# Konstantenregel beim Ableiten: Warum die Ableitung von c null ist > Die Konstantenregel besagt, dass die Ableitung jeder Konstanten 0 ist. Die Formel, ein einzeiliger Beweis, Beispiele mit π und e und typische Fehler. Quelle: https://practicecalculus.com/de/regeln/konstantenregel Aktualisiert: 2026-11-03 $$ \frac{d}{dx}\, c = 0 $$ ## Auf einen Blick - **Anwendbar auf:** Jeden Ausdruck, der nicht von $x$ abhängt, etwa $7$, $\pi$, $e^2$ oder $\ln 5$ - **In Worten:** Eine Konstante ändert sich nie, also ist ihre Änderungsrate null - **Bedeutung am Graphen:** Der Graph von $y = c$ ist eine waagerechte Gerade und hat überall die Steigung $0$ - **Gegenstück beim Integrieren:** $\int 0\,dx = C$, deshalb enden Stammfunktionen mit $+\,C$ - **Verwandte Regeln:** Potenzregel, Faktorregel, Summenregel ## Das Wichtigste - Die Ableitung jeder Konstanten ist $0$: $\frac{d}{dx}\,c = 0$. - Zahlen wie $\pi$, $e^3$ und $\ln 2$ sind Konstanten, also sind auch ihre Ableitungen $0$. - Eine zu einer Funktion addierte Konstante verschwindet beim Ableiten. Eine Konstante als Faktor bleibt erhalten. Die **Konstantenregel** besagt, dass die Ableitung einer Konstanten null ist. Eine Konstante ändert sich nie, also ist ihre Änderungsrate überall $0$. Sie ist die einfachste Ableitungsregel und steckt still in fast jeder Ableitung, die du berechnest. ## Die Formel der Konstantenregel Für jede Konstante $c$ gilt: $$\frac{d}{dx}\, c = 0$$ "Konstante" bedeutet alles, was nicht von der Variablen abhängt, nach der du ableitest. Dazu gehören gewöhnliche Zahlen, aber auch Ausdrücke wie $\pi^2$, $e^3$, $\sqrt{7}$, $\sin 1$ und $\ln 5$. ```graph title: 'Graph der konstanten Funktion y = 3 und ihrer Ableitung y = 0' caption: 'Die Gerade $y = 3$ verläuft waagerecht, also ist ihre Steigung in jedem Punkt $0$. Die Ableitung ist die Gerade $y = 0$.' x: [-4, 4] y: [-1, 4] functions: - expr: '3' label: y = 3 - expr: '0' label: y = 0 (Ableitung) dashed: true ``` ## Beispiele | Funktion | Warum sie konstant ist | Ableitung | | --- | --- | --- | | $7$ | Eine Zahl | $0$ | | $-12.5$ | Eine Zahl | $0$ | | $\pi$ | Eine Zahl, ungefähr $3.14$ | $0$ | | $e^3$ | Nirgends ein $x$ | $0$ | | $\ln 5$ | Nirgends ein $x$ | $0$ | | $\sin\frac{\pi}{6}$ | Gleich $\frac{1}{2}$ | $0$ | **Beispiel: ein konstanter Summand in einem Polynom.** Mit der [Summenregel](/rules/sum-and-difference-rule) wird jeder Summand einzeln abgeleitet, und der konstante Summand fällt weg: $$\frac{d}{dx}\left(x^2 + 4x + 9\right) = 2x + 4 + 0 = 2x + 4$$ **Beispiel: ein Parameter.** Sind $a$ und $b$ Konstanten, dann gilt $$\frac{d}{dx}\left(a^2 + bx\right) = 0 + b = b$$ Das $a^2$ sieht aus wie eine Potenz, hängt aber nicht von $x$ ab und ist daher eine Konstante. ## Warum die Konstantenregel gilt Verwende die [Definition der Ableitung über den Grenzwert](/blog/limit-definition-of-the-derivative) mit $f(x) = c$: $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{c - c}{h} = \lim_{h \to 0} 0 = 0$$ Du kannst sie auch als Spezialfall der [Potenzregel](/rules/power-rule) sehen: $c = c\,x^0$, und $\frac{d}{dx}\,c\,x^0 = c \cdot 0 \cdot x^{-1} = 0$ (für $x \ne 0$). ## Addierte und multiplizierte Konstanten Hier trifft die Konstantenregel auf die [Faktorregel](/rules/constant-multiple-rule): | Ausdruck | Ableitung | Grund | | --- | --- | --- | | $x^3 + 5$ | $3x^2$ | Eine addierte Konstante verschwindet | | $5x^3$ | $15x^2$ | Ein konstanter Faktor bleibt | | $5$ | $0$ | Konstantenregel | | $5x$ | $5$ | Konstantes Vielfaches von $x$ | Verschiebst du einen Graphen durch Addieren einer Konstanten nach oben oder unten, ändert sich seine Steigung nirgends, und genau deshalb verschwinden addierte Konstanten. Streckst du einen Graphen um einen Faktor, wird jede Steigung mit diesem Faktor multipliziert, deshalb bleiben konstante Faktoren erhalten. ## Die Konstantenregel rückwärts Weil jede Konstante die Ableitung $0$ hat, teilen sich viele Funktionen dieselbe Ableitung: $x^2$, $x^2 + 1$ und $x^2 - 8$ ergeben abgeleitet alle $2x$. Beim Integrieren musst du daher eine beliebige Konstante addieren: $$\int 2x\,dx = x^2 + C$$ Mehr dazu, warum das $+\,C$ nötig ist, findest du unter [Stammfunktionen](/blog/antiderivatives). ## Häufige Fehler 1. **Konstante Ausdrücke wie Variablen behandeln.** $\frac{d}{dx}\,e^2 = 0$, nicht $2e$ oder $e^2$. Der Exponent ist eine Zahl, nicht $x$. 2. **Einen konstanten Faktor zu null machen.** $\frac{d}{dx}\,4x = 4$, nicht $0$. Nur eine alleinstehende oder addierte Konstante wird zu $0$. 3. **Verwechseln, welche Variable sich ändert.** $\frac{d}{dx}\,t^2 = 0$, wenn $t$ eine Konstante ist, aber $\frac{d}{dt}\,t^2 = 2t$. Prüfe immer die Variable im Nenner von $\frac{d}{d\square}$. Die Konstantenregel wird meist mit der [Potenzregel](/rules/power-rule) und der [Summenregel](/rules/sum-and-difference-rule) kombiniert. Im vollständigen Leitfaden zur [Potenzregel](/blog/power-rule) kannst du alle drei zusammen üben. ## Häufig gestellte Fragen ### Was ist die Ableitung einer Konstanten? Null. Eine konstante Funktion hat einen waagerechten Graphen, und eine waagerechte Gerade hat in jedem Punkt die Steigung $0$. ### Was ist die Ableitung von Pi? $\pi$ ist eine Zahl, ungefähr $3.14159$, also gilt $\frac{d}{dx}\,\pi = 0$. Dasselbe gilt für $\pi^2$, $e$, $e^5$ und $\sqrt{2}$. ### Warum ist die Ableitung von 5x nicht 0? $5x$ ist eine Konstante mal $x$, keine Konstante. Nach der Faktorregel ist die Ableitung $5 \cdot 1 = 5$. ### Warum haben Stammfunktionen ein + C? Weil die Ableitung jeder Konstanten $0$ ist, haben Funktionen wie $x^2$, $x^2 + 3$ und $x^2 - 10$ alle die Ableitung $2x$. Das $+\,C$ steht für diese ganze Familie.