# Quotientenregel beim Ableiten: Formel, Merksatz und Beispiele > Die Quotientenregel: (f/g)' = (f'g − fg')/g². Die Formel, der Merksatz NAZ minus ZAN, Rechenbeispiele, wann man sie umgeht und typische Fehler. Quelle: https://practicecalculus.com/de/regeln/quotientenregel Aktualisiert: 2026-11-03 $$ \frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{[g(x)]^2} $$ ## Auf einen Blick - **Anwendbar auf:** Einen Quotienten zweier differenzierbarer Funktionen, überall wo $g(x) \ne 0$ - **In Worten:** Nenner mal Ableitung des Zählers minus Zähler mal Ableitung des Nenners, geteilt durch das Quadrat des Nenners - **Reihenfolge wichtig:** Ja, im Zähler steht eine Subtraktion, also beginne mit $f'g$ - **Vermeiden, wenn:** Der Nenner eine Konstante oder eine einzelne Potenz von $x$ ist - **Hergeleitet aus:** Produktregel und Kettenregel, angewendet auf $f \cdot g^{-1}$ ## Das Wichtigste - Die Ableitung von $\frac{f}{g}$ ist $\frac{f'g - fg'}{g^2}$. Wegen des Minuszeichens kommt es auf die Reihenfolge an. - Merksatz: NAZ minus ZAN durch N-Quadrat (Nenner mal Ableitung Zähler minus Zähler mal Ableitung Nenner, durch Nenner zum Quadrat). - Ist der Nenner eine Konstante oder eine einzelne Potenz von $x$, schreibst du um und sparst dir die Quotientenregel. Mit der **Quotientenregel** bestimmst du die Ableitung einer Funktion, die durch eine andere geteilt wird. Wie bei der [Produktregel](/rules/product-rule) ist sie nicht das, was man zuerst vermuten würde: Die Ableitung von $\frac{f}{g}$ ist nicht $\frac{f'}{g'}$. Im Zähler steht eine Subtraktion, also kommt es auf die Reihenfolge der Terme an. ## Die Formel der Quotientenregel Sind $f$ und $g$ differenzierbar und ist $g(x) \ne 0$, dann gilt $$\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{[g(x)]^2}$$ Der klassische Merksatz, mit Z für den Zähler, N für den Nenner und A für die Ableitung: > **NAZ minus ZAN durch N-Quadrat.** ## Rechenbeispiele **Beispiel 1: eine gebrochenrationale Funktion.** Für $\frac{x^2}{x + 1}$ nimmst du $f = x^2$, $f' = 2x$, $g = x + 1$, $g' = 1$: $$\frac{2x(x+1) - x^2(1)}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}$$ **Beispiel 2: den Zähler vereinfachen.** Für $\frac{3x - 1}{x^2 + 1}$: $$\frac{3(x^2 + 1) - (3x - 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{3x^2 + 3 - 6x^2 + 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-3x^2 + 2x + 3}{(x^2 + 1)^2}$$ **Beispiel 3: die Ableitung von $\tan x$.** Schreibe $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$: $$\frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$$ **Beispiel 4: eine Exponentialfunktion geteilt durch eine Potenz.** Für $\frac{e^x}{x}$: $$\frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{e^x(x - 1)}{x^2}$$ ```graph title: 'Graph von y = eˣ/x und seiner Ableitung eˣ(x − 1)/x²' caption: 'Die Ableitung ist null bei $x = 1$, wo $\frac{e^x}{x}$ auf $x > 0$ seinen kleinsten Wert $e$ annimmt.' x: [0.2, 3] y: [-3, 8] functions: - expr: e^x/x label: y = eˣ/x - expr: e^x*(x-1)/x^2 label: Ableitung dashed: true points: - [1, 2.718, '(1, e)'] ``` ## Wann du die Quotientenregel umgehen kannst Nicht jeder Bruch braucht die Quotientenregel. Umschreiben ist oft schneller und weniger fehleranfällig: | Funktion | Umgeschrieben | Ableitung | | --- | --- | --- | | $\frac{x^3}{5}$ | $\frac{1}{5}x^3$ | $\frac{3}{5}x^2$ | | $\frac{4}{x^2}$ | $4x^{-2}$ | $-\frac{8}{x^3}$ | | $\frac{x^3 + x}{x}$ | $x^2 + 1$ (für $x \ne 0$) | $2x$ | | $\frac{2}{\sqrt{x}}$ | $2x^{-1/2}$ | $-x^{-3/2}$ | Die erste Zeile nutzt die [Faktorregel](/rules/constant-multiple-rule), die anderen die [Potenzregel](/rules/power-rule) und die [Summenregel](/rules/sum-and-difference-rule). ## Woher die Quotientenregel kommt Schreibe $\frac{f}{g} = f \cdot g^{-1}$. Produktregel und [Kettenregel](/rules/chain-rule) liefern $$f' \cdot g^{-1} + f \cdot (-g^{-2}g') = \frac{f'}{g} - \frac{fg'}{g^2} = \frac{f'g - fg'}{g^2}$$ Wenn du die Formel vergisst, kannst du also immer auf die Produktregel zurückgreifen. ## Häufige Fehler 1. **Die Reihenfolge im Zähler vertauschen.** $fg' - f'g$ liefert das Negative der richtigen Antwort. 2. **Vergessen, den Nenner zu quadrieren.** Unten steht $g^2$, nicht $g$. 3. **Die Ableitungen dividieren.** $\left(\frac{f}{g}\right)' \ne \frac{f'}{g'}$. 4. **Den Nenner ausmultiplizieren.** Lass $(x+1)^2$ faktorisiert stehen. So bleibt das Ergebnis einfacher, und Nullstellen und Vorzeichenwechsel sind leicht zu erkennen. 5. **Verwechslung mit der Regel von L'Hospital.** Die [Regel von L'Hospital](/rules/lhopitals-rule) leitet Zähler und Nenner getrennt ab, um einen Grenzwert zu bestimmen. Die Quotientenregel bestimmt eine Ableitung. Eine ausführlichere Erklärung beider Regeln findest du im vollständigen Leitfaden zur [Produkt- und Quotientenregel](/blog/product-and-quotient-rules). ## Häufig gestellte Fragen ### Was ist die Quotientenregel? Die Quotientenregel besagt $\frac{d}{dx}\frac{f}{g} = \frac{f'g - fg'}{g^2}$. Sie liefert die Ableitung einer Funktion, die durch eine andere geteilt wird. ### Welchen Merksatz gibt es für die Quotientenregel? "NAZ minus ZAN durch N-Quadrat." N ist der Nenner $g$, Z der Zähler $f$ und A steht für die Ableitung. NAZ heißt also Nenner mal Ableitung des Zählers. ### Spielt die Reihenfolge bei der Quotientenregel eine Rolle? Ja. Vertauschst du die beiden Terme im Zähler, ändert sich das Vorzeichen des Ergebnisses. Beginne immer mit der Ableitung des Zählers mal dem Nenner. ### Wann sollte man die Quotientenregel nicht verwenden? Ist der Nenner eine Konstante, verwende die Faktorregel. Ist er eine einzelne Potenz wie $x^3$, schreibe mit negativem Exponenten um und verwende die Potenzregel.