# Leibniz-Kriterium: Voraussetzungen, Fehlerabschätzung, Beispiele > Das Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen: Fällt bₙ monoton gegen 0, so konvergiert die Reihe über (−1)ⁿbₙ. Voraussetzungen, Fehlerschranke und Beispiele. Quelle: https://practicecalculus.com/de/regeln/leibniz-kriterium Aktualisiert: 2026-11-03 $$ b_n \ge b_{n+1} > 0,\ \lim_{n\to\infty} b_n = 0 \;\Longrightarrow\; \sum (-1)^{n+1} b_n \text{ konvergiert} $$ ## Auf einen Blick - **Auch genannt:** Kriterium für alternierende Reihen - **Bedingung 1:** Die Glieder wechseln das Vorzeichen: $\sum (-1)^{n+1} b_n$ mit $b_n > 0$ - **Bedingung 2:** $b_n$ ist monoton fallend, zumindest ab einem gewissen Index - **Bedingung 3:** $\lim_{n\to\infty} b_n = 0$ - **Fehlerschranke:** $\lvert S - S_N\rvert \le b_{N+1}$ - **Kann nicht zeigen:** Divergenz oder absolute Konvergenz ## Das Wichtigste - Eine alternierende Reihe konvergiert, wenn die Beträge $b_n$ monoton fallen und gegen $0$ gehen. - Der Fehler nach $N$ Gliedern ist höchstens das nächste Glied: $\lvert S - S_N\rvert \le b_{N+1}$. - Eine Reihe, die das Kriterium erfüllt, kann auch nur bedingt konvergieren, wie $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n}$. - Geht $b_n$ nicht gegen $0$, divergiert die Reihe nach dem Nullfolgenkriterium. Das **Leibniz-Kriterium** ist für Reihen gedacht, deren Glieder das Vorzeichen wechseln, etwa $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$. Werden die Beträge der Glieder stetig kleiner und gehen gegen null, dann pendeln die Partialsummen immer enger um einen Grenzwert, und die Reihe konvergiert. ## Das Kriterium Sei $b_n > 0$ für alle $n$. Die Reihe $$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} b_n = b_1 - b_2 + b_3 - b_4 + \cdots$$ konvergiert, wenn beide Bedingungen gelten: 1. $b_{n+1} \le b_n$ für alle $n$ (oder für alle $n$ ab einem gewissen Index), und 2. $\lim_{n\to\infty} b_n = 0$. Dasselbe gilt für $\sum (-1)^n b_n$, bei der nur jedes Vorzeichen umgedreht ist. ## Die Fehlerabschätzung Sind die Bedingungen erfüllt und ist $S$ der Reihenwert, so liegt die Partialsumme $S_N$ höchstens ein Glied vom wahren Wert entfernt: $$\lvert S - S_N\rvert \le b_{N+1}$$ Außerdem liegt $S$ zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Partialsummen. Das ist die **Fehlerabschätzung für alternierende Reihen**, und sie macht es leicht, solche Reihen näherungsweise zu berechnen. ```graph title: 'Partialsummen der alternierenden harmonischen Reihe pendeln gegen ln 2' caption: 'Die ungeraden Partialsummen liegen über $\ln 2 \approx 0.693$, die geraden darunter, und der Abstand wird mit jedem Schritt kleiner.' x: [0, 9] y: [0.4, 1.1] functions: - expr: ln(2) label: y = ln 2 dashed: true points: - [1, 1, 'S1 = 1'] - [2, 0.5, 'S2 = 0.5'] - [3, 0.8333] - [4, 0.5833] - [5, 0.7833] - [6, 0.6167] - [7, 0.7595] - [8, 0.6345] ``` ## Warum es funktioniert Weil die $b_n$ fallen, schießt jeder Schritt weniger über das Ziel hinaus als der vorige. Die geraden Partialsummen $S_2, S_4, S_6, \ldots$ wachsen, die ungeraden $S_1, S_3, S_5, \ldots$ fallen, und jede gerade Summe bleibt unter jeder ungeraden. Beide Folgen sind beschränkt und monoton, also konvergieren sie, und wegen $S_{2k+1} - S_{2k} = b_{2k+1} \to 0$ haben sie denselben Grenzwert. ## Rechenbeispiele **Beispiel 1: die alternierende harmonische Reihe.** Bei $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ ist $b_n = \frac{1}{n}$ positiv, monoton fallend und geht gegen $0$. Die Reihe konvergiert (gegen $\ln 2$). Da $\sum \frac{1}{n}$ divergiert, ist die Konvergenz **bedingt**. **Beispiel 2: die Grenzwertbedingung ist verletzt.** Bei $\sum (-1)^n \frac{n}{n+1}$ gilt $b_n = \frac{n}{n+1} \to 1 \ne 0$. Das Leibniz-Kriterium ist nicht anwendbar, und das [Nullfolgenkriterium](/rules/nth-term-test) zeigt, dass die Reihe divergiert. **Beispiel 3: Monotonie mit der Ableitung prüfen.** Bei $\sum (-1)^{n+1}\frac{\ln n}{n}$ (Start bei $n = 2$) sei $f(x) = \frac{\ln x}{x}$. Dann ist $f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2} < 0$ für $x > e$, also fällt $b_n$ für $n \ge 3$, und $\frac{\ln n}{n} \to 0$. Die Reihe konvergiert. **Beispiel 4: einen Reihenwert abschätzen.** Die Reihe $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n!} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{6} - \frac{1}{24} + \cdots$ erfüllt das Kriterium. Vier Glieder ergeben $$S_4 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{6} - \frac{1}{24} = \frac{5}{8} = 0.625$$ mit einem Fehler von höchstens $b_5 = \frac{1}{120} \approx 0.0083$. Der wahre Wert ist $1 - \frac{1}{e} \approx 0.6321$, der tatsächliche Fehler also etwa $0.0071$. ## Absolute und bedingte Konvergenz Das Kriterium beweist Konvergenz, sagt aber nichts über absolute Konvergenz aus. Prüfe $\sum b_n$ getrennt: | Reihe | $\sum b_n$ | Ergebnis | | --- | --- | --- | | $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n^2}$ | konvergiert | absolut konvergent | | $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ | divergiert | bedingt konvergent | | $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}}$ | divergiert | bedingt konvergent | Das [Quotientenkriterium](/rules/ratio-test) liefert bei allen dreien $L = 1$ und kann keine davon entscheiden. ## Häufige Fehler 1. **Mit dem Kriterium Divergenz beweisen wollen.** Ist die Monotonie verletzt, folgt daraus keine Divergenz. Nur $b_n \not\to 0$ zeigt Divergenz, und das ist das Nullfolgenkriterium. 2. **Das Vorzeichen in $b_n$ mitnehmen.** $b_n$ ist der positive Betrag des Glieds, ohne den Faktor $(-1)^n$. 3. **Die Monotonie nicht prüfen.** Sie ist meistens erfüllt, muss aber nachgewiesen werden, manchmal mit einer Ableitung. 4. **Eine Reihe absolut konvergent nennen**, nur weil sie dieses Kriterium erfüllt. Einen Vergleich aller Konvergenzkriterien und wie du das passende auswählst, findest du im ausführlichen Leitfaden zu [Konvergenzkriterien](/blog/convergence-tests). ## Häufig gestellte Fragen ### Welche Voraussetzungen hat das Leibniz-Kriterium? Die Reihe muss die Form $\sum (-1)^{n+1} b_n$ (oder $\sum (-1)^n b_n$) mit $b_n > 0$ haben, die $b_n$ müssen monoton fallen (zumindest ab einem gewissen Index) und es muss $\lim b_n = 0$ gelten. Sind alle drei erfüllt, konvergiert die Reihe. ### Konvergiert die alternierende harmonische Reihe? Ja. $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \cdots$ erfüllt das Kriterium und konvergiert gegen $\ln 2$. Sie konvergiert aber nur bedingt, da $\sum \frac{1}{n}$ divergiert. ### Wie lautet die Fehlerabschätzung beim Leibniz-Kriterium? Erfüllt eine Reihe das Kriterium, so ist der Fehler nach $N$ Gliedern nicht größer als das erste weggelassene Glied: $\lvert S - S_N\rvert \le b_{N+1}$. ### Was gilt, wenn eine alternierende Reihe das Kriterium nicht erfüllt? Gilt $b_n \not\to 0$, divergiert die Reihe nach dem Nullfolgenkriterium. Ist nur die Monotonie verletzt, liefert das Kriterium keine Aussage und du brauchst eine andere Methode.