blog/double-integrals) |
| Transformationsformel | [Variablenwechsel](/learn/calculus-3/multiple-integrals/change-of-variables) | [Substitutionsregel](/rules/u-substitution-rule) |
| Polarkoordinaten | [Doppelintegrale in Polarkoordinaten](/learn/calculus-3/multiple-integrals/polar-double-integrals) | [Polarkoordinaten](/practice-problems/parametric-and-polar) |
| Volumenintegrale im $\mathbb{R}^3$ | [Dreifachintegrale](/learn/calculus-3/multiple-integrals/triple-integrals) | [Zylinder- und Kugelkoordinaten](/learn/calculus-3/multiple-integrals/cylindrical-spherical) |
| Integration auf Flächen | [Oberflächenintegrale und Fluss](/learn/calculus-3/vector-calculus/surface-integrals-and-flux) | [Satz von Stokes](/theorems/stokes-theorem) |
| Gaußscher Satz | [Stokes und Gauß](/learn/calculus-3/vector-calculus/stokes-and-divergence-theorems) | [Satz von Gauß](/theorems/divergence-theorem) |
| Stokesscher Satz im $\mathbb{R}^3$ | [Stokes und Gauß](/learn/calculus-3/vector-calculus/stokes-and-divergence-theorems) | [Satz von Stokes](/theorems/stokes-theorem), [Satz von Green](/theorems/greens-theorem) |
| Uneigentliche Integrale als Vorstufe | [Unendliche Integrationsgrenzen](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/infinite-limits-of-integration) | [Uneigentliche Integrale](/blog/improper-integrals) |

Für die Konstruktion des Lebesgue-Maßes, die Konvergenzsätze, Faltung, Dirac-Folgen, $L^p$-Räume, Untermannigfaltigkeiten und die optionalen Themen gibt es bei PracticeCalculus keine Lektionen. Diese Teile sind reine Theorie und werden mit Skript und Übungsblättern erarbeitet. Unsere Lektionen decken den Rechenteil ab, der in Übungen und Klausur trotzdem viele Punkte bringt.

## Die Analysis-Module in Bonn

| Modul | Code | Semester | LP | Status im B.Sc. |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| [Analysis I](/courses/uni-bonn-v1g1) | V1G1 | Winter | 9 | Pflicht |
| [Analysis II](/courses/uni-bonn-v1g2) | V1G2 | Sommer | 9 | Pflicht |
| Analysis III | V2B1 | Winter | 9 | Wahlpflicht, Bereich B |

## Beispielaufgaben auf dem Niveau von V2B1

**1. Transformationsformel in Polarkoordinaten.** Mit $x = r\cos\varphi$, $y = r\sin\varphi$ und Funktionaldeterminante $r$ gilt

$$\int_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2+y^2)} \, d(x,y) = \int_0^{2\pi} \int_0^{\infty} e^{-r^2} \, r \, dr \, d\varphi = 2\pi \cdot \frac{1}{2} = \pi$$

Mit Fubini folgt daraus $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}$.

**2. Volumen der Einheitskugel.** In Kugelkoordinaten ist die Funktionaldeterminante $r^2 \sin\theta$, also

$$\operatorname{vol}(B_1) = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^{1} r^2 \sin\theta \, dr \, d\theta \, d\varphi = 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4\pi}{3}$$

**3. Gaußscher Satz.** Für $F(x,y,z) = (x, y, z)$ ist $\operatorname{div} F = 3$. Der Fluss durch die Oberfläche der Einheitskugel ist daher

$$\int_{\partial B_1} F \cdot \nu \, dS = \int_{B_1} 3 \, dV = 4\pi$$

## So läuft Analysis III in Bonn gut

- **Rechentechnik vorher sichern.** Wer Mehrfachintegrale und Koordinatenwechsel noch nicht sicher rechnet, sollte das vor Semesterbeginn mit Lektionen wie [Variablenwechsel](/learn/calculus-3/multiple-integrals/change-of-variables) nachholen.
- **Konvergenzsätze sauber anwenden.** Prüfe vor jedem Vertauschen von Grenzwert und Integral, welche Voraussetzung du nutzt: monotone Konvergenz oder eine integrierbare Majorante.
- **Beispiele sammeln.** Zählmaß und Dirac-Maß zeigen, wie allgemein der Integralbegriff ist. Rechne mit ihnen kleine Beispiele durch.
- **Übungen regelmäßig abgeben.** Ohne erfolgreiche Teilnahme an den Übungen gibt es keine Klausurzulassung.
- **Prüfung planen.** Unsere Anleitung zur [Prüfungsvorbereitung](/blog/how-to-prepare-for-a-calculus-exam) hilft, die letzten Wochen gut einzuteilen.

> **Tipp:** Der Satz von Gauß ist der rote Faden vieler Anwendungen in Physik und partiellen Differentialgleichungen. Wenn du das Beispiel mit $\operatorname{div} F$ oben selbst nachrechnest, hast du die Kernidee schon verstanden.

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist V2B1 an der Uni Bonn?

V2B1 ist der Modulcode von Analysis III im Bachelor Mathematik der Universität Bonn. Die 2 steht für eine Einführungsvorlesung, typischerweise im zweiten Studienjahr, das B für den Bereich Analysis und Differentialgleichungen.

### Ist Analysis III in Bonn Pflicht?

Nein. Laut Modulhandbuch ist V2B1 ein Wahlpflichtmodul im Bereich B. Wer im Bachelor einen Schwerpunkt in Analysis, partiellen Differentialgleichungen oder Stochastik setzen möchte, kommt an den Inhalten aber kaum vorbei.

### Wie wird Analysis III geprüft?

Mit einer benoteten Klausur. Voraussetzung für die Zulassung ist die erfolgreiche Teilnahme an den Übungen.

### Was ist der Unterschied zum Doppelintegral aus Calculus 3?

In Calculus 3 rechnet man Mehrfachintegrale mit dem Riemann-Begriff aus. Analysis III baut mit dem Lebesgue-Maß eine allgemeinere Integrationstheorie auf und beweist darin Fubini und die Transformationsformel. Die Rechentechniken bleiben aber dieselben und sind in Übungen und Klausur unverzichtbar.

### Was sind die optionalen Themen von Analysis III?

Das Modulhandbuch nennt die Fourier-Transformation in L1 und L2, den Lebesgueschen Differentiationssatz, das Hausdorff-Maß und Differentialformen. Ob sie behandelt werden, entscheidet die jeweilige Vorlesung.