# Geometrische Reihe: Summenformel a/(1 − r), Konvergenz, Beispiele

> Die Formel der geometrischen Reihe: a + ar + ar² + ... = a/(1 − r) für |r| < 1. Partialsummen, die Konvergenzbedingung und Rechenbeispiele.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/regeln/geometrische-reihe
Aktualisiert: 2026-11-03

$$ \sum_{n=0}^{\infty} a\,r^n = \frac{a}{1 - r}, \quad \lvert r\rvert < 1 $$

## Auf einen Blick

- **Anfangsglied:** $a$, das Glied, das sich für den Exponenten $0$ ergibt
- **Quotient:** $r$, der Faktor, der jedes Glied in das nächste überführt
- **Konvergiert für:** $\lvert r\rvert < 1$
- **Divergiert für:** $\lvert r\rvert \ge 1$ (und $a \ne 0$)
- **Partialsumme:** $S_N = a\,\dfrac{1 - r^N}{1 - r}$ für die ersten $N$ Glieder, $r \ne 1$

## Das Wichtigste

- Eine unendliche geometrische Reihe konvergiert genau dann gegen $\frac{a}{1-r}$, wenn $\lvert r\rvert < 1$ gilt.
- $a$ ist das erste Glied der Reihe, so wie sie dasteht, nicht unbedingt der Koeffizient vor $r^n$.
- Die endliche Summe der ersten $N$ Glieder ist $a\frac{1 - r^N}{1 - r}$.

Bei einer **geometrischen Reihe** entsteht jedes Glied aus dem vorherigen durch Multiplikation mit derselben Zahl $r$. Sie gehört zu den wenigen unendlichen Reihen, deren exakten Wert man angeben kann, und ist deshalb der Maßstab, an dem jedes [Konvergenzkriterium](/blog/convergence-tests) gemessen wird.

## Die Formel der geometrischen Reihe

Mit dem Anfangsglied $a$ und dem Quotienten $r$ gilt:

$$a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} a\,r^n = \frac{a}{1-r}, \qquad \lvert r\rvert < 1$$

Für $\lvert r\rvert \ge 1$ und $a \ne 0$ **divergiert** die Reihe.

Die Summe der ersten $N$ Glieder ist für jedes $r \ne 1$ endlich:

$$S_N = a + ar + \cdots + ar^{N-1} = a\,\frac{1 - r^N}{1 - r}$$

## Warum die Formel stimmt

Multipliziere $S_N$ mit $r$ und ziehe das Ergebnis ab. Fast alle Glieder heben sich weg:

$$S_N - rS_N = a - ar^N \quad\Longrightarrow\quad S_N = a\,\frac{1 - r^N}{1 - r}$$

Für $\lvert r\rvert < 1$ gilt $r^N \to 0$ für $N \to \infty$, also $S_N \to \frac{a}{1-r}$. Für $\lvert r\rvert \ge 1$ geht $r^N$ nicht gegen null, und die Partialsummen haben keinen endlichen Grenzwert.

```graph
title: 'Partialsummen von 1 + 1/2 + 1/4 + ... nähern sich 2'
caption: 'Jede Partialsumme $S_N = 2 - 2^{1-N}$ halbiert den verbleibenden Abstand zum Grenzwert $\frac{1}{1 - 1/2} = 2$.'
x: [0, 7]
y: [0, 2.5]
functions:
  - expr: '2'
    label: y = 2 (der Reihenwert)
    dashed: true
points:
  - [1, 1, 'S1 = 1']
  - [2, 1.5, 'S2 = 1.5']
  - [3, 1.75, 'S3 = 1.75']
  - [4, 1.875]
  - [5, 1.9375]
  - [6, 1.96875]
```

## So wendest du sie an

1. **Bestimme $a$**: das erste Glied der Reihe, so wie sie dasteht. Setze den Startindex ein.
2. **Bestimme $r$**: Teile ein beliebiges Glied durch das vorhergehende.
3. **Prüfe $\lvert r\rvert < 1$**. Wenn nicht, bist du fertig: Die Reihe divergiert.
4. **Berechne $\frac{a}{1-r}$.**

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: ein Klassiker.** $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots$ hat $a = 1$, $r = \frac{1}{2}$:

$$\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2$$

**Beispiel 2: Der Index beginnt nicht bei 0.** In $\sum_{n=1}^{\infty} 3\left(\frac{2}{3}\right)^n$ ist das erste Glied $3\cdot\frac{2}{3} = 2$, nicht $3$:

$$\sum_{n=1}^{\infty} 3\left(\frac{2}{3}\right)^n = \frac{2}{1 - \frac{2}{3}} = 6$$

**Beispiel 3: ein negativer Quotient.** $\sum_{n=0}^{\infty} \left(-\frac{1}{3}\right)^n$ hat $a = 1$, $r = -\frac{1}{3}$:

$$\frac{1}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)} = \frac{3}{4}$$

**Beispiel 4: ein periodischer Dezimalbruch.** $0.272727\ldots = \frac{27}{100} + \frac{27}{10000} + \cdots$ hat $a = \frac{27}{100}$ und $r = \frac{1}{100}$:

$$\frac{27/100}{99/100} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$$

**Beispiel 5: Divergenz.** $\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{5}{4}\right)^n$ hat $r = \frac{5}{4} > 1$, also divergiert die Reihe. Die Glieder wachsen, statt kleiner zu werden.

## Endliche und unendliche Summen

Die endliche Formel gilt für jeden Quotienten außer $r = 1$. Selbst eine Reihe mit $r = 3$ hat also eine ganz normale Summe der ersten zehn Glieder: $\sum_{n=0}^{9} 3^n = \frac{1 - 3^{10}}{1 - 3} = 29524$. Nur die unendliche Summe braucht $\lvert r\rvert < 1$. Für $r = 1$ ist jedes Glied gleich $a$, die ersten $N$ Glieder ergeben also $Na$, und die unendliche Reihe divergiert.

## Häufige Fehler

1. **Den Koeffizienten statt des ersten Glieds verwenden.** Beginnt die Summe bei $n = 1$ oder später, berechne das erste Glied direkt.
2. **Die Bedingung ignorieren.** $\frac{a}{1-r}$ mit $r = 2$ ergibt $-a$, eine sinnlose Zahl. Prüfe immer zuerst $\lvert r\rvert < 1$.
3. **Andere Reihen für geometrisch halten.** $\sum \frac{1}{n^2}$ und $\sum \frac{1}{2n}$ haben keinen konstanten Quotienten, die Formel gilt dort also nicht.
4. **Ein Vorzeichen in $r$ verlieren.** Bei einer alternierenden geometrischen Reihe ist $r$ negativ, und aus $1 - r$ wird $1 + \lvert r\rvert$.

## Wie es weitergeht

Geometrische Reihen sind das Vorbild für das [Quotientenkriterium](/rules/ratio-test), das prüft, ob sich eine Reihe auf lange Sicht wie eine geometrische Reihe mit $\lvert r\rvert < 1$ verhält. Sie liefern auch die erste Potenzreihe, $\frac{1}{1-x} = \sum x^n$ für $\lvert x\rvert < 1$, den Ausgangspunkt für [Potenzreihen](/blog/power-series). Weitere Beispiele findest du im ausführlichen Leitfaden zur [geometrischen Reihe](/blog/geometric-series).

## Häufig gestellte Fragen

### Wie lautet die Formel für den Wert einer unendlichen geometrischen Reihe?

Ist das erste Glied $a$ und erfüllt der Quotient $r$ die Bedingung $\lvert r\rvert < 1$, so ist der Reihenwert $\frac{a}{1-r}$. Für $\lvert r\rvert \ge 1$ divergiert die Reihe.

### Wie bestimmt man r bei einer geometrischen Reihe?

Teile ein beliebiges Glied durch das vorhergehende. Bei $6 + 2 + \frac{2}{3} + \cdots$ ist der Quotient $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

### Warum divergiert eine geometrische Reihe, wenn |r| mindestens 1 ist?

Für $\lvert r\rvert \ge 1$ werden die Glieder $ar^n$ nicht beliebig klein, also kann die Reihe nach dem Nullfolgenkriterium nicht konvergieren.

### Wie schreibt man 0,999... als geometrische Reihe?

$0.999\ldots = \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \cdots$ ist eine geometrische Reihe mit $a = \frac{9}{10}$ und $r = \frac{1}{10}$. Ihr Wert ist $\frac{9/10}{9/10} = 1$.