# Potenzregel beim Ableiten: Formel, Beispiele und Beweis > Die Potenzregel: Die Ableitung von x^n ist n·x^(n−1). Formel, Beispiele mit negativen und gebrochenen Exponenten, ein kurzer Beweis und typische Fehler. Quelle: https://practicecalculus.com/de/regeln/potenzregel Aktualisiert: 2026-11-03 $$ \frac{d}{dx}\, x^n = n\,x^{n-1} $$ ## Auf einen Blick - **Anwendbar auf:** Jede Potenz von $x$ mit konstantem Exponenten $n$ (positiv, negativ, Bruch oder Dezimalzahl) - **In Worten:** Exponent als Faktor nach vorne ziehen, dann den Exponenten um eins verringern - **Nicht anwendbar auf:** Exponentialfunktionen wie $2^x$ oder $e^x$, bei denen die Variable im Exponenten steht - **Gegenstück beim Integrieren:** $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ für $n \ne -1$ - **Verwandte Regeln:** Faktorregel, Summenregel, Kettenregel ## Das Wichtigste - Die Ableitung von $x^n$ ist $nx^{n-1}$ für jeden konstanten Exponenten $n$. - Schreibe Wurzeln und Brüche zuerst als Potenzen: $\sqrt{x} = x^{1/2}$ und $\frac{1}{x^3} = x^{-3}$. - Die Potenzregel gilt nicht für Exponentialfunktionen wie $2^x$. Die **Potenzregel** ist die erste Ableitungsregel, die die meisten lernen, und die, die sie am häufigsten verwenden. Mit ihr leitest du jede Potenz von $x$ in einem Schritt ab, ganz ohne Grenzwerte. ## Die Formel der Potenzregel Für jeden konstanten Exponenten $n$ gilt: $$\frac{d}{dx}\, x^n = n\,x^{n-1}$$ Zwei Handgriffe: **Exponent als Faktor nach vorne ziehen**, dann den Exponenten **um eins verringern**. ```graph title: 'Graph von y = x³ und seiner Ableitung y = 3x²' caption: 'Wo $x^3$ steil ist, ist die Ableitung $3x^2$ groß. Bei $x = 0$ ist die Kurve kurz waagerecht, und $3x^2 = 0$.' x: [-2.2, 2.2] y: [-6, 8] functions: - expr: x^3 label: y = x³ - expr: 3x^2 label: y = 3x² (Ableitung) dashed: true ``` ## Beispiele | Funktion | Umgeschrieben | Ableitung | | --- | --- | --- | | $x^5$ | $x^5$ | $5x^4$ | | $x$ | $x^1$ | $1$ | | $7$ | $7x^0$ | $0$ | | $\frac{1}{x^2}$ | $x^{-2}$ | $-2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$ | | $\sqrt{x}$ | $x^{1/2}$ | $\frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ | | $\sqrt[3]{x^2}$ | $x^{2/3}$ | $\frac{2}{3}x^{-1/3}$ | **Beispiel: ein Polynom.** Kombiniere die Potenzregel mit der [Summenregel](/rules/sum-and-difference-rule) und der [Faktorregel](/rules/constant-multiple-rule): $$\frac{d}{dx}\left(4x^3 - 5x^2 + 2x - 9\right) = 12x^2 - 10x + 2$$ **Beispiel: ein negativer Exponent.** Um $f(x) = \frac{3}{x^4}$ abzuleiten, schreibst du die Funktion als $3x^{-4}$: $$f'(x) = 3 \cdot (-4)x^{-5} = -\frac{12}{x^5}$$ Beachte, dass der Exponent von $-4$ zu $-5$ wird und nicht zu $-3$. Wer von einer negativen Zahl eins abzieht, macht sie noch negativer. ## Wann man die Potenzregel verwendet Verwende sie immer, wenn nach dem Umschreiben eine Variable mit einem **konstanten** Exponenten dasteht. In der Praxis heißt das: - Polynome, Summand für Summand; - Wurzeln, nachdem du sie in gebrochene Exponenten umgewandelt hast; - Terme mit $x$ im Nenner, nachdem du sie in negative Exponenten umgewandelt hast; - die äußere Schicht einer Funktion wie $(x^2+1)^5$, zusammen mit der Kettenregel. Enthält der Exponent ein $x$, wie bei $x^x$ oder $3^x$, ist die Potenzregel das falsche Werkzeug. Dafür brauchst du die Regeln für Exponentialfunktionen oder das logarithmische Differenzieren. ## Die Potenzregel rückwärts: Integration Integrieren macht Ableiten rückgängig, also hat die Potenzregel ein Spiegelbild. Um $x^n$ zu integrieren, **erhöhst du den Exponenten um eins** und **teilst** dann durch den neuen Exponenten: $$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \qquad n \ne -1$$ Zum Beispiel ist $\int x^3\,dx = \frac{x^4}{4} + C$. Die einzige Ausnahme ist $n = -1$, dort gilt $\int x^{-1}\,dx = \ln|x| + C$. Siehe die [umgekehrte Potenzregel](/rules/reverse-power-rule). ## Warum die Potenzregel gilt Für einen ganzzahligen Exponenten multiplizierst du $(x+h)^n$ mit dem binomischen Lehrsatz aus, und zwar innerhalb der [Definition der Ableitung über den Grenzwert](/blog/limit-definition-of-the-derivative): $$\frac{(x+h)^n - x^n}{h} = \frac{nx^{n-1}h + \binom{n}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n}{h} = nx^{n-1} + h(\ldots)$$ Für $h \to 0$ verschwindet jeder Term, der ein $h$ enthält, und es bleibt $nx^{n-1}$. Mit logarithmischem Differenzieren lässt sich die Regel auf alle reellen Exponenten erweitern. ## Häufige Fehler 1. **Eins abziehen, bevor der Exponent nach vorne kommt.** $\frac{d}{dx}x^4$ ist $4x^3$, nicht $3x^3$. 2. **Sie auf Exponentialfunktionen anwenden.** $\frac{d}{dx}2^x \ne x \cdot 2^{x-1}$. Die Variable steht im Exponenten, also brauchst du die [Regel für Exponentialfunktionen](/blog/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions). 3. **Nicht zuerst umschreiben.** Auf $\frac{1}{x^2}$ kannst du die Potenzregel erst anwenden, wenn du es als $x^{-2}$ schreibst. 4. **Die Kettenregel vergessen.** Für $(3x+1)^4$ liefert die Potenzregel nur einen Teil der Antwort. Du musst zusätzlich mit der inneren Ableitung $3$ multiplizieren. Siehe die [Kettenregel](/rules/chain-rule). Eine ausführlichere Erklärung mit weiteren Übungsaufgaben findest du im vollständigen Leitfaden zur [Potenzregel](/blog/power-rule). ## Häufig gestellte Fragen ### Was ist die Potenzregel in der Analysis? Die Potenzregel ist die Abkürzung $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$. Du multiplizierst mit dem Exponenten und verringerst den Exponenten dann um eins. ### Gilt die Potenzregel auch für negative und gebrochene Exponenten? Ja. Sie gilt für jeden reellen konstanten Exponenten. Zum Beispiel ist $\frac{d}{dx}x^{-2} = -2x^{-3}$ und $\frac{d}{dx}x^{1/2} = \frac{1}{2}x^{-1/2}$. ### Was ergibt die Potenzregel für die Ableitung einer Konstanten? Eine Konstante $c$ lässt sich als $cx^0$ schreiben, und die Potenzregel liefert $0 \cdot cx^{-1} = 0$. Die Ableitung jeder Konstanten ist null. ### Warum funktioniert die Potenzregel nicht für 2^x? Bei $2^x$ steht die Variable im Exponenten, es ist also eine Exponentialfunktion und keine Potenz. Ihre Ableitung ist $2^x \ln 2$.