# Uni Wien Analysis 3 (AN3): Themen, Lernhilfe und Übungen

> Lernhilfe zu Analysis 3 (AN3) an der Uni Wien: Mannigfaltigkeiten, Differentialformen, Satz von Stokes und Vektoranalysis, mit passenden Übungen.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/kurse/uni-wien-an3
Aktualisiert: 2026-11-08

## Auf einen Blick

- **Modul:** AN3, Foundation-Modul (Wahlmodul) im Bachelor Mathematik, Curriculum Version 2021
- **Umfang:** 10 ECTS
- **Lehrveranstaltungen:** VO Analysis 3 (6 ECTS, 4 SSt), PS Analysis 3 (4 ECTS, 2 SSt)
- **Semester:** 4. oder 5. Semester, aus der Wahlmodulgruppe Foundation
- **Teilnahmevoraussetzung:** StEOP
- **Empfohlen:** EHM, [Analysis 2 (AN2)](/courses/uni-wien-an2), Lineare Algebra 2, Topologie und Funktionalanalysis
- **Leistungsnachweis:** Positiver Abschluss der Lehrveranstaltungen
- **Inhalt:** Teilmannigfaltigkeiten des R^n, Tangentialräume, Partitionen der Eins, Differentialformen und Integration, äußere Ableitung, Satz von Stokes, Vektoranalysis, Lemma von Poincaré, Windungszahl, Brouwerscher Fixpunktsatz
- **Hier üben:** [Calculus 3](/learn/calculus-3)

## Das Wichtigste

- Analysis 3 (AN3) ist an der Universität Wien ein Foundation-Modul mit 10 ECTS, also ein Wahlmodul ab dem vierten Semester.
- Es besteht aus der VO Analysis 3 mit 6 ECTS und dem PS Analysis 3 mit 4 ECTS.
- Im Mittelpunkt stehen Teilmannigfaltigkeiten des R^n, Differentialformen, die äußere Ableitung und der allgemeine Satz von Stokes.
- Die klassische Vektoranalysis mit Gradient, Rotation und Divergenz erscheint als Spezialfall dieser Theorie.

**Analysis 3 (AN3)** ist an der Universität Wien das Analysis-Modul für Fortgeschrittene im Bachelor Mathematik. Es gehört zur Wahlmodulgruppe Foundation und besteht aus der VO Analysis 3 und dem PS Analysis 3, zusammen 10 ECTS. Diese Lernhilfe zeigt, welche Teile des Stoffs du auf PracticeCalculus rechnerisch vorbereiten kannst und welche reine Theorie für VO und PS bleiben.

## Was Analysis 3 abdeckt

Laut Modulziel beherrschen Absolvent*innen geometrische und topologische Aspekte der Analysis und bekommen einen ersten Einblick in die Differentialgeometrie. Das Curriculum nennt dafür:

- Teilmannigfaltigkeiten des $\mathbb{R}^n$, auch mit Rand
- Tangentialräume und Richtungsableitungen
- Partitionen der Eins
- Multilinearformen und Hackprodukt, in Deutschland meist Dachprodukt genannt
- Differentialformen und ihre Integration, äußere Ableitung
- Satz von Stokes und Vektoranalysis
- Lemma von Poincaré
- Windungszahl und Homotopie, Brouwerscher Fixpunktsatz, Satz vom Igel
- weitere vertiefende Inhalte, zum Beispiel Geometrie von Kurven und Flächen

Teilnahmevoraussetzung ist die StEOP. Empfohlen werden EHM, [Analysis 2](/courses/uni-wien-an2), Lineare Algebra 2 sowie Topologie und Funktionalanalysis. Die VO ist nicht prüfungsimmanent und endet mit einer Prüfung, das PS ist prüfungsimmanent.

Im amerikanischen System entspricht nur ein Teil davon dem Ende von **Calculus 3**: Kurven- und Flächenintegrale, Rotation, Divergenz und die Integralsätze. Der Weg dorthin ist in Wien aber ein anderer. Statt Formeln für Fluss und Zirkulation steht die Sprache der Differentialformen im Mittelpunkt, und der allgemeine Satz von Stokes

$$\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega$$

fasst Hauptsatz, Green, Gauß und den klassischen Stokes in einer Formel zusammen.

## Themenübersicht AN3

| Thema im Curriculum | Üben | Nachlesen |
| --- | --- | --- |
| Kurven und Flächen im Raum | [Kurven und Bewegung](/learn/calculus-3/vectors-and-space/curves-and-motion) | [Vektoren, Skalar- und Kreuzprodukt](/blog/vectors-dot-and-cross-product) |
| Tangentialräume und Richtungsableitungen | [Gradient und Richtungsableitung](/learn/calculus-3/partial-derivatives/gradient-and-directional-derivatives) | [Gradient und Richtungsableitung](/blog/gradient-and-directional-derivatives) |
| Tangentialebenen an Flächen | [Tangentialebenen](/learn/calculus-3/partial-derivatives/tangent-planes) | [Ebenen im Raum](/learn/calculus-3/vectors-and-space/planes-in-space) |
| Multilinearformen und Hackprodukt | [Kreuzprodukt](/learn/calculus-3/vectors-and-space/cross-product) | [Vektoren](/blog/vectors-dot-and-cross-product) |
| Integration und Koordinatenwechsel | [Variablentransformation](/learn/calculus-3/multiple-integrals/change-of-variables) | [Doppelintegrale](/blog/double-integrals) |
| 1-Formen und Kurvenintegrale | [Kurvenintegrale über Vektorfelder](/learn/calculus-3/vector-calculus/line-integrals-of-vector-fields) | [Satz von Green](/theorems/greens-theorem) |
| Lemma von Poincaré | [Konservative Felder](/learn/calculus-3/vector-calculus/conservative-fields) | [Satz von Schwarz](/theorems/clairauts-theorem) |
| Äußere Ableitung, Rotation, Divergenz | [Rotation und Divergenz](/learn/calculus-3/vector-calculus/curl-and-divergence) | [Gaußscher Integralsatz](/theorems/divergence-theorem) |
| Flächenintegrale | [Flächenintegrale und Fluss](/learn/calculus-3/vector-calculus/surface-integrals-and-flux) | [Satz von Stokes](/theorems/stokes-theorem) |
| Satz von Stokes und Vektoranalysis | [Stokes und Gauß](/learn/calculus-3/vector-calculus/stokes-and-divergence-theorems) | [Satz von Stokes](/theorems/stokes-theorem), [Satz von Green](/learn/calculus-3/vector-calculus/greens-theorem) |

Ganz offen: Mannigfaltigkeiten mit Rand, Partitionen der Eins, der formale Kalkül der Differentialformen, Windungszahl und Homotopie, der Brouwersche Fixpunktsatz und der Satz vom Igel haben auf PracticeCalculus keine eigenen Lektionen. Diese Themen leben von Beweisen. Was wir anbieten, ist die rechnerische Seite, die jeder dieser Begriffe verallgemeinert: Gradienten, Kurven- und Flächenintegrale und die klassischen Integralsätze.

## Die Analysis-Module an der Uni Wien

| Modul | Code | Umfang | Schwerpunkt |
| --- | --- | --- | --- |
| [Einführung in die Höhere Mathematik](/courses/uni-wien-ehm) | EHM | 12 ECTS, davon VO Analysis 1 mit 4 ECTS | Eine Variable |
| [Analysis 2](/courses/uni-wien-an2) | AN2 | 10 ECTS | Metrische Räume, mehrere Variablen, Differentialgleichungen |
| Analysis 3 | AN3 | 10 ECTS, Wahlmodul | Mannigfaltigkeiten, Differentialformen, Satz von Stokes |

Neben AN3 gibt es in der Wahlmodulgruppe Foundation auch Komplexe und Harmonische Analysis sowie Topologie und Funktionalanalysis. Welche Kombination sinnvoll ist, hängt vom geplanten Schwerpunkt ab. Das Curriculum gibt dafür Empfehlungen.

## Beispielaufgaben auf dem Niveau von AN3

**1. Lemma von Poincaré in der Ebene.** Die 1-Form $\omega = y\,dx + x\,dy$ ist geschlossen, denn

$$d\omega = dy \wedge dx + dx \wedge dy = 0$$

Auf dem ganzen $\mathbb{R}^2$ ist sie daher exakt, und tatsächlich gilt $\omega = d(xy)$.

**2. Satz von Green.** Für den Einheitskreis $\gamma$ gegen den Uhrzeigersinn und $\omega = -y\,dx + x\,dy$ gilt

$$\oint_\gamma \omega = \iint_{x^2 + y^2 \le 1} 2 \, dA = 2\pi$$

**3. Divergenz.** Für $F(x, y, z) = (x, y, z)$ ist $\operatorname{div} F = 3$, also fließt durch die Einheitssphäre der Fluss

$$\iint_{S^2} F \cdot n \, dS = 3 \cdot \frac{4}{3}\pi = 4\pi$$

## So läuft Analysis 3 gut

- **Klassische Sätze zuerst rechnen.** Wer Green, Gauß und Stokes als Rechenwerkzeuge sicher beherrscht, erkennt sie im abstrakten Satz von Stokes sofort wieder. Die Einheit [Vektoranalysis](/learn/calculus-3/vector-calculus/vector-fields) ist dafür eine gute Vorbereitung.
- **Hackprodukt mechanisch üben.** Rechenregeln wie $dx \wedge dx = 0$ und $dx \wedge dy = -dy \wedge dx$ sollten so selbstverständlich werden wie die Ableitungsregeln.
- **Beispiele sammeln.** Die Form $\frac{-y\,dx + x\,dy}{x^2 + y^2}$ auf $\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$ ist geschlossen, aber nicht exakt. Solche Gegenbeispiele machen die Voraussetzungen der Sätze verständlich.
- **Regelmäßig im PS mitarbeiten.** Das PS ist prüfungsimmanent, die Mitarbeit während des Semesters zählt also mit.

> **Tipp:** Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist der Satz von Stokes in Dimension eins: $\int_a^b f'(x)\,dx = f(b) - f(a)$. Mit diesem Bild im Kopf wirkt die allgemeine Version viel weniger fremd.

## Häufig gestellte Fragen

### Ist Analysis 3 an der Uni Wien Pflicht?

Nein. AN3 gehört zur Wahlmodulgruppe Foundation, aus deren sieben Modulen fünf gewählt werden. Der Studienplan sieht dafür das vierte und fünfte Semester vor. In mehreren Empfehlungen des Curriculums, etwa für eine eher analytisch orientierte reine Mathematik, ist Analysis 3 enthalten.

### Was braucht man für Analysis 3?

Teilnahmevoraussetzung ist die StEOP. Empfohlen werden die Module Einführung in die Höhere Mathematik, Analysis 2, Lineare Algebra 2 sowie Topologie und Funktionalanalysis.

### Was lernt man in Analysis 3?

Das Curriculum nennt Teilmannigfaltigkeiten des R^n auch mit Rand, Tangentialräume und Richtungsableitungen, Partitionen der Eins, Multilinearformen, Hackprodukt (Dachprodukt), Differentialformen und ihre Integration, äußere Ableitung, Satz von Stokes, Vektoranalysis, Lemma von Poincaré, Windungszahl und Homotopie, den Brouwerschen Fixpunktsatz und den Satz vom Igel.

### Wie hängt Analysis 3 mit Vektoranalysis zusammen?

Die Integralsätze von Green, Gauß und Stokes aus der Vektoranalysis sind Spezialfälle des allgemeinen Satzes von Stokes für Differentialformen. Wer die klassischen Sätze rechnerisch sicher beherrscht, versteht die abstrakte Version deutlich leichter.

### Wie bereite ich mich auf Analysis 3 vor?

Wiederhole Kurven- und Flächenintegrale, Rotation und Divergenz sowie Mehrfachintegrale mit Koordinatenwechsel. Auf PracticeCalculus deckt die Einheit Vektoranalysis aus Calculus 3 genau diese Rechentechniken ab.