# Nullfolgenkriterium (Trivialkriterium): Aussage und Beispiele > Das Nullfolgenkriterium: Bilden die Glieder einer Reihe keine Nullfolge, so divergiert die Reihe. Aussage, warum es keine Konvergenz zeigt, und Beispiele. Quelle: https://practicecalculus.com/de/regeln/nullfolgenkriterium Aktualisiert: 2026-11-03 $$ \lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 \;\Longrightarrow\; \sum a_n \text{ divergiert} $$ ## Auf einen Blick - **Auch genannt:** Trivialkriterium, Divergenzkriterium - **Kann zeigen:** Nur Divergenz - **Kann nicht zeigen:** Konvergenz. Gilt $a_n \to 0$, liefert das Kriterium keine Aussage - **Klassisches Beispiel:** $\sum \frac{1}{n}$ hat $a_n \to 0$ und divergiert trotzdem - **Anwendung:** Als Erstes, vor jedem anderen Konvergenzkriterium ## Das Wichtigste - Gilt $\lim a_n \ne 0$ oder existiert der Grenzwert nicht, so divergiert $\sum a_n$. - Gilt $\lim a_n = 0$, sagt das Nullfolgenkriterium nichts aus; nimm ein anderes Kriterium. - Prüfe es immer zuerst: Es ist der schnellste Weg, eine Reihe auszusortieren. Das **Nullfolgenkriterium** (auch Trivialkriterium) ist der schnellste Test bei Reihen. Eine Reihe kann nur dann einen endlichen Wert haben, wenn ihre Glieder gegen null gehen. Tun sie das nicht, divergiert die Reihe. ## Die Aussage Für jede Reihe $\sum a_n$ gilt: $$\lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 \quad\text{oder der Grenzwert existiert nicht} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ divergiert}$$ Gleichwertig ist die folgende notwendige Bedingung für Konvergenz: $$\sum a_n \text{ konvergiert} \quad\Longrightarrow\quad \lim_{n\to\infty} a_n = 0$$ Die Umkehrung ist **falsch**. Dass die Glieder gegen null gehen, ist notwendig, aber nicht hinreichend. ## Warum es funktioniert Sei $S_n$ die $n$-te Partialsumme. Dann ist $a_n = S_n - S_{n-1}$. Konvergiert die Reihe gegen $S$, so gehen sowohl $S_n$ als auch $S_{n-1}$ gegen $S$, also $$a_n = S_n - S_{n-1} \to S - S = 0$$ ## Das Ergebnis deuten | Wert von $\lim a_n$ | Folgerung | | --- | --- | | Eine Zahl ungleich null | Divergiert | | $\pm\infty$ | Divergiert | | Existiert nicht | Divergiert | | $0$ | **Keine Aussage**: anderes Kriterium verwenden | ```graph title: 'Die Glieder aₙ = n/(2n+1) gehen gegen 1/2, die Glieder 1/n gegen 0' caption: 'Die Glieder $\frac{n}{2n+1}$ pendeln sich bei $\frac{1}{2}$ ein, also divergiert ihre Reihe. Die Glieder $\frac{1}{n}$ gehen zwar gegen $0$, aber das allein lässt $\sum \frac{1}{n}$ nicht konvergieren.' x: [0, 12] y: [0, 1.1] functions: - expr: x/(2x+1) label: y = x/(2x+1) domain: [1, 12] - expr: 1/x label: y = 1/x domain: [1, 12] dashed: true - expr: '0.5' label: y = 1/2 dashed: true ``` ## Rechenbeispiele **Beispiel 1: ein Bruchterm.** Für $\sum \frac{n}{2n+1}$ gilt: $$\lim_{n\to\infty} \frac{n}{2n+1} = \frac{1}{2} \ne 0$$ Die Reihe divergiert. Du addierst unendlich oft Zahlen nahe $\frac{1}{2}$. **Beispiel 2: oszillierende Glieder.** Bei $\sum (-1)^n$ wechseln die Glieder zwischen $1$ und $-1$, also existiert $\lim a_n$ nicht. Die Reihe divergiert. **Beispiel 3: ein trigonometrisches Glied.** Bei $\sum \cos\left(\frac{1}{n}\right)$ gilt $\frac{1}{n} \to 0$ und $\cos 0 = 1$, also $a_n \to 1$. Die Reihe divergiert. **Beispiel 4: ein berühmter Grenzwert.** Bei $\sum \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ gehen die Glieder gegen $e \ne 0$. Die Reihe divergiert. **Beispiel 5: keine Aussage.** Bei $\sum \frac{1}{n^2}$ und $\sum \frac{1}{n}$ gehen die Glieder in beiden Fällen gegen $0$. Das Kriterium sagt nichts. Tatsächlich konvergiert $\sum \frac{1}{n^2}$ und $\sum \frac{1}{n}$ divergiert, was andere Kriterien (das Integralkriterium oder die Regel für $p$-Reihen) zeigen. ## Divergenz und Konvergenz auf einen Blick Stell dir das Kriterium als Tor vor. Jede konvergente Reihe kommt hindurch, weil ihre Glieder gegen null gehen müssen. Viele divergente Reihen scheitern am Tor, aber manche, wie die harmonische Reihe, schlüpfen durch und zeigen ihre Divergenz erst bei einem stärkeren Kriterium. Ein nicht bestandener Test ist also eine endgültige Antwort, ein bestandener bedeutet nur, dass die eigentliche Arbeit noch vor dir liegt. Diese Einbahnstraßen-Logik ist das Wichtigste, was du dir über das Kriterium merken solltest. ## Häufige Fehler 1. **Aus $a_n \to 0$ auf Konvergenz schließen.** Das ist der häufigste Fehler bei Reihen. Die harmonische Reihe ist das Gegenbeispiel. 2. **Den Grenzwert der Partialsummen statt der Glieder bilden.** Das Kriterium verwendet $a_n$, die einzelnen Glieder. 3. **Den Fall "existiert nicht" vergessen.** Oszillierende Glieder wie $(-1)^n$ oder $\sin n$ gehen ebenfalls nicht gegen $0$. 4. **Es überspringen.** Das [Quotientenkriterium](/rules/ratio-test) liefert bei $\sum \frac{n}{2n+1}$ den Grenzwert $1$ und damit keine Antwort, während das Nullfolgenkriterium die Frage sofort klärt. ## Wo es hingehört Nimm das Nullfolgenkriterium als ersten Schritt bei jeder Reihe. Gehen die Glieder tatsächlich gegen null, mach weiter: Versuche die [Formel der geometrischen Reihe](/rules/geometric-series-formula) bei konstantem Quotienten, das [Leibniz-Kriterium](/rules/alternating-series-test) bei wechselnden Vorzeichen und das [Quotientenkriterium](/rules/ratio-test) bei Fakultäten und Exponentialausdrücken. Der ausführliche Leitfaden zu [Konvergenzkriterien](/blog/convergence-tests) zeigt, wie du zwischen ihnen wählst. ## Häufig gestellte Fragen ### Was besagt das Nullfolgenkriterium? Gehen die Glieder $a_n$ einer Reihe nicht gegen $0$, so divergiert die Reihe $\sum a_n$. Es ist ein reines Divergenzkriterium. ### Kann das Nullfolgenkriterium zeigen, dass eine Reihe konvergiert? Nein. Gilt $a_n \to 0$, liefert das Kriterium keine Aussage. Die harmonische Reihe $\sum \frac{1}{n}$ hat Glieder, die gegen $0$ gehen, divergiert aber. ### Was gilt, wenn der Grenzwert von a_n nicht existiert? Dann divergiert die Reihe ebenfalls. Zum Beispiel wechseln bei $\sum (-1)^n$ die Glieder zwischen $1$ und $-1$, sie gehen also nicht gegen $0$. ### Warum gilt das Nullfolgenkriterium? Konvergiert $\sum a_n$ gegen $S$, so gilt $a_n = S_n - S_{n-1} \to S - S = 0$. Konvergenz erzwingt also, dass die Glieder verschwinden, und Glieder, die nicht verschwinden, schließen Konvergenz aus.