# Produktregel beim Ableiten: Formel, Beispiele und Beweis > Die Produktregel: Die Ableitung von f·g ist f'g + fg'. Die Formel, Rechenbeispiele, die Version mit drei Faktoren, ein kurzer Beweis und typische Fehler. Quelle: https://practicecalculus.com/de/regeln/produktregel Aktualisiert: 2026-11-03 $$ \frac{d}{dx}\,[f(x)\,g(x)] = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x) $$ ## Auf einen Blick - **Anwendbar auf:** Ein Produkt zweier differenzierbarer Funktionen, die beide von $x$ abhängen - **In Worten:** Ableitung des ersten Faktors mal zweiter Faktor plus erster Faktor mal Ableitung des zweiten - **Drei Faktoren:** $(fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'$ - **Nicht nötig, wenn:** Ein Faktor konstant ist (dann gilt die Faktorregel) - **Gegenstück beim Integrieren:** Partielle Integration ## Das Wichtigste - Die Ableitung von $fg$ ist $f'g + fg'$, nicht $f'g'$. - In jedem Summanden wird genau ein Faktor abgeleitet, der andere bleibt unverändert. - Ist ein Faktor konstant, brauchst du die Produktregel nicht, und einfache Polynomprodukte kannst du auch ausmultiplizieren. Die **Produktregel** sagt dir, wie du zwei miteinander multiplizierte Funktionen ableitest. Die Ableitung eines Produkts ist **nicht** das Produkt der Ableitungen. Stattdessen leitest du jeweils einen Faktor ab und addierst die Ergebnisse. ## Die Formel der Produktregel Sind $f$ und $g$ differenzierbar, dann gilt $$\frac{d}{dx}\,[f(x)\,g(x)] = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x)$$ Eine gängige Merkregel: **Ableitung des ersten Faktors mal zweiter Faktor plus erster Faktor mal Ableitung des zweiten.** Kurz: $(fg)' = f'g + fg'$. Bei drei Faktoren setzt sich das Muster fort, mit einem abgeleiteten Faktor pro Summand: $$(fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'$$ ## Rechenbeispiele **Beispiel 1: eine Potenz mal eine trigonometrische Funktion.** Sei $f = x^2$ und $g = \sin x$, also $f' = 2x$ und $g' = \cos x$: $$\frac{d}{dx}\,x^2\sin x = 2x\sin x + x^2\cos x$$ **Beispiel 2: eine Potenz mal eine Exponentialfunktion.** Mit $f = x$ und $g = e^x$: $$\frac{d}{dx}\,x e^x = 1 \cdot e^x + x\,e^x = (x + 1)\,e^x$$ **Beispiel 3: ein Logarithmus.** Mit $f = x$ und $g = \ln x$: $$\frac{d}{dx}\,x\ln x = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$$ **Beispiel 4: zwei Polynome, durch Ausmultiplizieren überprüft.** Für $(3x + 1)(x^2 - 2)$: $$3(x^2 - 2) + (3x + 1)(2x) = 3x^2 - 6 + 6x^2 + 2x = 9x^2 + 2x - 6$$ Multiplizierst du zuerst aus, erhältst du $3x^3 + x^2 - 6x - 2$, dessen Ableitung ebenfalls $9x^2 + 2x - 6$ ist. **Beispiel 5: drei Faktoren.** Für $x\,e^x\sin x$: $$\frac{d}{dx}\,x e^x \sin x = e^x\sin x + x e^x\sin x + x e^x\cos x$$ ## Wann man die Produktregel verwendet Verwende sie, wenn zwei (oder mehr) Faktoren **beide von $x$ abhängen**: | Ausdruck | Produktregel verwenden? | | --- | --- | | $x^3\cos x$ | Ja | | $e^x \ln x$ | Ja | | $5\sin x$ | Nein, $5$ ist eine Konstante: [Faktorregel](/rules/constant-multiple-rule) | | $\sin(x^2)$ | Nein, das ist eine Verkettung: [Kettenregel](/rules/chain-rule) | | $\frac{x^2}{x + 1}$ | Verwende die [Quotientenregel](/rules/quotient-rule) oder die Produktregel auf $x^2(x+1)^{-1}$ | Viele Ableitungen brauchen Produktregel und Kettenregel zusammen. Bei $x^2 e^{3x}$ zerlegt die Produktregel den Ausdruck und die Kettenregel kümmert sich um $e^{3x}$: Das Ergebnis ist $2x e^{3x} + 3x^2 e^{3x}$. ## Warum die Produktregel gilt Beginne mit der [Definition der Ableitung über den Grenzwert](/blog/limit-definition-of-the-derivative) und addiere und subtrahiere im Zähler $f(x+h)g(x)$: $$\frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h} = f(x+h)\,\frac{g(x+h) - g(x)}{h} + g(x)\,\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$ Für $h \to 0$ gilt $f(x+h) \to f(x)$, weil differenzierbare Funktionen stetig sind, und die beiden Differenzenquotienten werden zu $g'(x)$ und $f'(x)$. Übrig bleibt $f(x)g'(x) + g(x)f'(x)$. Stell dir ein Rechteck mit den Seiten $f$ und $g$ vor. Wachsen beide Seiten ein wenig, gewinnt die Fläche einen Streifen der Größe $f'g$ an der einen Seite und einen Streifen der Größe $fg'$ an der anderen. ## Häufige Fehler 1. **Die Ableitungen multiplizieren.** $\frac{d}{dx}\,x^2\sin x \ne 2x\cos x$. Du brauchst zwei Summanden. 2. **Beide Faktoren im selben Summanden ableiten.** Jeder Summand hat genau einen abgeleiteten Faktor. 3. **Sie bei einem konstanten Faktor verwenden.** Das funktioniert, kostet aber Zeit. $\frac{d}{dx}\,4x^3$ ist einfach $12x^2$. 4. **Die Kettenregel in einem Faktor vergessen.** In $x\sin(2x)$ ist die Ableitung von $\sin(2x)$ gleich $2\cos(2x)$, also lautet das Ergebnis $\sin(2x) + 2x\cos(2x)$. Integriert man die Produktregel, erhält man die [partielle Integration](/rules/integration-by-parts-rule). Mehr Beispiele und einen direkten Vergleich mit der Quotientenregel findest du im vollständigen Leitfaden zur [Produkt- und Quotientenregel](/blog/product-and-quotient-rules). ## Häufig gestellte Fragen ### Was ist die Produktregel in der Analysis? Die Produktregel besagt $\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$. Du leitest jeweils einen Faktor ab und addierst die beiden Ergebnisse. ### Spielt die Reihenfolge bei der Produktregel eine Rolle? Nein. Die Addition ist kommutativ, also sind $f'g + fg'$ und $fg' + f'g$ gleich. Nur bei der Quotientenregel kommt es auf die Reihenfolge an, weil dort subtrahiert wird. ### Wie wendet man die Produktregel auf drei Funktionen an? Leite jeweils einen Faktor ab und addiere: $(fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'$. In jedem Summanden ist genau ein Faktor abgeleitet. ### Wann sollte ich die Produktregel verwenden statt auszumultiplizieren? Multipliziere aus, wenn das Produkt aus zwei kurzen Polynomen besteht. Verwende die Produktregel, wenn ein Faktor eine trigonometrische Funktion, eine Exponentialfunktion oder ein Logarithmus ist oder das Ausmultiplizieren lang wäre.