# Quotientenkriterium für Reihen: Formel, Bedingungen, Beispiele > Das Quotientenkriterium: Berechne L = lim |a(n+1)/a(n)|. Für L < 1 konvergiert die Reihe absolut, für L > 1 divergiert sie, L = 1 liefert keine Aussage. Quelle: https://practicecalculus.com/de/regeln/quotientenkriterium Aktualisiert: 2026-11-03 $$ L = \lim_{n\to\infty} \left\lvert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\rvert $$ ## Auf einen Blick - **L < 1:** Die Reihe konvergiert absolut - **L > 1 oder L = ∞:** Die Reihe divergiert - **L = 1:** Keine Aussage: anderes Kriterium verwenden - **Ideal für:** Fakultäten, Exponentialausdrücke wie $3^n$ und Produkte davon mit Potenzen von $n$ - **Schwach bei:** Gebrochenrationalen Ausdrücken in $n$ und $p$-Reihen, die immer $L = 1$ ergeben ## Das Wichtigste - Berechne $L = \lim \left\lvert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\rvert$ und vergleiche mit $1$. - $L < 1$ bedeutet absolute Konvergenz; $L > 1$ bedeutet Divergenz; $L = 1$ sagt nichts aus. - Greif zum Quotientenkriterium, sobald Fakultäten oder $n$-te Potenzen wie $2^n$ auftauchen. - Es ist das Standardwerkzeug, um den Konvergenzradius einer Potenzreihe zu bestimmen. Das **Quotientenkriterium** entscheidet über die Konvergenz einer Reihe, indem es fragt, wie schnell ihre Glieder kleiner werden. Ist jedes Glied auf lange Sicht um einen festen Faktor kleiner als das vorige, verhält sich die Reihe wie eine konvergente [geometrische Reihe](/rules/geometric-series-formula). ## Das Quotientenkriterium Sei $\sum a_n$ eine Reihe mit Gliedern ungleich null (zumindest für große $n$), und sei $$L = \lim_{n\to\infty} \left\lvert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\rvert$$ | Wert von $L$ | Folgerung | | --- | --- | | $L < 1$ | $\sum a_n$ konvergiert absolut | | $L > 1$ oder $L = \infty$ | $\sum a_n$ divergiert | | $L = 1$ | Keine Aussage | Existiert der Grenzwert nicht und ist er auch nicht $\infty$, ist das Kriterium in dieser Form nicht anwendbar. ## Warum es funktioniert Ist $L < 1$, wähle eine Zahl $r$ mit $L < r < 1$. Für große $n$ ist jedes $\lvert a_{n+1}\rvert$ höchstens $r\lvert a_n\rvert$, der Rest von $\sum \lvert a_n\rvert$ ist also durch eine geometrische Reihe mit Quotient $r$ beschränkt, die konvergiert. Ist $L > 1$, werden die Glieder dem Betrag nach irgendwann größer, können also nicht gegen $0$ gehen, und das [Nullfolgenkriterium](/rules/nth-term-test) liefert Divergenz. ## So wendest du es an 1. Schreibe $a_{n+1}$ auf, indem du jedes $n$ in $a_n$ durch $n + 1$ ersetzt. 2. Bilde $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ und vereinfache. Multipliziere mit dem Kehrbruch des Nenners. 3. Kürze mit $\frac{(n+1)!}{n!} = n + 1$ und $\frac{c^{n+1}}{c^n} = c$. 4. Bilde den Grenzwert des Betrags und vergleiche mit $1$. ## Rechenbeispiele **Beispiel 1: eine Potenz mal eine Exponentialfunktion.** Für $\sum \frac{n}{2^n}$: $$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+1}{2^{n+1}}\cdot\frac{2^n}{n} = \frac{n+1}{2n} \to \frac{1}{2}$$ Wegen $L = \frac{1}{2} < 1$ konvergiert die Reihe. **Beispiel 2: eine Fakultät.** Für $\sum \frac{3^n}{n!}$: $$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{3^n} = \frac{3}{n+1} \to 0$$ $L = 0 < 1$, also konvergiert sie. (Ihr Wert ist $e^3 - 1$, wenn sie bei $n = 1$ beginnt.) **Beispiel 3: Divergenz.** Für $\sum \frac{n!}{10^n}$: $$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{10^{n+1}}\cdot\frac{10^n}{n!} = \frac{n+1}{10} \to \infty$$ Die Reihe divergiert. Die Fakultät schlägt auf Dauer jede Exponentialfunktion. **Beispiel 4: wechselnde Vorzeichen.** Bei $\sum \frac{(-2)^n}{n^2}$ entfernt der Betrag das Vorzeichen: $$\left\lvert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\rvert = 2\cdot\frac{n^2}{(n+1)^2} \to 2$$ $L = 2 > 1$, also divergiert die Reihe. **Beispiel 5: keine Aussage.** Bei $\sum \frac{1}{n^2}$ gilt $\frac{n^2}{(n+1)^2} \to 1$. Das Quotientenkriterium liefert keine Antwort, obwohl die Reihe als $p$-Reihe mit $p = 2$ konvergiert. ## Konvergenzradius Das Quotientenkriterium ist das wichtigste Werkzeug für [Potenzreihen](/blog/power-series). Für $\sum \frac{x^n}{n}$: $$\left\lvert \frac{x^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{x^n} \right\rvert = \lvert x\rvert\,\frac{n}{n+1} \to \lvert x\rvert$$ Die Reihe konvergiert für $\lvert x\rvert < 1$, der Konvergenzradius ist also $1$. Die Randpunkte $x = \pm 1$ ergeben $L = 1$ und müssen getrennt untersucht werden. ## Quotientenkriterium und Wurzelkriterium Das Wurzelkriterium verwendet $L = \lim \sqrt[n]{\lvert a_n\rvert}$ mit denselben drei Fällen. Es ist einfacher, wenn das ganze Glied hoch $n$ steht, wie bei $\sum \left(\frac{2n}{3n+1}\right)^n$, wo $\sqrt[n]{a_n} = \frac{2n}{3n+1} \to \frac{2}{3}$ gilt. Das Quotientenkriterium ist einfacher, wenn Fakultäten vorkommen, denn Fakultäten haben keine saubere $n$-te Wurzel, kürzen sich in einem Quotienten aber schön weg. Sind beide anwendbar, liefern sie dasselbe $L$. ## Häufige Fehler 1. **Es bei gebrochenrationalen Ausdrücken oder Wurzelausdrücken in $n$ verwenden.** Etwas wie $\frac{n^2+1}{n^4}$ ergibt $L = 1$. Nimm stattdessen ein Vergleichskriterium oder die Regel für $p$-Reihen. 2. **$L = 1$ als Konvergenz oder Divergenz deuten.** Es bedeutet, dass das Kriterium versagt hat. 3. **Den Quotienten umdrehen.** Es ist $\frac{a_{n+1}}{a_n}$, das nächste Glied geteilt durch das aktuelle. Der umgekehrte Quotient vertauscht die Bedeutung des Ergebnisses. 4. **Bei Fakultäten falsch rechnen.** $(2(n+1))! = (2n+2)!$, also $(2n+2)(2n+1)\cdot(2n)!$, nicht $2(n+1)!$. Wie das Quotientenkriterium mit Wurzel-, Vergleichs- und Integralkriterium zusammenspielt, erfährst du im ausführlichen Leitfaden zu [Konvergenzkriterien](/blog/convergence-tests). ## Häufig gestellte Fragen ### Was ist das Quotientenkriterium? Es vergleicht aufeinanderfolgende Glieder einer Reihe. Ist $L = \lim \left\lvert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\rvert$ kleiner als $1$, konvergiert die Reihe absolut, ist es größer als $1$ (oder unendlich), divergiert sie, und für $L = 1$ liefert das Kriterium keine Aussage. ### Was passiert, wenn beim Quotientenkriterium 1 herauskommt? Dann lässt sich nichts folgern. Sowohl $\sum \frac{1}{n}$ (divergent) als auch $\sum \frac{1}{n^2}$ (konvergent) ergeben $L = 1$, du brauchst also ein anderes Kriterium wie das Majorantenkriterium oder das Integralkriterium. ### Wann sollte ich das Quotientenkriterium verwenden? Wenn die Glieder Fakultäten, Exponentialausdrücke wie $5^n$ oder $n^n$ enthalten. Diese vereinfachen sich gut, wenn man ein Glied durch das vorhergehende teilt. ### Zeigt das Quotientenkriterium absolute oder bedingte Konvergenz? Für $L < 1$ beweist es absolute Konvergenz, die stärker ist als Konvergenz. Bedingte Konvergenz kann es nie erkennen, weil bedingt konvergente Reihen $L = 1$ ergeben.