# Heidelberg Analysis II (MA2): Themen, Lernhilfe und Übungen

> Lernhilfe zu Analysis II (MA2) an der Universität Heidelberg: metrische Räume, Differentialgleichungen, mehrere Variablen und Wegintegrale, mit Übungen.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/kurse/uni-heidelberg-ma2
Aktualisiert: 2026-11-03

## Auf einen Blick

- **Modulcode:** MA2
- **Leistungspunkte:** 8 LP
- **Format:** Vorlesung 4 SWS und Übung 2 SWS
- **Semester:** Jedes Sommersemester, Dauer ein Semester
- **Voraussetzungen:** Empfohlen: Analysis I (MA1) und Lineare Algebra I (MA4)
- **Inhalt:** Metrische und normierte Räume, gewöhnliche Differentialgleichungen, partielle und totale Ableitung, Extremwerte, implizite Funktionen, Extrema mit Nebenbedingungen, Wegintegrale, Rotation und Divergenz
- **Vorher:** [Analysis I (MA1)](/courses/uni-heidelberg-ma1)
- **Hier üben:** [Calculus 3](/learn/calculus-3)

## Das Wichtigste

- Analysis II (MA2) ist an der Universität Heidelberg das zweite Analysis-Modul, mit 8 LP in jedem Sommersemester.
- Es behandelt metrische und normierte Räume, gewöhnliche Differentialgleichungen mit dem Satz von Picard-Lindelöf und die Differentialrechnung in mehreren Dimensionen.
- Dazu kommen der Satz über implizite Funktionen, der Umkehrsatz, Untermannigfaltigkeiten, Extrema mit Nebenbedingungen sowie Wegintegrale, Rotation und Divergenz.
- Empfohlen sind vorher Analysis I (MA1) und Lineare Algebra I (MA4).

**Analysis II (MA2)** ist an der Universität Heidelberg das zweite Analysis-Modul nach MA1. Es läuft jedes Sommersemester mit vier Stunden Vorlesung und zwei Stunden Übung pro Woche und bringt 8 Leistungspunkte. Diese Lernhilfe verbindet die Themen von MA2 mit Übungen auf PracticeCalculus, damit du partielle Ableitungen, Extremwerte und Wegintegrale durch eigenes Rechnen sicher beherrschst.

## Was Analysis II abdeckt

Die Modulbeschreibung nennt als Lerninhalte:

- metrische und normierte Räume
- gewöhnliche Differentialgleichungen und den Satz von Picard-Lindelöf
- Differentialrechnung in höheren Dimensionen: partielle und totale Ableitung, Extremwerte, Taylorreihe
- Satz von der impliziten Funktion, Umkehrsatz, Untermannigfaltigkeiten, Extrema mit Nebenbedingungen
- Wegintegrale, Vektorfelder, Rotation und Divergenz

Wie in MA1 werden alle Resultate mit vollständigen Beweisen vermittelt. Ziel ist Grundwissen über gewöhnliche Differentialgleichungen und die Differential- und Integralrechnung in mehreren Variablen sowie das selbständige Beweisen und Lösen von Aufgaben mit Präsentation in den Übungen.

Im amerikanischen System entspricht der Rechenteil grob dem Differentialteil von **Calculus 3** mit Kurvenintegralen und einem Einstieg in Differentialgleichungen. Mehrfachintegrale über Gebiete und die großen Integralsätze stehen nicht in der Inhaltsliste von MA2.

## Themenübersicht MA2

| Thema in MA2 | Üben | Nachlesen |
| --- | --- | --- |
| Normierte Räume und Abstände | [Punkte und Abstände im Raum](/learn/calculus-3/vectors-and-space/points-and-distance) | [Vektoren, Skalar- und Kreuzprodukt](/blog/vectors-dot-and-cross-product) |
| Gewöhnliche Differentialgleichungen | [Separierbare Differentialgleichungen](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/separable-equations) | [Natürliche Exponentialfunktion](/functions/natural-exponential-function) |
| Funktionen mehrerer Variablen | [Funktionen mehrerer Variablen](/learn/calculus-3/partial-derivatives/functions-of-several-variables) | [Partielle Ableitungen](/blog/partial-derivatives) |
| Partielle Ableitungen | [Partielle Ableitungen](/learn/calculus-3/partial-derivatives/partial-derivatives) | [Satz von Schwarz](/theorems/clairauts-theorem) |
| Totale Ableitung und Kettenregel | [Mehrdimensionale Kettenregel](/learn/calculus-3/partial-derivatives/multivariable-chain-rule) | [Kettenregel](/rules/chain-rule) |
| Linearisierung | [Tangentialebenen](/learn/calculus-3/partial-derivatives/tangent-planes) | [Lineare Approximation](/blog/linear-approximation) |
| Höhere Ableitungen und Taylor | [Zweite partielle Ableitungen](/learn/calculus-3/partial-derivatives/second-partial-derivatives) | [Satz von Taylor](/theorems/taylors-theorem) |
| Extremwerte | [Kritische Punkte und Hesse-Test](/learn/calculus-3/partial-derivatives/critical-points-and-second-derivative-test) | [Gradient erklärt](/blog/gradient-and-directional-derivatives) |
| Implizite Funktionen | [Implizites Differenzieren](/learn/calculus-1/derivative-rules/implicit-differentiation) | [Implizites Differenzieren](/rules/implicit-differentiation) |
| Extrema mit Nebenbedingungen | [Lagrange-Multiplikatoren](/learn/calculus-3/partial-derivatives/lagrange-multipliers) | [Lagrange-Multiplikatoren](/blog/lagrange-multipliers) |
| Vektorfelder | [Vektorfelder](/learn/calculus-3/vector-calculus/vector-fields) | [Satz von Green](/theorems/greens-theorem) |
| Wegintegrale | [Kurvenintegrale von Vektorfeldern](/learn/calculus-3/vector-calculus/line-integrals-of-vector-fields) | [Konservative Felder](/learn/calculus-3/vector-calculus/conservative-fields) |
| Rotation und Divergenz | [Rotation und Divergenz](/learn/calculus-3/vector-calculus/curl-and-divergence) | [Satz von Stokes](/theorems/stokes-theorem) |

## MA1 und MA2 im Vergleich

| Modul | Semester | Dimension | Typische Sätze |
| --- | --- | --- | --- |
| [Analysis I (MA1)](/courses/uni-heidelberg-ma1) | Winter | Eine Variable | Zwischenwertsatz, Mittelwertsatz, Hauptsatz, Taylor |
| Analysis II (MA2) | Sommer | Mehrere Variablen | Picard-Lindelöf, implizite Funktionen, Umkehrsatz |

Für die Informatik gibt es außerdem das Modul [Mathematik für Informatik 2 (IMI2)](/courses/uni-heidelberg-imi2), das die Analysis einer Variablen und Grundlagen der mehrdimensionalen Analysis in einem Semester behandelt. Welche Module für deinen Studiengang gelten, regelt die Prüfungsordnung.

## Beispielaufgaben auf dem Niveau von MA2

**1. Kritischer Punkt.** Für $f(x,y) = x^2 + 3y^2 - 2x$ ist $\nabla f = (2x - 2, 6y) = 0$ bei $(1, 0)$. Die Hesse-Matrix

$$H_f = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}$$

ist positiv definit, also liegt bei $(1, 0)$ ein lokales Minimum mit $f(1,0) = -1$.

**2. Implizite Funktion.** Auf $x^2 + y^2 = 25$ gilt nahe $(3, 4)$

$$y'(x) = -\frac{\partial_x F}{\partial_y F} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{3}{4}$$

**3. Rotation.** Für $F(x,y,z) = (-y, x, 0)$ ist

$$\operatorname{rot} F = \left(0 - 0,\; 0 - 0,\; 1 - (-1)\right) = (0, 0, 2)$$

## So läuft Analysis II gut

- **Lineare Algebra wach halten.** Die totale Ableitung ist eine lineare Abbildung, Extremwerte entscheidet die Hesse-Matrix. Eigenwerte und Definitheit aus MA4 brauchst du ständig.
- **Rechnen automatisieren.** Kurze tägliche Einheiten auf [PracticeCalculus](/practice) machen partielle Ableitungen und Gradienten zur Routine, damit in den Übungen Zeit für die Beweise bleibt.
- **Bilder zu den Sätzen.** Zum Satz über implizite Funktionen gehört das Bild einer Niveaulinie, die lokal ein Funktionsgraph ist. Mit Bild ist der Beweis leichter.
- **Formeln sammeln.** Unser [Formelblatt](/formulas) ist ein guter Grundstock für die eigene Übersicht.

> **Tipp:** Lagrange-Multiplikatoren sind die Rechenseite des Satzes über Extrema mit Nebenbedingungen. Übe zuerst das Rechnen mit der Lektion [Lagrange-Multiplikatoren](/learn/calculus-3/partial-derivatives/lagrange-multipliers), dann fällt der Beweis leichter.

## Häufig gestellte Fragen

### Was behandelt Analysis II (MA2) in Heidelberg?

Laut Modulbeschreibung metrische und normierte Räume, gewöhnliche Differentialgleichungen und den Satz von Picard-Lindelöf, Differentialrechnung in höheren Dimensionen mit partieller und totaler Ableitung, Extremwerte und Taylorreihe, den Satz über implizite Funktionen, den Umkehrsatz, Untermannigfaltigkeiten, Extrema mit Nebenbedingungen sowie Wegintegrale, Vektorfelder, Rotation und Divergenz.

### Welche Voraussetzungen hat Analysis II?

Empfohlen sind Analysis I (MA1) und Lineare Algebra I (MA4). Die lineare Algebra ist wichtig, weil die totale Ableitung eine lineare Abbildung ist.

### Für welche Studiengänge ist MA2 vorgesehen?

Die Modulbeschreibung nennt den B.Sc. Mathematik, den B.Sc. Angewandte Informatik und den B.Sc. Informatik. In der Informatik gelten laut Modulbeschreibung gesonderte Regelungen zum Prüfungsschema.

### Ist Analysis II schwerer als Analysis I?

Viele empfinden den Satz über implizite Funktionen und den Umkehrsatz als die abstraktesten Teile. Wer partielle Ableitungen, Gradienten und Hesse-Matrizen sicher rechnen kann, versteht die Theorie dahinter deutlich leichter.

### Wie kann ich Analysis II wiederholen?

Gehe vom Rechnen zur Theorie: partielle Ableitungen, Gradient, Extremwerte mit Hesse-Matrix, Lagrange-Multiplikatoren und Wegintegrale. Der Kurs Calculus 3 auf PracticeCalculus deckt diese Rechentechniken ab.