# Ableitung der Umkehrfunktion: Formel und Beispiele > Die Ableitung der Umkehrfunktion: Die Ableitung von f⁻¹ an der Stelle x ist 1/f'(f⁻¹(x)). Formel, Kehrwert der Steigung, Beispiele mit arcsin und ln. Quelle: https://practicecalculus.com/de/regeln/ableitung-der-umkehrfunktion Aktualisiert: 2026-11-03 $$ (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'\big(f^{-1}(x)\big)} $$ ## Auf einen Blick - **Gilt für:** Eine umkehrbare (injektive), differenzierbare Funktion $f$ an Stellen mit $f'(f^{-1}(x)) \ne 0$ - **Punktform:** Ist $f(a) = b$, so gilt $(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}$ - **Leibniz-Schreibweise:** $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}$ - **Geometrische Bedeutung:** Die Spiegelung an $y = x$ vertauscht Höhen- und Breitenunterschied, also werden Steigungen zu Kehrwerten - **Liefert:** Die Ableitungen von $\ln x$, $\sqrt{x}$, $\arcsin x$ und $\arctan x$ ## Das Wichtigste - Die Steigung von $f^{-1}$ in $(b, a)$ ist der Kehrwert der Steigung von $f$ in $(a, b)$. - Du kannst $(f^{-1})'(b)$ ohne eine Formel für $f^{-1}$ bestimmen: Löse $f(a) = b$ und berechne dann $\frac{1}{f'(a)}$. - Die Regel versagt, wo $f'(a) = 0$ gilt, weil die Umkehrfunktion dort eine senkrechte Tangente hat. Die Regel für die **Ableitung der Umkehrfunktion** liefert die Ableitung einer Umkehrfunktion aus der Ableitung der ursprünglichen Funktion. Hat $f$ im Punkt $(a, b)$ die Steigung $m$, dann hat $f^{-1}$ im gespiegelten Punkt $(b, a)$ die Steigung $\frac{1}{m}$. Eine Formel für die Umkehrfunktion brauchst du dafür nicht. ## Die Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion Sei $f$ umkehrbar und differenzierbar mit Umkehrfunktion $f^{-1}$. Ist $f'(f^{-1}(x)) \ne 0$, dann ist $f^{-1}$ an der Stelle $x$ differenzierbar und $$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'\big(f^{-1}(x)\big)}$$ Meist ist die **Punktform** praktischer. Ist $f(a) = b$ und $f'(a) \ne 0$: $$(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}$$ In Leibniz-Schreibweise, mit $y = f(x)$ und $x = f^{-1}(y)$, lautet sie $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}$. ```graph title: 'Graphen von y = x² und y = √x, gespiegelt an y = x' caption: 'In $(2, 4)$ hat die Parabel die Steigung $4$. Im gespiegelten Punkt $(4, 2)$ hat die Wurzelfunktion die Steigung $\frac{1}{4}$.' x: [0, 6] y: [0, 6] functions: - expr: x^2 label: y = x² domain: [0, 2.45] - expr: sqrt(x) label: y = √x - expr: x label: y = x dashed: true points: - [2, 4, 'Steigung 4'] - [4, 2, 'Steigung 1/4'] ``` ## Warum die Regel gilt Gehe von der Identität $f(f^{-1}(x)) = x$ aus und leite beide Seiten mit der [Kettenregel](/rules/chain-rule) ab: $$f'\big(f^{-1}(x)\big) \cdot (f^{-1})'(x) = 1$$ Teile durch $f'(f^{-1}(x))$, und du hast die Regel. Geometrisch vertauscht die Spiegelung eines Graphen an $y = x$ die Rollen von $x$ und $y$, also Höhen- und Breitenunterschied, und so wird jede Steigung zu ihrem Kehrwert. ## Rechenbeispiele **Beispiel 1: ohne Formel für die Umkehrfunktion.** Sei $f(x) = x^3 + x + 1$. Diese Funktion ist streng monoton steigend und damit umkehrbar. Bestimme $(f^{-1})'(3)$. **Schritt 1.** Löse $f(a) = 3$: Aus $a^3 + a + 1 = 3$ folgt $a = 1$. **Schritt 2.** Leite ab: $f'(x) = 3x^2 + 1$, also $f'(1) = 4$. **Schritt 3.** Bilde den Kehrwert: $(f^{-1})'(3) = \frac{1}{4}$. **Beispiel 2: die Ableitung von $\ln x$.** Hier ist $f(x) = e^x$, $f'(x) = e^x$ und $f^{-1}(x) = \ln x$: $$\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{e^{\ln x}} = \frac{1}{x}$$ **Beispiel 3: die Ableitung von $\arcsin x$.** Hier ist $f(x) = \sin x$ auf $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, also $f'(x) = \cos x$: $$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\cos(\arcsin x)} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad -1 < x < 1$$ Im letzten Schritt wird $\cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta}$ verwendet, was auf diesem Intervall positiv ist. Siehe [Arkussinus](/functions/arcsine). **Beispiel 4: die Ableitung von $\arctan x$.** Mit $f(x) = \tan x$ und $f'(x) = \sec^2 x = 1 + \tan^2 x$: $$\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1 + \tan^2(\arctan x)} = \frac{1}{1 + x^2}$$ ## Ableitungen, die die Regel liefert | Funktion $f$ | Umkehrfunktion $f^{-1}$ | Ableitung der Umkehrfunktion | | --- | --- | --- | | $x^2$ für $x \ge 0$ | $\sqrt{x}$ | $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ | | $e^x$ | $\ln x$ | $\frac{1}{x}$ | | $\sin x$ | $\arcsin x$ | $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ | | $\cos x$ | $\arccos x$ | $-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ | | $\tan x$ | $\arctan x$ | $\frac{1}{1 + x^2}$ | ## Häufige Fehler 1. **$f'$ an der falschen Stelle auswerten.** $(f^{-1})'(b)$ verwendet $f'(a)$ mit $f(a) = b$, nicht $f'(b)$. In Beispiel 1 würde $f'(3) = 28$ das falsche Ergebnis $\frac{1}{28}$ liefern. 2. **$f^{-1}$ mit $\frac{1}{f}$ verwechseln.** $f^{-1}$ ist die Umkehrfunktion, nicht der Kehrwert. $\sin^{-1}x$ bedeutet $\arcsin x$, nicht $\csc x$. 3. **Stellen mit $f' = 0$ übersehen.** Ist $f'(a) = 0$, hat die Umkehrfunktion in $b$ eine senkrechte Tangente und ist dort nicht differenzierbar. Bei $f(x) = x^3$ ist die Umkehrfunktion $\sqrt[3]{x}$ an der Stelle $0$ nicht differenzierbar. Dasselbe Ergebnis erhältst du auch durch [implizites Differenzieren](/rules/implicit-differentiation): Schreibe $x = f(y)$ und leite beide Seiten ab. Mehr zu $\ln x$ und $e^x$ findest du im Leitfaden zu [Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen](/blog/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions). ## Häufig gestellte Fragen ### Wie lautet die Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion? $(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$. Gleichwertig: Ist $f(a) = b$, so gilt $(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}$. ### Wie bestimmt man die Ableitung der Umkehrfunktion an einer Stelle? Bestimme die Stelle $a$ mit $f(a) = b$, berechne $f'(a)$ und bilde den Kehrwert. Die Umkehrfunktion $f^{-1}$ selbst brauchst du nicht. ### Warum ist die Ableitung der Umkehrfunktion ein Kehrwert? Der Graph von $f^{-1}$ ist der an $y = x$ gespiegelte Graph von $f$. Die Spiegelung vertauscht Höhen- und Breitenunterschied, also wird aus einer Steigung $m$ die Steigung $\frac{1}{m}$. ### Ist die Ableitung von f hoch minus eins dasselbe wie 1 durch f Strich? Nicht an derselben Stelle. $(f^{-1})'(x)$ ist $\frac{1}{f'}$, ausgewertet an der Stelle $f^{-1}(x)$, nicht an der Stelle $x$. Die falsche Stelle zu verwenden ist der häufigste Fehler.