# Kettenregel beim Ableiten: Formel, Beispiele und typische Formen > Die Kettenregel: Die Ableitung von f(g(x)) ist f'(g(x))·g'(x). Die Formel in beiden Schreibweisen, eine Tabelle typischer Formen, Beispiele und Fehler. Quelle: https://practicecalculus.com/de/regeln/kettenregel Aktualisiert: 2026-11-03 $$ \frac{d}{dx}\,f(g(x)) = f'(g(x))\,g'(x) $$ ## Auf einen Blick - **Anwendbar auf:** Verkettungen, also eine Funktion in einer anderen Funktion - **In Worten:** Äußere Ableitung (mit unveränderter innerer Funktion) mal innere Ableitung - **Leibniz-Schreibweise:** $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ - **Erkennungsmerkmal:** Alles außer einem bloßen $x$ in einer Potenz, Wurzel, trigonometrischen Funktion, Exponentialfunktion oder einem Logarithmus - **Gegenstück beim Integrieren:** Substitutionsregel ## Das Wichtigste - Leite die äußere Funktion ab, lass die innere Funktion unverändert und multipliziere mit der Ableitung der inneren Funktion. - In Leibniz-Schreibweise gilt $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$. - Du brauchst sie immer dann, wenn das Argument einer Funktion etwas anderes als ein bloßes $x$ ist. - Bei mehreren Schichten multiplizierst du eine Ableitung pro Schicht und arbeitest dich von außen nach innen vor. Mit der **Kettenregel** leitest du eine Verkettung ab, also eine Funktion, die in einer anderen steckt. Du bildest die Ableitung der äußeren Funktion, lässt die innere Funktion unverändert und multiplizierst mit der Ableitung der inneren Funktion. Fast jede nicht triviale Ableitung braucht sie. ## Die Formel der Kettenregel Ist $g$ an der Stelle $x$ differenzierbar und $f$ an der Stelle $g(x)$ differenzierbar, dann gilt $$\frac{d}{dx}\,f(g(x)) = f'(g(x))\,g'(x)$$ In Leibniz-Schreibweise, mit $y = f(u)$ und $u = g(x)$: $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$ Stell dir vor, dass sich Änderungsraten multiplizieren: Ändert sich $y$ dreimal so schnell wie $u$ und $u$ zweimal so schnell wie $x$, dann ändert sich $y$ $3 \cdot 2 = 6$-mal so schnell wie $x$. ## Typische Formen der Kettenregel Hier ist $u$ eine beliebige differenzierbare Funktion von $x$ und $u'$ ihre Ableitung. | Funktion | Ableitung | | --- | --- | | $u^n$ | $n\,u^{n-1}\,u'$ | | $\sqrt{u}$ | $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$ | | $e^u$ | $e^u\,u'$ | | $\ln u$ | $\frac{u'}{u}$ | | $\sin u$ | $\cos u \cdot u'$ | | $\cos u$ | $-\sin u \cdot u'$ | | $\tan u$ | $\sec^2 u \cdot u'$ | ## Rechenbeispiele **Beispiel 1: Potenz eines Polynoms.** Außen: $u^5$. Innen: $u = x^2 + 1$, $u' = 2x$: $$\frac{d}{dx}\,(x^2 + 1)^5 = 5(x^2 + 1)^4 \cdot 2x = 10x(x^2 + 1)^4$$ **Beispiel 2: trigonometrische Funktion.** Außen: $\sin u$. Innen: $u = 3x$: $$\frac{d}{dx}\,\sin(3x) = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x)$$ **Beispiel 3: Exponentialfunktion.** Außen: $e^u$. Innen: $u = x^2$: $$\frac{d}{dx}\,e^{x^2} = e^{x^2} \cdot 2x = 2x\,e^{x^2}$$ **Beispiel 4: eine Quadratwurzel.** Schreibe $\sqrt{4x - 1} = (4x - 1)^{1/2}$: $$\frac{1}{2}(4x - 1)^{-1/2} \cdot 4 = \frac{2}{\sqrt{4x - 1}}$$ **Beispiel 5: Logarithmus.** Außen: $\ln u$. Innen: $u = \cos x$: $$\frac{d}{dx}\,\ln(\cos x) = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x$$ **Beispiel 6: drei Schichten.** $\sin^2(5x)$ bedeutet $[\sin(5x)]^2$. Schäle von außen nach innen: Quadrat, dann Sinus, dann $5x$: $$\frac{d}{dx}\,\sin^2(5x) = 2\sin(5x) \cdot \cos(5x) \cdot 5 = 10\sin(5x)\cos(5x)$$ ## So erkennst du eine Verkettung Frag dich: "Was würde ich **zuletzt** rechnen, wenn ich hier eine Zahl einsetze?" Diese letzte Operation ist die äußere Funktion. Alles, worauf sie wirkt, ist die innere Funktion. - $(3x + 1)^4$: Der letzte Schritt ist das Potenzieren mit 4. Innen steht $3x + 1$. - $e^{\sin x}$: Der letzte Schritt ist $e^{(\ )}$. Innen steht $\sin x$. - $\sin x^2$ bedeutet meist $\sin(x^2)$: Innen steht $x^2$. Dagegen bedeutet $\sin^2 x$ dasselbe wie $(\sin x)^2$: Innen steht $\sin x$. Ist die innere Funktion einfach $x$, so ist die innere Ableitung $1$ und die Kettenregel ändert nichts. ## Häufige Fehler 1. **Die innere Ableitung vergessen.** $\frac{d}{dx}\,(3x + 1)^4 = 4(3x + 1)^3 \cdot 3$, nicht $4(3x + 1)^3$. Das ist der häufigste Ableitungsfehler überhaupt. 2. **Das Innere verändern.** Die äußere Ableitung wird an der ursprünglichen inneren Funktion ausgewertet: $\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2) \cdot 2x$, nicht $\cos(2x)$. 3. **Verwechslung mit der Produktregel.** $\sin(x^2)$ ist eine Verkettung, $x^2\sin x$ dagegen ein Produkt. Siehe die [Produktregel](/rules/product-rule). 4. **Nach einer Schicht aufhören.** In $e^{\sin(2x)}$ stecken drei Schichten, und das Ergebnis $2\cos(2x)\,e^{\sin(2x)}$ braucht alle drei Ableitungen. Die Kettenregel ist außerdem der Motor hinter dem [impliziten Differenzieren](/rules/implicit-differentiation), den verknüpften Änderungsraten und der [Substitutionsregel](/rules/u-substitution-rule). Eine ausführlichere Erklärung mit weiteren Übungsaufgaben findest du im vollständigen Leitfaden zur [Kettenregel](/blog/chain-rule). ## Häufig gestellte Fragen ### Was ist die Kettenregel einfach erklärt? Steckt eine Funktion in einer anderen, leitest du die äußere Funktion ab, lässt das Innere so, wie es ist, und multiplizierst mit der Ableitung des Inneren. ### Woran erkennt man, wann man die Kettenregel braucht? Immer wenn eine Funktion auf etwas anderes als ein bloßes $x$ angewendet wird, zum Beispiel $(3x+1)^5$, $\sin(x^2)$ oder $e^{4x}$. Müsstest du zuerst einen inneren Wert berechnen, liegt eine Verkettung vor. ### Wie lautet die Kettenregel in Leibniz-Schreibweise? Hängt $y$ von $u$ ab und $u$ von $x$, dann gilt $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$. ### Wie wendet man die Kettenregel mehrfach an? Schäle die Schichten von außen nach innen ab und multipliziere eine Ableitung pro Schicht. Für $\sin^2(5x)$ ergibt das $2\sin(5x)\cdot\cos(5x)\cdot 5$.