# Faktorregel beim Ableiten: Formel und Beispiele > Die Faktorregel: Die Ableitung von c·f(x) ist c·f'(x). Die Formel, Rechenbeispiele, ein kurzer Beweis und typische Fehler, die Schüler damit machen. Quelle: https://practicecalculus.com/de/regeln/faktorregel Aktualisiert: 2026-11-03 $$ \frac{d}{dx}\,[c\,f(x)] = c\,f'(x) $$ ## Auf einen Blick - **Anwendbar auf:** Eine Konstante $c$ mal eine beliebige differenzierbare Funktion $f$ - **In Worten:** Konstante behalten, Funktion ableiten - **Auch bei Division:** Teilen durch eine Konstante $k$ heißt Multiplizieren mit $\frac{1}{k}$ - **Gegenstück beim Integrieren:** $\int c\,f(x)\,dx = c \int f(x)\,dx$ - **Verwandte Regeln:** Potenzregel, Summenregel, Produktregel ## Das Wichtigste - Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten einfach erhalten: $(cf)' = cf'$. - Auch das Teilen durch eine Konstante zählt: $\frac{d}{dx}\frac{x^4}{8} = \frac{4x^3}{8} = \frac{x^3}{2}$. - Ist ein Faktor konstant, brauchst du keine Produktregel. Die **Faktorregel** besagt, dass ein konstanter Faktor beim Ableiten vor die Ableitung gezogen werden kann. Um $c\,f(x)$ abzuleiten, behältst du das $c$ und leitest $f$ ab. Zusammen mit der [Potenzregel](/rules/power-rule) und der [Summenregel](/rules/sum-and-difference-rule) kannst du damit jedes Polynom auf einen Blick ableiten. ## Die Formel der Faktorregel Ist $c$ eine Konstante und $f$ differenzierbar, dann gilt $$\frac{d}{dx}\,[c\,f(x)] = c\,f'(x)$$ Geometrisch streckt die Multiplikation mit $c$ den Graphen vertikal um den Faktor $c$. Dabei wird auch jede Steigung mit $c$ multipliziert. ```graph title: 'Graphen von y = x² und y = 3x² mit Tangenten bei x = 1' caption: 'Bei $x = 1$ hat $x^2$ die Steigung $2$. Verdreifacht man die Funktion, verdreifacht sich die Steigung auf $6$.' x: [-2, 2.5] y: [-2, 8] functions: - expr: x^2 label: y = x² - expr: 3x^2 label: y = 3x² - expr: 2x - 1 label: Steigung 2 bei x = 1 dashed: true - expr: 6x - 3 label: Steigung 6 bei x = 1 dashed: true points: - [1, 1, ''] - [1, 3, ''] ``` ## Beispiele | Funktion | Ableitung | | --- | --- | | $5x^3$ | $5 \cdot 3x^2 = 15x^2$ | | $-4\sin x$ | $-4\cos x$ | | $2e^x$ | $2e^x$ | | $\frac{x^2}{7}$ | $\frac{2x}{7}$ | | $\pi x$ | $\pi$ | | $\frac{3}{x^2} = 3x^{-2}$ | $-6x^{-3} = -\frac{6}{x^3}$ | **Beispiel: eine Konstante im Nenner.** Die Funktion $\frac{1}{3x}$ hat eine Variable im Nenner, also schreibst du sie zuerst als $\frac{1}{3}x^{-1}$ um: $$\frac{d}{dx}\,\frac{1}{3}x^{-1} = \frac{1}{3}\cdot(-1)x^{-2} = -\frac{1}{3x^2}$$ **Beispiel: kombiniert mit der Summenregel.** Jeder Summand behält seinen Koeffizienten: $$\frac{d}{dx}\left(6x^4 - \frac{1}{2}x^2 + 3\cos x\right) = 24x^3 - x - 3\sin x$$ ## So erkennst du einen konstanten Faktor Ein konstanter Faktor ist jeder Faktor, der sich nicht ändert, wenn sich $x$ ändert. Achte auf folgende Stellen: - **Eine Zahl vor einem Term**, etwa die $5$ in $5x^3$ oder die $-4$ in $-4\sin x$. - **Eine Zahl im Nenner**, etwa die $7$ in $\frac{x^2}{7}$. Durch $7$ teilen ist dasselbe wie mit $\frac{1}{7}$ multiplizieren. - **Eine benannte Konstante**, etwa $\pi$, $e^2$ oder $\ln 3$. Sie sehen aus wie Funktionen oder Potenzen, enthalten aber kein $x$ und sind deshalb einfach Zahlen. - **Ein Buchstabe für einen festen Wert**, etwa $a$, $k$ oder $m$ in einer physikalischen Formel. In $\frac{d}{dx}\,k x^2 = 2kx$ wird das $k$ genau wie eine Zahl behandelt. Enthält der Faktor irgendwo ein $x$, ist er keine Konstante, und du brauchst stattdessen die [Produktregel](/rules/product-rule) oder die [Quotientenregel](/rules/quotient-rule). ## Warum die Faktorregel gilt Aus der [Definition der Ableitung über den Grenzwert](/blog/limit-definition-of-the-derivative) lässt sich die Konstante zuerst aus dem Differenzenquotienten und dann aus dem Grenzwert herausziehen: $$\lim_{h \to 0} \frac{c\,f(x+h) - c\,f(x)}{h} = c \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = c\,f'(x)$$ Der zweite Schritt nutzt die Faktorregel für Grenzwerte aus den [Grenzwertsätzen](/rules/limit-laws). ## Linearität Faktorregel und Summenregel zusammen besagen, dass das Ableiten **linear** ist: $$\frac{d}{dx}\,[a\,f(x) + b\,g(x)] = a\,f'(x) + b\,g'(x)$$ für beliebige Konstanten $a$ und $b$. Das Integrieren hat dieselbe Eigenschaft, deshalb ist $\int 5x^2\,dx = 5\int x^2\,dx$. ## Häufige Fehler 1. **Die Produktregel verwenden, obwohl sie nicht nötig ist.** Für $7x^3$ liefert die Produktregel $0 \cdot x^3 + 7 \cdot 3x^2$, was richtig, aber umständlich ist. Schreib einfach $21x^2$. 2. **Verwechslung mit der Konstantenregel.** $\frac{d}{dx}\,8x = 8$, nicht $0$. Nur eine alleinstehende Konstante wird zu $0$. 3. **Eine Konstante aus dem Argument einer Funktion ziehen.** $\sin(3x)$ ist nicht $3\sin x$. Eine Konstante im Inneren der Funktion braucht die [Kettenregel](/rules/chain-rule): $\frac{d}{dx}\sin(3x) = 3\cos(3x)$. 4. **Eine Variable wie eine Konstante behandeln.** In $x\,e^x$ ist das $x$ keine Konstante, also brauchst du die [Produktregel](/rules/product-rule). Mehr Übung zum Kombinieren dieser Regeln findest du im vollständigen Leitfaden zur [Potenzregel](/blog/power-rule). ## Häufig gestellte Fragen ### Was ist die Faktorregel? Sie besagt $\frac{d}{dx}[c\,f(x)] = c\,f'(x)$. Eine Konstante, die mit einer Funktion multipliziert wird, bleibt vorne stehen, und du leitest nur die Funktion ab. ### Was ist der Unterschied zwischen Konstantenregel und Faktorregel? Die Konstantenregel sagt, dass eine alleinstehende Konstante die Ableitung $0$ hat. Die Faktorregel sagt, dass eine Konstante als Faktor einer Funktion erhalten bleibt. Also ist $\frac{d}{dx}\,5 = 0$, aber $\frac{d}{dx}\,5x = 5$. ### Kann man stattdessen die Produktregel verwenden? Ja, sie liefert dasselbe Ergebnis, weil die Ableitung der Konstanten $0$ ist, aber es ist unnötige Arbeit. Die Faktorregel ist die Abkürzung. ### Gilt die Faktorregel auch mit einer Konstanten im Nenner? Ja. $\frac{f(x)}{k}$ ist $\frac{1}{k}f(x)$, also ist die Ableitung $\frac{f'(x)}{k}$. Steht eine Variable im Nenner, ist das etwas anderes, dann brauchst du die Potenzregel oder die Quotientenregel.