# Logarithmisches Differenzieren: x^x ableiten und mehr > Logarithmisches Differenzieren: beide Seiten logarithmieren, ableiten, mit y multiplizieren. Beispiele für x^x, variable Exponenten und lange Produkte. Quelle: https://practicecalculus.com/de/regeln/logarithmisches-differenzieren Aktualisiert: 2026-11-03 $$ \frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{d}{dx}\big[\ln y\big] $$ ## Auf einen Blick - **Gilt für:** Variable Basis mit variablem Exponenten wie $x^x$ sowie lange Produkte oder Quotienten von Potenzen - **In Worten:** Beide Seiten mit $\ln$ logarithmieren, mit den Logarithmusgesetzen vereinfachen, ableiten und mit $y$ multiplizieren - **Kernaussage:** $\frac{d}{dx}\ln y = \frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx}$ nach der Kettenregel - **Verwendete Logarithmusgesetze:** $\ln(ab) = \ln a + \ln b$, $\ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b$, $\ln a^k = k \ln a$ - **Klassisches Ergebnis:** $\frac{d}{dx}\,x^x = x^x(\ln x + 1)$ ## Das Wichtigste - Verwende es, wenn die Variable in Basis und Exponent steht, wie bei $x^x$ oder $x^{\sin x}$. - Logarithmen machen aus Produkten Summen und aus Potenzen Vielfache, und die sind leicht abzuleiten. - Multipliziere nach dem Ableiten mit $y$ und setze die ursprüngliche Funktion wieder ein. Das **logarithmische Differenzieren** ist eine Technik für Funktionen, die sich direkt nur umständlich ableiten lassen. Du logarithmierst beide Seiten mit dem natürlichen Logarithmus, machst mit den Logarithmusgesetzen aus Produkten, Quotienten und Potenzen Summen und Vielfache, leitest ab und löst nach $\frac{dy}{dx}$ auf. Es ist der einzige Standardweg, eine Funktion wie $x^x$ abzuleiten. ## Das Verfahren Ausgehend von $y = f(x)$ mit $f(x) > 0$: 1. Logarithmiere beide Seiten: $\ln y = \ln f(x)$. 2. Vereinfache die rechte Seite mit den Logarithmusgesetzen. 3. Leite beide Seiten nach $x$ ab. Die linke Seite wird nach der [Kettenregel](/rules/chain-rule) zu $\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx}$. 4. Multipliziere beide Seiten mit $y$ und setze dann $y = f(x)$ wieder ein. In einer Zeile: $$\frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{d}{dx}\big[\ln y\big]$$ Kann $f$ negativ werden, verwende stattdessen $\ln|y|$. Die Ableitung von $\ln|y|$ ist ebenfalls $\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx}$, die Formel am Ende ändert sich also nicht. ## Welche Regel für welche Potenz? | Form | Beispiel | Regel | Ableitung | | --- | --- | --- | --- | | Konstante hoch Konstante | $2^3$ | [Konstantenregel](/rules/constant-rule) | $0$ | | Variable hoch Konstante | $x^3$ | [Potenzregel](/rules/power-rule) | $3x^2$ | | Konstante hoch Variable | $3^x$ | Regel für Exponentialfunktionen | $3^x\ln 3$ | | Variable hoch Variable | $x^x$ | Logarithmisches Differenzieren | $x^x(\ln x + 1)$ | ## Rechenbeispiele **Beispiel 1: $y = x^x$** (für $x > 0$). Logarithmiere und ziehe den Exponenten nach vorn: $$\ln y = x\ln x$$ Leite ab und verwende rechts die [Produktregel](/rules/product-rule): $$\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx} = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$$ Multipliziere mit $y$: $$\frac{dy}{dx} = x^x(\ln x + 1)$$ ```graph title: 'Graph von y = xˣ und seiner Ableitung xˣ(ln x + 1)' caption: 'Die Ableitung ist null, wenn $\ln x = -1$ gilt, also bei $x = \frac{1}{e} \approx 0.37$, wo $x^x$ sein Minimum erreicht.' x: [0.02, 2] y: [-1, 4] functions: - expr: x^x label: y = xˣ - expr: x^x*(ln(x) + 1) label: Ableitung dashed: true points: - [0.368, 0.692, 'Minimum'] ``` **Beispiel 2: $y = x^{\sin x}$** (für $x > 0$). Dann ist $\ln y = \sin x \ln x$, und $$\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx} = \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx} = x^{\sin x}\left(\cos x\ln x + \frac{\sin x}{x}\right)$$ **Beispiel 3: ein unübersichtlicher Quotient.** Bei $y = \frac{(x+1)^3\sqrt{x^2 + 4}}{(2x - 1)^5}$ zerlegt der Logarithmus alles in Einzelteile: $$\ln y = 3\ln(x + 1) + \frac{1}{2}\ln(x^2 + 4) - 5\ln(2x - 1)$$ Leite jeden Term mit der Kettenregel ab: $$\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx} = \frac{3}{x + 1} + \frac{x}{x^2 + 4} - \frac{10}{2x - 1}$$ Also gilt $$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)^3\sqrt{x^2 + 4}}{(2x - 1)^5}\left(\frac{3}{x + 1} + \frac{x}{x^2 + 4} - \frac{10}{2x - 1}\right)$$ Quotienten- und Produktregel liefern dasselbe Ergebnis, aber mit deutlich mehr Algebra. **Beispiel 4: die Potenzregel beweisen.** Für $y = x^n$ mit beliebigem reellem $n$ und $x > 0$ gilt $\ln y = n\ln x$, also $\frac{y'}{y} = \frac{n}{x}$ und $y' = x^n \cdot \frac{n}{x} = n\,x^{n-1}$. So wird die Potenzregel auf jeden reellen Exponenten erweitert. ## Häufige Fehler 1. **Die Potenzregel auf $x^x$ anwenden.** $x \cdot x^{x-1} = x^x$ ist falsch. Der Exponent ist nicht konstant. 2. **Die Regel für Exponentialfunktionen auf $x^x$ anwenden.** $x^x\ln x$ ist ebenfalls falsch. Die Basis ist nicht konstant. Beachte, dass das richtige Ergebnis $x^x\ln x + x^x$ die Summe dieser beiden falschen Ergebnisse ist. 3. **Vergessen, mit $y$ zu multiplizieren.** Das Ableiten von $\ln y$ ergibt $\frac{y'}{y}$. Löse am Ende nach $y'$ auf. 4. **$y$ im Ergebnis stehen lassen.** Ersetze $y$ durch die ursprüngliche Funktion, damit die Ableitung nur noch von $x$ abhängt. Das Verfahren beruht auf dem [impliziten Differenzieren](/rules/implicit-differentiation) und der Ableitung von $\ln x$. Hintergrundwissen zu Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen findest du im Leitfaden zu [Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen](/blog/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions). ## Häufig gestellte Fragen ### Was ist logarithmisches Differenzieren? Es ist eine Technik, bei der du beide Seiten von $y = f(x)$ mit dem natürlichen Logarithmus logarithmierst, mit den Logarithmusgesetzen vereinfachst, implizit ableitest und durch Multiplizieren mit $y$ nach $\frac{dy}{dx}$ auflöst. ### Was ist die Ableitung von x^x? Setze $y = x^x$, also $\ln y = x\ln x$. Ableiten ergibt $\frac{y'}{y} = \ln x + 1$, also $\frac{d}{dx}\,x^x = x^x(\ln x + 1)$ für $x > 0$. ### Wann sollte man logarithmisch differenzieren? Bei einer Variablen hoch einer Variablen und als Abkürzung für lange Produkte und Quotienten von Potenzen, die sonst mehrere Schritte mit Produkt- und Quotientenregel bräuchten. ### Warum kann man die Potenzregel nicht auf x^x anwenden? Die Potenzregel braucht einen konstanten Exponenten und die Regel für Exponentialfunktionen eine konstante Basis. Bei $x^x$ sind beide variabel, also passt keine der beiden Regeln.