# Implizites Differenzieren: Schritte, Formel und Beispiele > Implizites Differenzieren liefert dy/dx, ohne nach y aufzulösen. Die zentrale Regel, vier Schritte, Beispiele mit Tangenten und typische Fehler. Quelle: https://practicecalculus.com/de/regeln/implizites-differenzieren Aktualisiert: 2026-11-03 $$ \frac{d}{dx}\,f(y) = f'(y)\,\frac{dy}{dx} $$ ## Auf einen Blick - **Anwendbar auf:** Gleichungen in $x$ und $y$, in denen $y$ nicht freigestellt ist, etwa $x^2 + y^2 = 25$ - **Grundidee:** Behandle $y$ als Funktion von $x$, also bekommt jeder Term mit $y$ nach der Kettenregel einen Faktor $\frac{dy}{dx}$ - **Ergebnis:** Eine Formel für $\frac{dy}{dx}$, die meist sowohl $x$ als auch $y$ enthält - **Voraussetzungen:** Kettenregel und die Produktregel für Terme wie $xy$ - **Verwendet bei:** Tangenten an Kurven, verknüpften Änderungsraten, Ableitungen von Umkehrfunktionen ## Das Wichtigste - Leite beide Seiten nach $x$ ab und behandle $y$ dabei als Funktion von $x$. - Jedes Mal, wenn du einen Term mit $y$ ableitest, multiplizierst du mit $\frac{dy}{dx}$. - Bring die Terme mit $\frac{dy}{dx}$ auf eine Seite und klammere aus, um aufzulösen. - Das Ergebnis enthält meist $x$ und $y$. Setze einen Punkt der Kurve ein, um eine Steigung zu erhalten. **Implizites Differenzieren** bestimmt $\frac{dy}{dx}$ aus einer Gleichung, in der $x$ und $y$ gemischt vorkommen, ohne zuerst nach $y$ aufzulösen. Du leitest beide Seiten nach $x$ ab, denkst daran, dass $y$ von $x$ abhängt, und löst dann nach $\frac{dy}{dx}$ auf. Es ist die [Kettenregel](/rules/chain-rule), angewendet auf $y$. ## Die zentrale Regel Da $y$ eine Funktion von $x$ ist, ist jeder Ausdruck in $y$ eine Verkettung. Nach der Kettenregel gilt: $$\frac{d}{dx}\,f(y) = f'(y)\,\frac{dy}{dx}$$ | Term | Ableitung nach $x$ | | --- | --- | | $x^3$ | $3x^2$ | | $y^3$ | $3y^2\,\frac{dy}{dx}$ | | $\sin y$ | $\cos y\,\frac{dy}{dx}$ | | $e^y$ | $e^y\,\frac{dy}{dx}$ | | $xy$ | $y + x\,\frac{dy}{dx}$ (Produktregel) | ## Die vier Schritte 1. Leite **beide Seiten** der Gleichung nach $x$ ab. 2. Multipliziere jedes Mal mit $\frac{dy}{dx}$, wenn du einen Term mit $y$ ableitest. 3. Bring alle Terme mit $\frac{dy}{dx}$ auf eine Seite und alles andere auf die andere. 4. Klammere $\frac{dy}{dx}$ aus und teile. ## Rechenbeispiele **Beispiel 1: ein Kreis.** Leite $x^2 + y^2 = 25$ ab: $$2x + 2y\,\frac{dy}{dx} = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$ Im Punkt $(3, 4)$ ist die Steigung $-\frac{3}{4}$, also lautet die Tangente $y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3)$ oder $y = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{4}$. ```graph title: 'Kreis x² + y² = 25 mit Tangente im Punkt (3, 4)' caption: 'Implizites Differenzieren liefert $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$, also ist die Steigung in $(3, 4)$ gleich $-\frac{3}{4}$.' x: [-8, 10] y: [-6, 7] functions: - expr: sqrt(25 - x^2) label: obere Hälfte domain: [-5, 5] - expr: -sqrt(25 - x^2) label: untere Hälfte domain: [-5, 5] - expr: -0.75x + 6.25 label: Tangente in (3, 4) dashed: true points: - [3, 4, '(3, 4)'] ``` **Beispiel 2: ein Produktterm.** Leite $x^3 + y^3 = 6xy$ ab und verwende bei $6xy$ die Produktregel: $$3x^2 + 3y^2\,\frac{dy}{dx} = 6y + 6x\,\frac{dy}{dx}$$ Sortieren und ausklammern: $$\frac{dy}{dx}\left(3y^2 - 6x\right) = 6y - 3x^2 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{2y - x^2}{y^2 - 2x}$$ Der Punkt $(3, 3)$ liegt auf der Kurve, denn $27 + 27 = 54 = 6 \cdot 9$. Dort ist die Steigung $\frac{6 - 9}{9 - 6} = -1$. **Beispiel 3: die Ableitung von $\ln x$ herleiten.** Ist $y = \ln x$, dann gilt $e^y = x$. Ableiten ergibt: $$e^y\,\frac{dy}{dx} = 1 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$$ Das ist die Idee hinter der [Ableitung der Umkehrfunktion](/rules/inverse-function-rule). **Beispiel 4: eine trigonometrische Gleichung.** Leite $\sin y = x^2$ ab: $$\cos y\,\frac{dy}{dx} = 2x \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{\cos y}$$ ## Wann man implizit differenziert - Die Gleichung lässt sich nur schwer oder gar nicht nach $y$ auflösen (wie $x^3 + y^3 = 6xy$). - Die Kurve ist keine einzelne Funktion, etwa ein Kreis oder eine Ellipse, und du willst Steigungen auf allen Teilen. - Du brauchst Ableitungen von Umkehrfunktionen wie $\ln x$, $\arcsin x$ oder $\arctan x$. - Bei Aufgaben zu [verknüpften Änderungsraten](/blog/related-rates), in denen du nach der Zeit $t$ ableitest und jede Größe ihre eigene Rate bekommt. ## Häufige Fehler 1. **$\frac{dy}{dx}$ bei Termen mit $y$ vergessen.** $\frac{d}{dx}\,y^2$ ist $2y\,\frac{dy}{dx}$, nicht $2y$. 2. **Die Produktregel überspringen.** $\frac{d}{dx}\,xy$ ist $y + x\,\frac{dy}{dx}$, nicht $\frac{dy}{dx}$ oder $1 \cdot \frac{dy}{dx}$. 3. **Nur eine Seite ableiten.** Beide Seiten werden abgeleitet, auch eine konstante Seite, deren Ableitung $0$ ist. 4. **Einen Punkt einsetzen, der nicht auf der Kurve liegt.** Prüfe zuerst, ob der Punkt die ursprüngliche Gleichung erfüllt. Eine ausführlichere Erklärung mit weiteren Übungsaufgaben findest du im vollständigen Leitfaden zum [impliziten Differenzieren](/blog/implicit-differentiation). ## Häufig gestellte Fragen ### Was ist implizites Differenzieren? Ein Verfahren, um $\frac{dy}{dx}$ aus einer Gleichung in $x$ und $y$ zu bestimmen, ohne nach $y$ aufzulösen. Du leitest beide Seiten nach $x$ ab und wendest auf jeden Term mit $y$ die Kettenregel an. ### Warum multipliziert man mit dy/dx? Weil $y$ eine Funktion von $x$ ist. Nach der Kettenregel gilt $\frac{d}{dx}\,y^2 = 2y \cdot \frac{dy}{dx}$, genau wie $\frac{d}{dx}\,(g(x))^2 = 2g(x)\,g'(x)$. ### Wann verwendet man implizites Differenzieren? Wenn sich $y$ nur schwer oder gar nicht freistellen lässt, wie in $x^3 + y^3 = 6xy$, oder wenn die Kurve nicht der Graph einer einzigen Funktion ist, wie bei einem Kreis. ### Warum steht im Ergebnis ein y? Die Kurve kann durch mehrere Punkte mit demselben $x$ und unterschiedlichen Steigungen verlaufen. Das $y$ sagt dir, welcher Punkt gemeint ist.