# Regel von L'Hospital: Formel, Voraussetzungen und Beispiele

> Die Regel von L'Hospital berechnet Grenzwerte der Form 0/0 und ∞/∞, indem Zähler und Nenner abgeleitet werden. Voraussetzungen, Beispiele, weitere Formen.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/regeln/regel-von-l-hospital
Aktualisiert: 2026-11-03

$$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$

## Auf einen Blick

- **Gilt für:** Grenzwerte der unbestimmten Form $\frac{0}{0}$ oder $\frac{\pm\infty}{\pm\infty}$
- **In Worten:** Zähler und Nenner getrennt ableiten, dann erneut den Grenzwert bilden
- **Außerdem nötig:** Der neue Grenzwert $\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ existiert oder ist $\pm\infty$
- **Funktioniert bei:** $x \to a$, einseitigen Grenzwerten und $x \to \pm\infty$
- **Weitere Formen:** $0 \cdot \infty$, $\infty - \infty$, $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$ nach Umformen

## Das Wichtigste

- Verwende die Regel von L'Hospital nur bei $\frac{0}{0}$ oder $\frac{\infty}{\infty}$. Prüfe die Form jedes Mal zuerst.
- Leite Zähler und Nenner getrennt ab. Das ist nicht die Quotientenregel.
- Du darfst die Regel wiederholt anwenden, solange die Form unbestimmt bleibt.
- Forme $0 \cdot \infty$, $\infty - \infty$ und Potenzformen vorher in einen Bruch um.

Die **Regel von L'Hospital** berechnet Grenzwerte von Brüchen, die beim Einsetzen $\frac{0}{0}$ oder $\frac{\infty}{\infty}$ ergeben. Statt des ursprünglichen Bruchs bildest du den Grenzwert der Ableitung des Zählers geteilt durch die Ableitung des Nenners. Oft ist das der schnellste Weg bei einem Grenzwert, den man algebraisch nur schwer vereinfachen kann.

## Die Regel und ihre Voraussetzungen

Seien $f$ und $g$ auf einem offenen Intervall um $a$ differenzierbar (eventuell außer in $a$), und sei dort $g'(x) \ne 0$ für $x \ne a$. Gilt

$$\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0 \quad \text{oder} \quad \lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty,\ \lim_{x \to a} g(x) = \pm\infty$$

dann ist

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

sofern der Grenzwert rechts existiert oder $\pm\infty$ ist. Dasselbe gilt für einseitige Grenzwerte und für $x \to \infty$ oder $x \to -\infty$.

Existiert der Grenzwert rechts nicht, liefert die Regel keine Aussage. Der ursprüngliche Grenzwert kann trotzdem existieren.

```graph
title: 'Graph von y = sin(x)/x, der bei x = 0 gegen 1 strebt'
caption: 'Bei $x = 0$ ist der Bruch $\frac{0}{0}$. Die Regel von L''Hospital liefert $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$, passend zum Graphen.'
x: [-10, 10]
y: [-0.5, 1.3]
functions:
  - expr: sin(x)/x
    label: y = sin(x)/x
points:
  - [0, 1, '(0, 1)', open]
```

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: $\frac{0}{0}$.** Bei $x = 0$ ist $\frac{\sin x}{x}$ von der Form $\frac{0}{0}$:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$$

(Die Ableitung von $\sin x$ wird selbst mit diesem Grenzwert bewiesen, in einer Beweisvorlesung würdest du deshalb den Sandwich-Satz verwenden. Zum Rechnen ist die Abkürzung in Ordnung.)

**Beispiel 2: die Regel zweimal anwenden.** Jeder Schritt ist bis zum letzten noch $\frac{0}{0}$:

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{1}{2}$$

**Beispiel 3: $\frac{\infty}{\infty}$.** Für $x \to \infty$ wachsen sowohl $\ln x$ als auch $x$ über alle Grenzen:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{1} = 0$$

Also wächst $x$ schneller als $\ln x$.

**Beispiel 4: $0 \cdot \infty$.** Schreibe das Produkt zuerst als Bruch. Für $x \to 0^+$ hat $x \ln x$ die Form $0 \cdot (-\infty)$:

$$\lim_{x \to 0^+} x \ln x = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$$

## Weitere unbestimmte Ausdrücke

| Form | So formst du um |
| --- | --- |
| $0 \cdot \infty$ | Schreibe $fg$ als $\frac{f}{1/g}$ oder $\frac{g}{1/f}$ |
| $\infty - \infty$ | Zu einem Bruch zusammenfassen (Hauptnenner oder konjugierter Term) |
| $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$ | Setze $y = f^g$, bilde $\ln y = g \ln f$, bestimme diesen Grenzwert und wende dann die Exponentialfunktion an |

Zum Beispiel erhältst du mit $y = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ den Ausdruck $\ln y = \frac{\ln(1 + 1/x)}{1/x}$, der für $x \to \infty$ die Form $\frac{0}{0}$ hat. Die Regel liefert $\ln y \to 1$, also $y \to e$.

## Häufige Fehler

1. **Die Regel anwenden, obwohl keine unbestimmte Form vorliegt.** $\lim_{x \to 0} \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{1}{2}$ durch [direktes Einsetzen](/rules/direct-substitution). Ableiten würde fälschlich $1$ ergeben.
2. **Die Quotientenregel verwenden.** Leite $f$ und $g$ getrennt ab. Berechne nicht die Ableitung von $\frac{f}{g}$ mit der [Quotientenregel](/rules/quotient-rule).
3. **Das Umformen überspringen.** Die Regel gilt nur für Brüche. Verwandle Produkte, Differenzen und Potenzen zuerst in einen Bruch.
4. **Die Form nicht erneut prüfen.** Vergewissere dich vor jeder weiteren Anwendung, dass der neue Grenzwert noch $\frac{0}{0}$ oder $\frac{\infty}{\infty}$ ist.

Weitere Beispiele, auch zu Grenzwerten im Unendlichen und Potenzformen, findest du im ausführlichen Leitfaden zur [Regel von L'Hospital](/blog/lhopitals-rule).

## Häufig gestellte Fragen

### Wann darf man die Regel von L'Hospital anwenden?

Wenn direktes Einsetzen $\frac{0}{0}$ oder $\frac{\pm\infty}{\pm\infty}$ ergibt, $f$ und $g$ in der Nähe der Stelle differenzierbar sind, dort $g'(x) \ne 0$ gilt und der Grenzwert von $\frac{f'}{g'}$ existiert oder unendlich ist.

### Ist die Regel von L'Hospital dasselbe wie die Quotientenregel?

Nein. Die Regel von L'Hospital bildet die Ableitung des Zählers und die Ableitung des Nenners getrennt. Die Quotientenregel liefert die Ableitung des ganzen Bruchs und hat mit diesem Grenzwert nichts zu tun.

### Darf man die Regel von L'Hospital mehrmals anwenden?

Ja. Ist der neue Grenzwert immer noch $\frac{0}{0}$ oder $\frac{\infty}{\infty}$, wende die Regel erneut an. Prüfe die Form vor jeder Anwendung.

### Wie verwendet man die Regel von L'Hospital bei 1 hoch unendlich?

Nimm den natürlichen Logarithmus, um die Potenz in ein Produkt zu verwandeln, schreibe das Produkt als Bruch, wende die Regel an und nimm vom Ergebnis die Exponentialfunktion.