# Eigenschaften bestimmter Integrale: Regeln, Symmetrie, Beispiele

> Die Eigenschaften bestimmter Integrale: Grenzen vertauschen, Intervalladditivität, Symmetrie gerader und ungerader Funktionen und Abschätzungen, mit Beispielen.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/regeln/eigenschaften-bestimmter-integrale
Aktualisiert: 2026-11-03

$$ \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx $$

## Auf einen Blick

- **Gleiche Grenzen:** $\int_a^a f(x)\,dx = 0$
- **Vertauschte Grenzen:** $\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$
- **Konstante:** $\int_a^b k\,dx = k(b - a)$
- **Ungerade Funktion:** $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0$
- **Gerade Funktion:** $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx$
- **Monotonie:** Gilt $f(x) \le g(x)$ auf $[a, b]$, so ist $\int_a^b f\,dx \le \int_a^b g\,dx$

## Das Wichtigste

- Vertauscht man die Integrationsgrenzen, ändert das Integral sein Vorzeichen.
- Du kannst ein Integral an jeder Stelle $b$ aufteilen: $\int_a^c = \int_a^b + \int_b^c$.
- Über einem symmetrischen Intervall ergibt das Integral einer ungeraden Funktion $0$ und das einer geraden Funktion das Doppelte der rechten Hälfte.
- Gilt $m \le f(x) \le M$ auf $[a, b]$, so liegt das Integral zwischen $m(b-a)$ und $M(b-a)$.

Die **Eigenschaften bestimmter Integrale** sind die Regeln, mit denen du $\int_a^b f(x)\,dx$ umformen kannst, ohne es jedes Mal neu zu berechnen: Grenzen vertauschen, Intervalle aufteilen, Symmetrie nutzen und die Größe abschätzen. Sie folgen alle aus der Deutung des Integrals als orientierte Fläche oder aus dem [Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung](/blog/fundamental-theorem-of-calculus).

## Die Eigenschaften

Wir setzen voraus, dass $f$ und $g$ auf den betrachteten Intervallen integrierbar sind.

| Eigenschaft | Aussage |
| --- | --- |
| Gleiche Grenzen | $\int_a^a f(x)\,dx = 0$ |
| Vertauschte Grenzen | $\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$ |
| Konstante | $\int_a^b k\,dx = k(b-a)$ |
| Linearität | $\int_a^b [\alpha f + \beta g]\,dx = \alpha\int_a^b f\,dx + \beta\int_a^b g\,dx$ |
| Intervalladditivität | $\int_a^b f\,dx + \int_b^c f\,dx = \int_a^c f\,dx$ |
| Monotonie | $f \le g$ auf $[a,b]$ $\Rightarrow$ $\int_a^b f\,dx \le \int_a^b g\,dx$ |
| Abschätzung | $m \le f \le M$ auf $[a,b]$ $\Rightarrow$ $m(b-a) \le \int_a^b f\,dx \le M(b-a)$ |
| Ungerade Symmetrie | $f(-x) = -f(x)$ $\Rightarrow$ $\int_{-a}^{a} f\,dx = 0$ |
| Gerade Symmetrie | $f(-x) = f(x)$ $\Rightarrow$ $\int_{-a}^{a} f\,dx = 2\int_0^a f\,dx$ |

Monotonie und Abschätzung setzen $a < b$ voraus. Die Intervalladditivität gilt dank der Regel für vertauschte Grenzen für **jede** Reihenfolge von $a$, $b$ und $c$, solange $f$ auf den Intervallen integrierbar ist.

## Warum sie gelten

Ist $F$ eine Stammfunktion von $f$, so gilt $\int_a^b f\,dx = F(b) - F(a)$. Jede Eigenschaft ist von dort aus eine Zeile Algebra:

- gleiche Grenzen: $F(a) - F(a) = 0$;
- vertauschte Grenzen: $F(a) - F(b) = -\left(F(b) - F(a)\right)$;
- Intervalladditivität: $\left(F(b) - F(a)\right) + \left(F(c) - F(b)\right) = F(c) - F(a)$.

Die Linearität hat eine eigene Seite: [Linearität des Integrals](/rules/integral-linearity-rules).

## Symmetrie: gerade und ungerade Funktionen

```graph
title: 'Orientierte Fläche der ungeraden Funktion y = x³ − 2x auf [−1,5; 1,5]'
caption: 'Die Fläche links ist das Spiegelbild der Fläche rechts mit umgekehrtem Vorzeichen, also gilt $\int_{-1.5}^{1.5} (x^3 - 2x)\,dx = 0$.'
x: [-2, 2]
y: [-2, 2]
functions:
  - expr: x^3 - 2x
    label: y = x³ − 2x
shade: {expr: x^3 - 2x, from: -1.5, to: 1.5}
```

Eine ungerade Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, also hat jedes Stück positiver Fläche ein passendes Stück negativer Fläche. Eine gerade Funktion ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse, also sind beide Hälften gleich und du kannst eine davon verdoppeln. Wer zuerst die Symmetrie prüft, macht aus einer langen Rechnung oft eine einzige Zeile.

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: ungerade Symmetrie.** $x^5 - 4x^3 + \sin x$ ist ungerade, also gilt

$$\int_{-3}^{3} \left(x^5 - 4x^3 + \sin x\right)dx = 0$$

**Beispiel 2: gerade Symmetrie.** $x^2$ ist gerade, also gilt

$$\int_{-1}^{1} x^2\,dx = 2\int_0^1 x^2\,dx = 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

**Beispiel 3: Intervalladditivität und vertauschte Grenzen.** Gegeben sind $\int_0^5 f(x)\,dx = 10$ und $\int_0^2 f(x)\,dx = 3$:

$$\int_2^5 f(x)\,dx = 10 - 3 = 7, \qquad \int_5^2 f(x)\,dx = -7$$

**Beispiel 4: ein Betrag.** Teile dort, wo der Ausdruck im Betrag sein Vorzeichen wechselt. Auf $[-1, 0]$ ist $\lvert x\rvert = -x$, auf $[0, 2]$ ist $\lvert x\rvert = x$:

$$\int_{-1}^{2} \lvert x\rvert\,dx = \int_{-1}^{0} (-x)\,dx + \int_0^2 x\,dx = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$$

**Beispiel 5: Abschätzen mit Schranken.** Auf $[0, 1]$ gilt $e^{-1} \le e^{-x^2} \le 1$, also

$$0.37 \approx e^{-1} \le \int_0^1 e^{-x^2}\,dx \le 1$$

Dieses Integral hat keine elementare Stammfunktion, und trotzdem grenzen die Schranken es ein. Sein tatsächlicher Wert ist etwa $0.747$.

## Häufige Fehler

1. **Symmetrie auf einem nicht symmetrischen Intervall nutzen.** $\int_{-1}^{2} x^3\,dx$ ist nicht $0$. Das Intervall muss die Form $[-a, a]$ haben.
2. **Eine Funktion ungeprüft für ungerade halten.** $x^3 + 1$ ist weder gerade noch ungerade, also ist $\int_{-1}^{1} (x^3 + 1)\,dx = 2$ und nicht $0$.
3. **Den Vorzeichenwechsel vergessen**, wenn man die Grenzen vertauscht.
4. **Orientierte Fläche mit Gesamtfläche verwechseln.** $\int_{-1}^{1} x\,dx = 0$, aber die gesamte schraffierte Fläche ist $1$. Für Flächen integrierst du $\lvert f(x)\rvert$, wie bei der [Fläche zwischen Kurven](/blog/area-between-curves).

Wie diese Eigenschaften mit Riemann-Summen und dem Berechnen von Integralen zusammenhängen, zeigen die Leitfäden zu [Riemann-Summen](/blog/riemann-sums) und zum [Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung](/blog/fundamental-theorem-of-calculus).

## Häufig gestellte Fragen

### Was passiert, wenn man die Grenzen eines bestimmten Integrals vertauscht?

Das Integral ändert sein Vorzeichen: $\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$. Das folgt direkt daraus, dass man $F(a) - F(b)$ statt $F(b) - F(a)$ berechnet.

### Was ergibt das Integral einer ungeraden Funktion von -a bis a?

Es ergibt $0$, weil sich die orientierte Fläche links und die orientierte Fläche rechts genau aufheben. Zum Beispiel ist $\int_{-2}^{2} x^3\,dx = 0$.

### Kann man ein bestimmtes Integral in zwei Integrale aufteilen?

Ja. Für jedes $b$ gilt $\int_a^c f\,dx = \int_a^b f\,dx + \int_b^c f\,dx$. So integriert man abschnittsweise definierte Funktionen und Beträge.

### Ist das Integral von a bis a immer null?

Ja. Ein Intervall der Breite null hat keine Fläche, also gilt $\int_a^a f(x)\,dx = 0$ für jede Funktion $f$, die in $a$ definiert ist.