# Linearität des Integrals: Summenregel und Faktorregel > Die Linearität des Integrals: Summen gliedweise integrieren und Konstanten vorziehen. Formeln, Beispiele und typische Fehler bei Produkten und Quotienten. Quelle: https://practicecalculus.com/de/regeln/linearitaet-des-integrals Aktualisiert: 2026-11-03 $$ \int \left[a\,f(x) + b\,g(x)\right]dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx $$ ## Auf einen Blick - **Summenregel:** $\int (f + g)\,dx = \int f\,dx + \int g\,dx$ - **Differenzregel:** $\int (f - g)\,dx = \int f\,dx - \int g\,dx$ - **Faktorregel:** $\int k\,f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$ für jede Konstante $k$ - **Gilt nicht für:** Produkte und Quotienten: $\int f g\,dx \ne \int f\,dx \cdot \int g\,dx$ - **Gilt für:** Unbestimmte und bestimmte Integrale ## Das Wichtigste - Eine Summe oder Differenz kannst du Glied für Glied integrieren. - Konstante Faktoren darfst du vor das Integralzeichen ziehen. - Für Integrale gibt es keine Produkt- oder Quotientenregel: ausmultiplizieren, aufteilen oder eine Technik wie die Substitutionsregel verwenden. Die **Linearitätsregeln** besagen, dass die Integration mit Addition und Vervielfachung verträglich ist. Du kannst eine Summe in einzelne Integrale aufteilen und konstante Faktoren vor das Integralzeichen ziehen. Zusammen mit der [umgekehrten Potenzregel](/rules/reverse-power-rule) integrierst du damit jedes Polynom in einer Zeile. ## Die Linearitätsregeln Für integrierbare Funktionen $f$ und $g$ und Konstanten $a$ und $b$ gilt: $$\int \left[a\,f(x) + b\,g(x)\right]dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$$ Diese eine Aussage enthält drei Regeln: - **Summenregel:** $\int (f + g)\,dx = \int f\,dx + \int g\,dx$ - **Differenzregel:** $\int (f - g)\,dx = \int f\,dx - \int g\,dx$ - **Faktorregel:** $\int k\,f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$ Dieselben Regeln gelten für bestimmte Integrale über demselben Intervall: $$\int_a^b \left[f(x) + g(x)\right]dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx$$ ## Warum die Linearität gilt Das Ableiten ist linear: $\frac{d}{dx}[aF + bG] = aF' + bG'$. Ist $F' = f$ und $G' = g$, dann ist $aF + bG$ eine Stammfunktion von $af + bg$, und genau das ist die Regel. Bei bestimmten Integralen ist der Grund noch anschaulicher: Eine Riemann-Summe von $f + g$ ist die Summe der Riemann-Summen von $f$ und $g$, und streckt man einen Graphen um den Faktor $k$, wird jedes Rechteck und damit die Fläche um $k$ gestreckt. ```graph title: 'Fläche unter y = 2x² verglichen mit der Fläche unter y = x² auf [0, 2]' caption: 'Verdoppelt man die Funktion, verdoppelt sich die Fläche: $\int_0^2 2x^2\,dx = 2 \cdot \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$.' x: [-0.5, 2.5] y: [-1, 9] functions: - expr: 2x^2 label: y = 2x² - expr: x^2 label: y = x² dashed: true shade: {expr: 2x^2, from: 0, to: 2} ``` ## Rechenbeispiele **Beispiel 1: ein Polynom.** Aufteilen, Konstanten vorziehen und dann auf jeden Teil die umgekehrte Potenzregel anwenden: $$\int \left(8x^3 - 6x + 7\right)dx = 8\int x^3\,dx - 6\int x\,dx + \int 7\,dx = 2x^4 - 3x^2 + 7x + C$$ **Beispiel 2: verschiedene Funktionstypen.** Mit der Linearität kombinierst du Regeln aus verschiedenen Familien: $$\int \left(3\cos x - \frac{2}{x} + 4e^x\right)dx = 3\sin x - 2\ln\lvert x\rvert + 4e^x + C$$ **Beispiel 3: zuerst einen Quotienten aufteilen.** Für Integrale gibt es keine Quotientenregel, aber du kannst jeden Summanden durch den Nenner teilen: $$\int \frac{x^2 + 3x - 1}{x}\,dx = \int \left(x + 3 - \frac{1}{x}\right)dx = \frac{x^2}{2} + 3x - \ln\lvert x\rvert + C$$ **Beispiel 4: ein bestimmtes Integral.** Mit den bekannten Werten $\int_0^1 f(x)\,dx = 4$ und $\int_0^1 g(x)\,dx = -1$: $$\int_0^1 \left[2f(x) - 5g(x)\right]dx = 2(4) - 5(-1) = 13$$ ## Was die Linearität nicht leistet Die Linearität gilt nur für Summen und konstante Vielfache. Die folgenden Gleichungen sind im Allgemeinen alle **falsch**: | Verlockend, aber falsch | Warum | | --- | --- | | $\int f g\,dx = \int f\,dx \cdot \int g\,dx$ | Keine Produktregel für Integrale | | $\int \frac{f}{g}\,dx = \frac{\int f\,dx}{\int g\,dx}$ | Keine Quotientenregel für Integrale | | $\int x\,f(x)\,dx = x\int f(x)\,dx$ | $x$ ist keine Konstante | | $\int \frac{1}{f(x)}\,dx = \frac{1}{\int f(x)\,dx}$ | Kehrwerte lassen sich nicht herausziehen | Ist der Integrand ein Produkt, versuche zuerst auszumultiplizieren und greife dann zur [Substitutionsregel](/rules/u-substitution-rule) oder zur [partiellen Integration](/rules/integration-by-parts-rule). ## Häufige Fehler 1. **Die Variable vor das Integral ziehen.** Nur Konstanten dürfen nach außen. In $\int 3x\sin x\,dx$ darfst du die $3$ vorziehen, nicht das $x$. 2. **Ein Produkt Faktor für Faktor integrieren.** $\int x(x^2+1)\,dx$ muss zu $\int (x^3 + x)\,dx = \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + C$ ausmultipliziert werden. 3. **Einen Nenner aufteilen.** $\frac{1}{x + 1} \ne \frac{1}{x} + 1$. Einen Bruch darfst du nach den Summanden im Zähler aufteilen, niemals nach denen im Nenner. 4. **Ein Vorzeichen bei einer Differenz verlieren.** Das Minuszeichen gilt für jeden Summanden des zweiten Integrals. Die Gegenstücke beim Ableiten sind die [Faktorregel](/rules/constant-multiple-rule) und die [Summenregel](/rules/sum-and-difference-rule). Mehr Übung im Kombinieren dieser Regeln findest du im Leitfaden zu [Stammfunktionen](/blog/antiderivatives). ## Häufig gestellte Fragen ### Was bedeutet Linearität des Integrals? Das Integral von $af + bg$ ist gleich $a$ mal dem Integral von $f$ plus $b$ mal dem Integral von $g$, für Konstanten $a$ und $b$. In der Praxis teilst du Summen auf und ziehst Konstanten vor das Integral. ### Darf man eine Variable vor das Integral ziehen? Nein. Nur Konstanten, also Größen, die nicht von der Integrationsvariablen abhängen, dürfen nach außen. $\int x\cos x\,dx$ ist nicht $x\int\cos x\,dx$. ### Ist das Integral eines Produkts das Produkt der Integrale? Nein. Zum Beispiel ist $\int x \cdot x\,dx = \frac{x^3}{3} + C$, aber $\int x\,dx \cdot \int x\,dx = \frac{x^4}{4}$ (bis auf Konstanten). Produkte brauchen Algebra oder partielle Integration. ### Brauche ich für jeden Summanden ein eigenes +C? Nein. Die einzelnen Konstanten addieren sich zu einer einzigen beliebigen Konstanten, also schreibst du am Ende nur ein $+C$.